精品解析：上海市建平中学2022-2023学年高二下学期5月月考数学试题（解析版）

建平中学2022-2023学年第二学期5月月考

高二数学学科

一､填空题（本大题共12题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分.

1. 已知随机事件A､B相互独立，若则___________.

【答案】##

【解析】

【分析】根据相互独立事件概率公式求得正确答案.

【详解】由题意，所以.

故答案为：

2. 某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查．已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取_______名学生．

【答案】60

【解析】

【分析】采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查的.

【详解】∵该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4:5:5:6，

∴应从一年级本科生中抽取学生人数为：.

故答案为60.

3. 已知，则___________.

【答案】

【解析】

【分析】根据求和符号的意义，准确运算，即可求解.

【详解】由题意知，则：

.

故答案为：.

4. 若，则的值为___________．

【答案】

【解析】

【分析】令即可求解.

【详解】解：令得：.

故答案为:.

5. 某市开展“爱我内蒙，爱我家乡”摄影比赛，9位评委给参赛作品A打出的分数如茎叶图所示，记分员算得平均分为91，复核员在复核时，发现一个数字（茎叶图中的x）无法看清，若记分员计算无误，则数字x应该是______．

【答案】1

【解析】

【分析】由平均数列出方程，求出x的值.

【详解】由题意得：，解得：.

故答案为：1

6. 若正整数n满足不等式，则___________.

【答案】5

【解析】

【分析】根据排列数与组合数公式计算即可.

【详解】由，得，且，

化简整理得，解得，

又因，所以.

故答案为：.

7. 4名运动员参加4×100接力赛，根据平时队员训练的成绩，甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒，则不同的出场顺序有________种.

【答案】14

【解析】

【分析】采用间接法，先计算没有限制条件的排列数，再减去甲跑第一棒和乙跑第4棒的排列数即可求解.

【详解】若不考虑限制条件，4名队员全排列共有 (种)排法，

除去甲跑第一棒有 (种)排法，乙跑第四棒有 (种)排法，

再加上甲在第一棒且乙在第四棒有 (种)排法，

共有(种)不同的出场顺序.

故答案为：14

8. 袋中有2个红球，2个蓝球，1个白球，从中一次取出2个球，则取出的球颜色相同的概率为_____.

【答案】##0.2

【解析】

【分析】列举出5个球中任取2个的所有情况，再确定颜色相同的情况数，应用古典概率求法求概率即可.

【详解】令红球为，篮球为，白球为，

任意取两个球的事件有、、、、、、、、、，10种；

其中颜色相同的情况有、，2种；

所以概率为．

故答案为：

9. 已知这5个数的平均数为3，方差为2，则这4个数的方差为___________.

【答案】##1.25##

【解析】

【分析】根据这5个数的平均数求出这4个数的平均数，再利用公式计算出和这4个数的方差.

【详解】因为这5个数的平均数为3，方差为2，

所以，即，

所以这4个数的平均数为，

所以，即，

所以这4个数的方差为

故答案为：

10. 从1，2，3，4，5，6，7，8，9中不放回地依次取2个数，事件为“第一次取到的是奇数”，事件B为“第二次取到的是3的整数倍”，则_________.

【答案】##0.325

【解析】

【分析】根据组合知识可得事件，包含的基本事件数，再利用条件概率公式即得.

【详解】由题可知事件包含的基本事件数为，

事件包含的基本事件数为，

所以．

故答案为：.

11. 函数的导函数的图像如图所示，给出下列命题：

①是函数的极小值点；

②是函数的最小值点；

③在区间上严格增；

④在处切线的斜率小于零.

以上所有正确命题的序号是__________.

【答案】①③

【解析】

【分析】观察的图像在左右的符号即可判断①；观察的图像，利用导函数的正负与原函数的单调性的关系可判断②③；利用导数的几何意义即可判断④.

【详解】有图像可知，的左侧导数值为负，右侧为正，故是函数的极小值点；

的左右两侧导数值均为正，故不是函数的最值点；

在区间导数值为正，故在区间上严格增；

，故在处切线的斜率大于零.故正确命题的序号是①③.

故答案为：①③.

12. 若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为___________.

【答案】

【解析】

【分析】依题意可得对任意恒成立，令，，利用导数说明函数的单调性，求出的最小值，即可得解.

【详解】因为不等式对任意恒成立，

所以对任意恒成立，

令，，

则，令，

则，

当时，，

，

所以，

当时，，所以，

当时，，令，

则，所以，

又，

所以，综上对恒成立，

所以在上严格增，又，所以当时，，单调递减，

当时，，单调递增，所以，

所以，所以，即.

