七年级下册数学（北师版）教案 第五章 生活中的轴对称 章末复习

章末复习

【知识与技能】

梳理全章内容，建立知识体系；掌握等腰三角形、线段、角等简单的轴对称图形的性质并灵活应用；综合运用轴对称的有关性质，解决实际问题.

【过程与方法】

经历观察、折叠、剪纸、欣赏与设计等数学活动过程，进一步发展空间观念,丰富学生对轴对称的直观体验和理解，发展学生有条理的思考和语言表达能力.

【情感态度】

让学生进一步了解轴对称在现实生活中的广泛应用和丰富的文化价值，增进学生学习数学的兴趣.

【教学重点】

会找出简单的轴对称图形的对称轴；了解一些简单轴对称图形（角、线段、等腰三角形）的性质并学会应用.

【教学难点】

轴对称的有关性质在现实生活中的应用.

一、知识结构

【教学说明】引导学生自主发现各知识点之间的联系，形成较完整的认知结构.

二、释疑解惑，加深理解

1.轴对称图形:

（1）如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴.

（2）理解轴对称图形要抓住以下几点：

①指一个图形；

②存在一条直线（对称轴）；

③图形被直线分成的两部分互相重合；

④轴对称图形的对称轴有的只有一条，有的则存在多条；

⑤线段、角、长方形、正方形、菱形、等腰三角形、圆都是轴对称图形；

（3）轴对称图形的对应线段、对应角相等.

（4）轴对称图形对应点所连的线段被对称轴垂直平分.

2.轴对称

（1）对于两个图形，如果沿一条直线对折后，它们能互相重合，那么称这两个图形成轴对称，这条直线就是对称轴.可以说成：这两个图形关于某条直线对称.

（2）理解轴对称应注意：

①有两个图形；

②沿某一条直线对折后能够完全重合；

③轴对称的两个图形一定是全等形，但两个全等的图形不一定是轴对称图形；

④对称轴是直线而不是线段；

（3）如果两个图形关于某条直线对称，那么对应线段、对应角都相等.

（4）如果两个图形关于某条直线对称，那么对应点所连的线段被对称轴垂直平分.

3.角平分线的性质

①角平分线所在的直线是该角的对称轴.

②性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.

4.线段的垂直平分线

①垂直于一条线段并且平分这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线，又叫线段的中垂线.

②性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等.

5.等腰三角形

①等腰三角形是轴对称图形，有一条对称轴（等边三角形除外），其底边上的高或顶角的平分线，或底边上的中线所在的直线都是它的对称轴.

②等腰三角形的两个底角相等.

③等腰三角形底边上的高，底边上的中线，顶角的平分线互相重合，简称为“三线合一”.

6.等边三角形

①等边三角形的三边都相等，三个内角都是60°.

②等边三角形有三条对称轴，三角形的高、角平分线和中线所在的直线都是它的对称轴.

7.图案设计

作出简单平面图形经过轴对称后的图形，实际上是轴对称图形的性质的灵活运用.

【教学说明】学生通过梳理知识体系，不仅能提高分析问题的能力，而且能够发现自身的不足，通过查漏补缺，尽快完善知识结构.

三、典例精析，复习新知

例1  如下书写的四个汉字，其中为轴对称图形的是（ B ）

例2  等腰三角形的对称轴是（ D ）

A.顶角的平分线

B.底边上的高

C.底边上的中线

D.底边上的高所在的直线

例3  如图,在四边形ABCD中,边AB与AD关于AC对称,则下面结论正确的是（ D ）

①CA平分∠BCD；②AC平分∠BAD；③DB⊥AC；④BE=DE.

A.②      B.①②      C.②③④      D.①②③④

例4  牧马人在A处放牧，现他准备将马群赶回B处的家中，但中途他必须让马到河边l饮水一次，他应该怎样选择饮水点P，才能使所走的路程PA+PB最短？为什么?

