北京市第八中学2021-2022学年高二数学下学期期末考试试题（Word版附解析）

这是一份北京市第八中学2021-2022学年高二数学下学期期末考试试题（Word版附解析），共19页。
北京八中2021-2022学年度第二学期期末练习
高二数学
考试时间120分钟，满分150分
一、选择题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1. 设全集U是实数集R，，则图中阴影部分所表示的集合是 （ ）

A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】阴影部分表示的是，
根据题意，或，
则，
所以，
故选C.
本题主要考查集合的运算.
2. 设a，b，c为非零实数，且则下列判断中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用特值可判断ABD，根据不等式的性质可判断C.
【详解】因为，取，则，故A错误；
取，则，，故BD错误；
因为，所以，故C正确.
故选：C.
3. 已知函数的图象如图所示，那么下列各式正确的是（ ）

A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据的图象与导函数图象之间的关系判断．
【详解】由图象知，递减，即，但图象的切线斜率随着的增大而增大，导函数是递增的，
因此．
故选：A．
4. 一个关于自然数n的命题，已经验证知时命题成立，并在假设（k为正整数）时命题成立的基础上，证明了当时命题成立，那么综上可知，该命题对于（ ）
A. 一切自然数成立 B. 一切正整数成立
C. 一切正奇数成立 D. 一切正偶数成立
【答案】C
【解析】
【分析】依据数学归纳法规则去判断即可解决
【详解】已经验证知时命题成立，并在假设（k为正整数）时命题成立的基础上，
证明了当时命题成立，那么综上可知，命题对成立
即该命题对于一切正奇数成立
故选：C
5. 甲、乙两人独立地解同一问题，甲解出这个问题的概率，乙解出这个问题的概率是，那么其中至少有1人解出这个问题的概率是
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由甲解决这个问题的概率是，乙解决这个问题的概率是，则“至少有一人解决这个问题”的事件的对立事件为“甲、乙两人均不能解决该问题”，我们可先求出“甲、乙两人均不能解决该问题”，然后根据对立事件概率减法公式，代入求出答案．
【详解】甲解决这个问题的概率是，
甲解决不了这个问题的概率是，
乙解决这个问题的概率是，
乙解决不了这个问题的概率是
则甲、乙两人均不能解决该问题的概率为
则甲、乙两人至少有一人解决这个问题的概率为
故选：．
【点睛】本题考查的知识点是相互独立事件的概率乘法公式及对立事件概率减法公式，其中根据已知求出“甲乙两个至少有一人解决这个问题”的事件的对立事件为“甲、乙两人均不能解决该问题”的概率，是解答本题的关键．
6. 已知二次函数的值域为，则的最小值为（ ）
A. 4 B. 6 C. 8 D. 10
【答案】A
【解析】
【分析】根据函数值域可推出，利用均值不等式即可求解.
【详解】因为二次函数的值域为，
所以，
即，，
所以，当且仅当，即时等号成立，
故选：A
7. 下列函数中，在(0,+∞)为增函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据基本函数的单调性判断ABC，利用导数判断D．
【详解】对于A，在每一个单调区间上单调递增，在不具有单调性，故A错误；
对于B，在是减函数，故B错误；
对于C，在为增函数，在为减函数，故C错误；
对于D，，，所以时，函数在为增函数，故D正确.
故选：D．
8. 函数在区间的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由函数的奇偶性结合指数函数、三角函数的性质逐项排除即可得解.
【详解】令，
则，
所以为奇函数，排除BD；
又当时，，所以，排除C.
故选：A.

9. 设是奇函数，则使的x的取值范围是（ ）
A. (－1，0) B. (0，1) C. (－∞，0 ) D.
【答案】A
【解析】
【分析】由奇函数的性质求得，再解对数不等式可得．
【详解】为奇函数，则，，
此时，定义域是，，满足题意，
，，解得．
故选：A．
10. 在数列中，已知，则“”是“是单调递增数列”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】分别求出当、“是单调递增数列”时实数的取值范围，利用集合的包含关系判断可得出结论.
【详解】已知，若，即，解得.
若数列是单调递增数列，对任意的，，即，
所以，对任意的恒成立，故，
因此，“”是“是单调递增数列”的充要条件.
故选：C.
11. 已知关于的方程有2个不相等的实数根，则的取值范围是.
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】将问题转化为直线与函数的图象有两个公共点问题，并且可发现直线与曲线有一个公共点原点，考虑临界位置，即直线与曲线的图象切于原点时，利用导数求出临界值，结合图象观察直线斜率变化，求出的取值范围．
【详解】由，得，令，
则问题转化为：当直线与曲线有两个公共点时，求的取值范围．
由于，所以，直线与曲线有公共点原点，
如下图所示：