故答案为：

【点睛】关键点睛：本题解答的关键是参变分离得到，再利用导数说明函数的单调性，求出函数的最小值.

二､选择题（本人题共有4小题，满分20分）每小题给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则得0分.

13. 下列命题中正确的个数为（    ）

①数据1，2，3，3，4，5的众数大于中位数；

②数据1，2，2，2，3，3，3，4，5，6的第85百分位数为5；

③数据1，2，2，2，3，3，3，4，5，6，6，6，7，7，8的极差（全距）为7；

④若甲组数据的方差为5，乙组数据为5，6，9，10，5，则这两组数据中较稳定的是乙；

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

【答案】C

【解析】

【分析】根据中位数和百分位数定义，极值和方差分别判断各个选项即可
 

【详解】①众数为3，中位数为3，众数等于中位数，错误；
 

②第85百分位数为：，取第9个数据，为5，正确；
 

③极差为，正确；

④乙组数据的方差为，则这两组数据中较稳定的是乙，正确，正确的命题有②③④，

故选:C.

14. 已知函数在上的图像如图所示，则的解析式可能是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据图像知函数是偶函数，并且在轴右侧先减后增，且时函数值大于0，然后根据这些特点对每个选项中的函数逐一判断即可.

【详解】由题图，知函数的图像关于y轴对称，所以函数是偶函数，故排除A；

对于B，，虽然函数为偶函数且在上单调递减，在上单调递增，但，与图像不吻合，排除B；

对于D，因为，所以函数是偶函数，但，与图像不吻合，排除D；

对于C，函数为偶函数，图像关于y轴对称，下面只分析y轴右侧部分．当时，，，

令，求导，得．当时，，单调递增，

当时，，单调递减，所以在处取得最大值．

又因为，，，所以，使得，

当时，，单调递减，当时，，单调递增，与图像吻合.

故选：C．

15. 口袋中装有个红球和个黑球，每个球编有不同的号码，现从中取出个球，则互斥而不对立的事件是（    ）

A. 至少有个红球与至少有个黑球 B. 至少有个红球与都黑球

C. 至少有个红球与至多有个黑球 D. 恰有个红球与恰有个红球

【答案】D

【解析】

【分析】利用互斥事件和对立事件的定义逐项分析判断即可

【详解】解：对于A，不互斥，如取出2个红球和1个黑球，与至少有个黑球不是互斥事件，所以A不合题意；

对于B，至少有个红球与都是黑球不能同时发生，且必有其中1个发生。所以为互斥事件，且为对立事件，所以B不合题意；

对于C，不互斥。如取出2个红球和1个黑球，与至多有个黑球不是互斥事件，所以C不合题意；

对于D，恰有个红球与恰有个红球不能同时发生，所以为互斥事件，但不对立，如还有3个红球，

故选：D

16. 已知正实数x，y满足，则的最小值为（    ）

A.  B. 0 C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】先根据同构函数的出x,y关系，再根据导函数求出单调性得出最值即可.
 

【详解】因为，所以，即，

设，则，且，

所以在上单调递增，正实数，

所以，即，所以，

等价于，即，所以，

设，所以，

所以，设，

所以单调递增，且，所以在上，单调递减；

在上，单调递增；所以，

即最小值为0，

故选：B.

三､解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.

17. 某中学举行了一次“环保知识竞赛”.为了解参加本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了50名学生的成绩（得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计，按照的分组作出如下的频率分布直方图.

（1）若，估计本次竞赛学生成绩平均数（同一组中的数据用组中值代表）；

（2）若样本中位于的成绩共有2个，，估计本次竞赛学生成绩的中位数.

【答案】（1）70.6   

（2）71

【解析】

【分析】（1）根据频率分布直方图求平均数即可;

（2）先根据已知求出x,y,再根据频率分布直方图求中位数即可;

【小问1详解】

，

平均数为：

【小问2详解】

设中位数为，

前两组频率和为

前三组频率和为,

则，解得

18. 某同学买了7个官盒，每个盲盒中都有一个礼物，其中有4个盲盒装小兔，3个盲盒装小狗.

（1）依次有放回地从中取出2个盲盒，求第1次､第2次取到的都是小兔盲盒的概率；

（2）依次不放回地从中取出2个盲盒，求第2次取到的是小狗盲盒的概率.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）分别求得第1次和第2次取到是小兔盲盒的概率，结合相互独立事件的概率乘法公式，即可求解；

（2）设事件“第次取到的足小狗盲盒”，求得，结合全概率公式，即可求解.