解：作点B关于直线l的对称点B′，

连接AB′交l于P点，则点P为饮水点.由对称性得PB=PB′.

在l上任取一点P′,连结AP′.P′B，由三角形两边之和大于第三边，知

AP′+P′B′＞AB′，而AB′=PA+PB′，

即AP′+P′B′＞PA+PB.

∴像上面这样选择的饮水点P才能使PA+PB最小.

例5  如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB，如果DE=5cm，∠CAD=32°，求CD的长度及∠B的度数.

解：因为AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC，

所以CD=DE=5cm.

又因为AD平分∠BAC，

所以∠CAB=2∠CAD=2×32°=64°，

所以∠B=90°-64°=26°.

例6  如图，在△ABC中，已知AB=AC，∠BAC和∠ACB的平分线相交于点D，∠ADC=125°.求∠ACB和∠BAC的度数.

解：因为AB=AC，AE平分∠BAC，

所以AE⊥BC（等腰三角形的“三线合一”）

因为∠ADC=125°，

所以∠CDE=55°，

所以∠DCE=90°-∠CDE=35°，

又因为CD平分∠ACB，

所以∠ACB=2∠DCE=70°.

又因为AB=AC，

所以∠B=∠ACB=70°，

所以∠BAC=180-（∠B+∠ACB）=40°

【教学说明】教师根据学生遇到的问题和出现的错误，有针对性地进行讲解和学法指导.同时教学中应通过恰当的方式让学生理解解题的依据.

四、复习训练，巩固提高

1.一犯罪分子正在沿两交叉公路间到两公路距离相等的一条小路上逃跑，埋伏在A、B两处的两名公安人员想在距A、B相等的距离处同时抓住这一罪犯.

请你帮助公安人员在图中设计出抓捕点，并说明理由.

解：作∠MON的平分线OC,

如图连接AB,作线段的垂直平分线与OC交于点P,则点P为抓捕点.

理由:角平分线上的点到角两边的距离相等（即犯罪分子在∠MON的角平分线上,点P也在其上）.

线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等（所以点P在线段AB的垂直平分线上）.

∴两线的交点，即点P符合要求.

2.如图，已知AB⊥CD，△ABD、△BCE都是等腰三角形，如果CD=8cm，BE=3cm.求AE的长.

解：因为△ABD、△BCE都是等腰三角形，

所以AB=BD，BC=BE.

又因为BD=CD-BC，

所以AB=CD-BC=CD-BE=8cm-3cm=5cm，

所以AE=AB-BE=2cm.

3.如图1，在正方形网格上有一个△ABC.

（1）画△ABC关于直线MN的对称图形（不写画法）；

（2）若网格上的每个小正方形的边长为1，求△ABC的面积.

解：（1）如答图2所示.点拨：利用图中格点，可以直接确定出△ABC中各顶点的对称点的位置，从而得到△ABC关于直线MN的对称图形△A′B′C′.

（2）SΔABC=9.点拨：利用和差法.

4.某地板厂要制作一批正方形形状的地板砖，为适应市场多样化需要，要求在地板砖上设计的图案能够把正方形四等分，请你帮助该厂设计等分图案.（至少六种）

分法如图.

【教学说明】这些问题比较有挑战性、趣味性，是为了让学生综合、灵活的运用知识解决问题，及时的反馈不仅仅检验了学生的掌握程度，而且易于发现学生的易错点，便于教师及时调整教学策略，对知识进行强调巩固.

五、师生互动，课堂小结

通过本节课的复习，你有什么收获？还存在什么疑惑？

1.布置作业:教材“复习题”中第1、3、5、8、12题.

2.完成同步练习册中本课时的练习.

通过本节课的复习，引导学生时刻注意新旧知识之间的联系；鼓励学生畅谈自己学习的知识和体会，激发学生对数学的学习兴趣与信心，培养学生独自梳理知识，归纳学习方法及解题方法的能力.锻炼学生组织语言及表达能力，经历与同伴分享成果的快乐过程.