易知，
①先考虑直线与曲线切于原点时，的取值，
对函数求导得，当直线与曲线切于原点时，
，结合图象知，当时，直线与函数的左支有两个公共点；
②考虑直线与曲线切于原点时，的取值，
对函数求导得，当直线与曲线切于原点时，
，结合图象知，当时，直线与函数的右支有两个公共点．
因此，实数的取值范围是，故选A．
【点睛】本题考查利用函数的零点个数求参数的取值范围问题，对于这类问题，一般是转化为两曲线的交点个数问题，本题是转化为直线与曲线有两个公共点，而且有一个明显的公共点，所以要考虑直线与曲线有公共点这个临界位置，并利用导数求出临界位置的参数值，借助图形观察直线斜率的变化，从而求出参数的取值范围，属于难题．
12. 已知数列的各项均为正数，且满足(为常数，．给出下列四个结论：
①对给定的数列，设为其前n项和，则有最小值；
②若数列是递增数列，则；
③若数列周期数列，则最小正周期可能为2；
④若数列是常数列，则
其中，所有正确结论的个数是（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】利用数列的各项均为正数以及前项和表达式判断①；若数列是递增数列，则有，进而根据已知条件化简式子求出的取值情况判断②；若数列是最小正周期为的数列，则有，对和取特殊值验证判断③；若数列是常数列，设，则，从函数的角度求的取值情况判断④.
【详解】对于①，在数列的各项均为正数的情况下，设为其前n项和，
则，易知递增，因此有最小值，①正确；
对于②，若数列是递增数列，则成立，又，
成立，即成立，则，②错误；
对于③，若数列是最小正周期为的数列，则，
即成立，
当，时，上式成立，数列是最小正周期为的数列，③正确；
对于④，若数列是常数列，设，则，
令，则，，
，④正确.
综上所述，所有正确结论的个数是个.
故选：C.
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．
13. 函数的定义域为__________．
【答案】
【解析】
【分析】求出使函数式有意义自变量的范围．
【详解】由题意，解得且，所以定义域为．
故答案为：．
14. 已知，，，则a，b，c按从小到大排列为___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据指数函数性质比较大小．
【详解】，，
所以．
故答案为：．
15. 已知3个等差数列{}，{}，{}，其中数列{}的前n项和记为，已知，写出一组符合条件的{}与{}的通项公式___________．
【答案】，（答案不唯一）．
【解析】
【分析】任意写出一个等差数列，求出和，再由的表达式得出．
【详解】例如：，，，．
故答案为：，（答案不唯一）．
16. 若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是_________．
【答案】
【解析】
【详解】试题分析：因为函数在区间上单调递增
所以在区间恒成立，