【小问1详解】

解：由题意，第1次取到是小兔盲盒的概率为，第2次取到是小兔盲盒的概率为，

根据相互独立事件的概率乘法公式，

可得第1次､第2次取到的都是小兔盲盒的概率为.

【小问2详解】

解：设事件“第次取到的足小狗盲盒”，其中，

因为，

由全概率公式，可得第2次取到的是小狗盲盒的概率为：

.

19. 已知一工厂生产了某种产品件，该工厂对这些产品进行了安全和环保这两个性能质量检测.工厂决定利用随机数表法从中抽取件产品进行抽样检测，现将件产品按，，，进行编号；

（1）如果从第行第列的数开始向右读，请依次写出最先检测的件产品的编号；（下面摘取了随机数表的第行）

（2）抽取的件产品的安全性能和环保性能的质量检测结果如下表所示：

检1测结果分为优等､合格､不合格三个等级，横向和纵向分别表示安全性能和环保性能.已知正整数满足，，

①求所有满足条件的实数对；

②求在安全性能不合格的产品中，环保性能为优等的件数比不合格的件数少的概率.

【答案】（1），，   

（2）①答案见解析；②

【解析】

【分析】（1）根据随机数表法抽样原则直接抽取即可；

（2）①根据可列举出所有满足条件的实数对；

②确定环保性能为优等的件数比不合格的件数少的实数对的个数，根据古典概型概率公式可求得结果.

【小问1详解】

从第行第列的数开始向右读，位于内的、无重复的前个编号为：，，，

即最先检测的件产品的编号为，，.

【小问2详解】

①由题意知：，，，

满足条件的实数对有：；

②由①知：满足条件的实数对共有个，

其中满足环保性能为优等的件数比不合格的件数少的有：，共个，

环保性能为优等的件数比不合格的件数少的概率.

20. 已知椭圆的左､右焦点分别为，直线与椭圆C交于M､N两点，（点M在点N的上方），与y轴交于点E.

（1）当时，点A为椭圆C上除顶点外任一点，求的周长；

（2）当且直线l过点时，设，求证：为定值，并求出该值；

（3）若椭圆C离心率为，当k为何值时，恒为定值，并求此时三角形面积的最大值.

【答案】（1）   

（2）证明见解析，   

（3），最大值为1

【解析】

【分析】（1）根据椭圆定义求解三角形周长；

（2）联立与，得到两根之和两根之积，由得到，结合两根之和，两根之积求出答案；

（3）先由离心率得到椭圆方程，联立直线方程，得到两根之和，两根之积，表达出，结合为定值得到，并求出此时，和点到直线的距离，利用基本不等式得到.

【小问1详解】

时，椭圆方程为，故且，

由椭圆定义可得，的周长为；

【小问2详解】

时，椭圆方程为，故联立与可得，

设，则，

因为，

所以

【小问3详解】

由题意得，解得，

椭圆方程，联立，

消元得，

当，即时，

则，

则

，

当为定值时，即与无关，故，得，

此时，

又点到直线的距离，

所以，

当且仅当，即时，等号成立，

经检验，此时成立，所以面积的最大值为1.

【点睛】圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：

（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；

（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．

21. 已知函数.

（1）若函数在点处的切线与直线平行，求的方程；

（2）判断命题“对任意恒成立”的真假，并说明理由；

（3）若对任意都有恒成立，求实数m的取值范围.

【答案】（1）   

（2）真命题，理由见解析   

（3）

【解析】

【分析】（1）设切线坐标，求得，得到，求得，得出切点坐标，进而求得切线方程；

（2）把不等式对任意恒成立转化为对任意恒成立，令，利用导数求得函数的单调性与最大值，即可得证；

（3）不妨设，转化为，设，转化为在恒成立，设，利用导数求得函数的单调性与最小值，即可求解.

【小问1详解】

解：由函数，可得，

设切点坐标，可得，

因为函数在点处的切线与直线平行，，解得，

所以，即切点坐标为，所以切线方程为，即.

【小问2详解】

解：真命题，

理由如下：

欲证对任意恒成立，

即证对任意恒成立，

令

可得，

令 ，可得，

则的关系如下表：

故，即对任意恒成立，

故原命题得证

【小问3详解】

解：不妨设，若，

可得，

设，则恒成立，

故是的增函数，即对恒成立，

可得恒成立，

设，可得，

令，可得，所以在上递减，

令，可得，所以在上递增，

即有在处取得极小值，且为最小值，得，解得，

即实数的取值范围是.

【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：

1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；

2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．

3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．