因为，所以在区间恒成立
所以
因为，所以
所以的取值范围是
考点：1．恒成立问题；2．导函数的应用．
17. 已知函数给出下列四个结论：
①存在实数，使函数为奇函数；
②对任意实数，函数既无最大值也无最小值；
③对任意实数和，函数总存在零点；
④对于任意给定的正实数，总存在实数，使函数在区间上单调递减.其中所有正确结论的序号是______________.
【答案】① ② ④
【解析】
【分析】
分别作出，和的函数的图象，由图象即可判断① ② ③ ④的正确性，即可得正确答案.
【详解】
如上图分别为，和时函数的图象，
对于① ：当时，，
图象如图关于原点对称，所以存在使得函数为奇函数，故①正确；
对于② ：由三个图知当时，，当时，，所以函数既无最大值也无最小值；故② 正确；
对于③ ：如图和图中存在实数使得函数图象与没有交点，此时函数没有零点，所以对任意实数和，函数总存在零点不成立；故③ 不正确
对于④ ：如图，对于任意给定的正实数，取即可使函数在区间上单调递减，故④正确；
故答案为：① ② ④
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是分段函数图象，涉及二次函数的图象，要讨论，和即明确分段区间，作出函数图象，数形结合可研究分段函数的性质.
三、解答题共5小题，共65分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
18. 已知数列{}，其n项和为，满足 ✮ ．
请你从①，；②；③，．这三个条件中任选一个，补充在上面的“✮”处，并回答下列问题：
（1）求数列{}的通项公式；
（2）当，求n的最大值．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）若选①，则可得数列{}是4为公差，1为首项的等差数列，从而可求出其通项公式，若选②，利用求解通项公式，若选③，则可得数列{}为常数列，从而可求出其通项公式，
（2）若选①，则利用等差数列的求和公式求出，然后解不等式可得答案，若选②，则利用等比数列的求和公式求出，然后解不等式可得答案，若选③，则求出常数列的前项和，然后解不等式可得答案，
【小问1详解】
若选①，因为，所以，
所以数列{}是4为公差，1为首项等差数列，
所以，
若选②，当时，，得，
当时，由，得，
所以，得，
所以数列{}是以2为公比，1为首项的等比数列，
所以，
若选③，因为，
所以，
所以（），即（），
因为，，所以，
所以数列{}为常数列，所以
【小问2详解】
若选①，由（1）可知数列{}是4为公差，1为首项的等差数列，
所以，
当时，，即，
解得（），
所以n的最大值为7，
若选②，由（1）可知数列{}是以2为公比，1为首项的等比数列，
所以，
当时，，
解得（），
所以n的最大值为6，
若选③，由（1）可知数列{}为常数列，且，
所以，
当时，（），
所以n的最大值为100
19. 某大型连锁超市的市场部为了比较线下、线上这两种模式的销售情况，从某地区众多门店中随机抽取8家门店，对其线下和线上这两种销售模式下的日营业额（单位：万元）进行调查．调查结果如下：

门店1
门店2
门店3
门店4
门店5
门店6
门店7
门店8
线下
日营业额
9
6.5
19
9.5
14.5
16.5
20.5
12.5
线上
日营业额
11.5
9
12
17
19
23
21.5
15
若某门店一种销售模式下的日营业额不低于15万元，则称该门店在这种销售模式下的日营业额达标；否则就称该门店在此种销售模式下的日营业额不达标．若某门店的日营业总额（线上和线下两种销售模式下的日营业额之和）不低于30万元，则称该门店的日营业总额达标；否则就称该门店的日营业总额不达标．（各门店的营业额之间互不影响）
（1）从8个样本门店中随机抽取3个，求抽取的3个门店的线下日营业额均达标的概率；
（2）若从该地区众多门店中随机抽取3个门店，记随机变量X表示抽到的日营业总额达标的门店个数．以样本门店的日营业总额达标的频率作为一个门店的日营业总额达标的概率，求X的分布列和数学期望；
（3）线下日营业额和线上日营业额的样本平均数分别记为和，线下日营业额和线上日营业额的样本方差分别记为和．试判断和的大小，以及和的大小．（结论不要求证明）
【答案】（1）；（2）分布列见解析，；（3）.
【解析】
【分析】（1）依据题意线下销售达标的有3家，然后简单计算即可.
（2）由二项分布的概率公式运算即可得解；
（3）根据数据进行计算然后直接判断即可.
【详解】（1）由题可知：线下销售达标的有3家，分别是：门店3，门店6，门店7
所以所求的概率为
（2）由题意，日营业总额达标的概率为，
的所有可能取值为：0，1，2，3，
所以，，，，
所以的分布列为

0
1
2
3





所以；
（3）


所以

所以
所以
20. 已知函数.
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）曲线在直线的上方，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由，得到，进而求得，写出切线方程；
（2）将问题转化为恒成立，令其中，用导数法求解.
【小问1详解】
解：时，.

所以曲线在点处的切线方程为
即.
【小问2详解】
曲线在直线的上方，
即恒成立，
设其中.

①若在上单调递增.
因为所以不满足条件.
②若令
当时，在上单调递减，
当时，在上单调递增，
所以
令，解得
综上，实数的取值范围为
21. 已知函数，其中e是自然对数的底数．
（1）若f(x)在处取得极小值，求a的值；
（2）若存在，使得，且，求a的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求导数，由求得，代入函数检验是极小值点即得；
（2）问题进行转化，设，，转化方程有正数解，构造函数，求导函数，需要多次求导得出的最小值，然后分类讨论得出有正数解时参数范围．
【小问1详解】
，由题意，，
此时，易知是增函数，又，
所以时，，递减，时，，递增．
所以极小值，满足题意．
所以；
【小问2详解】
若存在，使得，且，设，，
则，
所以方程在上有解．
设，
，设，则，
设，则，所以，即是增函数，
，
所以即是增函数，
，
若，即，则恒成立，是增函数，，无正数解，不合题意．
若，即，则存在，使得，
在上，，递减，在上，，递增，
又，则，显然时，，
所以存在，即，使得．
综上，．
【点睛】难点点睛：本题考查由函数的极值点求参数值，用导数研究方程有解问题，难点是问题的转化，设，问题转化为方程有正数解，然后再构造函数，由导数研究函数的单调性得结论．解题思想是消元：二元化一元．
22. 设A为非空集合，令，则的任意子集R都叫做从A到A的一个关系(Relation)，简称A上的关系．例如时，{0，2}，，，{(0，0)，(2，1)}等都是A上的关系．设R为非空集合A上的关系．给出如下定义：
①(自反性)若，有，则称R在A上是自反的；
②(对称性)若，有，则称R在A上是对称的；
③(传递性)若，有，则称R在A上是传递的；
如果R同时满足这3条性质，则称R为A上的等价关系．
（1）已知，按要求填空：
①用列举法写出______________________；
②A上的关系有____________个(用数值做答)；
③用列举法写出A上的所有等价关系：{(0，0)，(1，1)，(2，2)}，{(0，0)，(1，1)，(2，2)，(0，1)，(1，0)}，{(0，0)，(1，1)，(2，2)，(0，2)，(2，0)}，_______________，_______________，共5个．
（2）设和是某个非空集合A上的关系，证明：
①若，是自反的和对称的，则也是自反的和对称的；
②若，是传递的，则也是传递的．
（3）若给定的集合A有n个元素()，，，．．．，为A的非空子集，满足且两两交集为空集．求证：为A上的等价关系．
【答案】（1）①答案见解析；②512；③答案见解析；
（2）①证明见解析；②证明见解析；
（3）证明见解析．
【解析】
【分析】（1）①根据的定义直接写出；②求出的子集的个数即得；③由等价关系的定义求解；
（2）①根据自反和对称的定义证明；②利用传递的定义证明；
（3）根据定义证明具有自反性，对称性、传递性．
【小问1详解】
①由题意；
②由①知中有9个元素，它的子集个数为，所以上的关系有512个；
③A上的所有等价关系：{(0，0)，(1，1)，(2，2)}，{(0，0)，(1，1)，(2，2)，(0，1)，(1，0)}，{(0，0)，(1，1)，(2，2)，(0，2)，(2，0)}，{(0，0)，(1，1)，(2，2)，(1，2)，(2，1)}，，共5个．
【小问2详解】
①因为，是在A上自反的，所以，，，因此，所以是自反的，
设，则或，
因为都在A上是对称的册，所以或，从而，
所以在A上是对称的；
②若都是传递的，设，，
则且，且，
因为都是传递的，所以且，从而，
所以也是传递的；
【小问3详解】
①对任意的，
因为，，．．．，为A的非空子集，满足且两两交集为空集．则或，…，或，其中有且仅有一个正确，设是1,2，…，中的一个），则，
而，所以，所以是上自反的，
②因为，，…，为A的非空子集，满足且两两交集为空集．所以，，…，的两两交集为空集，
设，则属于，，…，中的一个集合，设（是1,2，…，中的一个），则，
从而，所以是上对称的；
③设，，由②知属于，，…，中的一个集合，设（是1,2，…，中的一个），属于，，…，中的一个集合，设（是1,2，…，中的一个），
不妨设，，
所以，，而，，．．．，为A的非空子集，满足且两两交集为空集．所以，
即，从而，所以，
所以是上传递的．
综上，为A上的等价关系．
【点睛】本题集合的新定义，集合的新运算．解题关键是正确理解新定义并运用新定义解决问题．证明问题的思路就是根据自反性、对称性、传递性的定义一一检验证明即可．考查了学生的创新意识．