黑龙江省大庆实验中学2022-2023学年高三数学下学期5月考前得分训练（三）（Word版附解析）

大庆实验中学实验一部2020级得分训练三

数学学科试题

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）

1. 命题“”的否定是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】利用定义写出命题的否定即可．

【详解】命题的否定是

故选：A

2. 已知集合，，则（    ）

A. 或 B. 或

C. 或 D. 或

【答案】B

【解析】

【分析】求解分式不等式化简集合，根据对数函数的性质化简集合，再由数轴法得出．

【详解】因为，所以且，解得，

所以，所以或．

又因为，所以，解得，

所以，

所以或．

故选：B．

3. 世界数学三大猜想：“费马猜想”、“四色猜想”、“哥德巴赫猜想”．其中，哥德巴赫猜想仍未解决，目前最好的成果“”由我国数学家陈景润在1966年取得．哥德巴赫猜想描述为：任何不小于4的偶数，都可以写成两个质数之和．在不超过17的质数中，随机选取两个不同的数，其和为奇数的概率为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】求出基本事件总数，再求出和为奇数事件所包含的基本事件个数，根据古典概型求解.

【详解】不超过17的质数有：2，3，5，7，11，13，17，共7个，

随机选取两个不同的数，基本事件总数，

其和为奇数包含的基本事件有：，共6个，

所求概率.

故选：B.

4. 已知，，则下列结论不正确的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】先求出的值，再对四个选项一一验证即可得解.

【详解】，由，解得，，

且，有，A选项正确；

，B选项正确；

，C选项正确；

，D选项错误.

故选：D

5. 已知圆和两点，，若圆C上至少存在一点P，使得，则实数a的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】由题意，圆：与圆O：位置关系为相交，内切或内含，从而求得实数a的取值范围.

【详解】圆C：的圆心，半径，

∵圆C上至少存在一点P，使得，

∴圆：与圆O：位置关系为相交，内切或内含，如图所示，

又圆O：的圆心，半径，

则，即，∴．

故选：B．

6. 已知函数的定义域为，为函数的导函数，若，，则不等式的解集为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】利用函数的导数运算性质及函数的单调性即可求得结果.

【详解】由题意得，，

即，

所以，即，

又，所以，故 ，

，可得，

在上，，单调递增；

在上，，单调递减，

所以的极大值为.简图如下：

所以，，.

故选：D.

7. 已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，点P为第一象限内一点，且点P在双曲线C的一条渐近线上，，且，则双曲线C的离心率为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据题意可知，再由直角三角形中线的性质可得，

利用二倍角正切公式计算即可.

【详解】如图，

设双曲线C的焦距为2c，由可得，

所以，即，

所以．

故选：A．

8. 已知，为实数，不等式在上恒成立，则的最小值为（    ）

A. －4 B. －3 C. －2 D. －1

【答案】C

【解析】

【分析】根据题中不等式恒成立先得到，的关系式，转化为，构造函数，求出其最小值即为的最小值.

【详解】设，，

当时，，函数在上单调递增，

此时，在不恒成立，不合题意

当时，

时，，函数在上单调递增，

时，，函数在上单调递减，

所以在时取得最大值，

由题意不等式在恒成立，只需

即，

所以，

，

设，

当时，，在区间上单调递减，

当时，，在区间上单调递增，

所以在取得最小值为，

所以最小值为，

故选：C

二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

9. 已知，，是三个平面，，，．下列结论正确的是（    ）

A. 若，则与可能是异面直线

B. 若，则直线、、必然交于一点（即三线共点）

C. 若，则

D. 若，则与可能是异面直线

【答案】BC

【解析】

分析】由空间中点，线，面的位置关系判断即可.

【详解】对于A、B：由题意，知，可得，，因为，可得，

又由，可得，所以为与的公共点．

又，所以，所以、、三线共点，故A错误，B正确．

对于C、D：由题意，因为，，，所以，

因为，，，所以，同理可证，所以，故C正确，D错误；

故选：BC

10. 设，，为复数，下列命题中正确的是（    ）

A. 若，则 B. 若，则或

C. 若且，则 D. 若，则

【答案】BCD

【解析】

【分析】由特殊值否定选项A，利用复数模的性质证得选项BD，可证选项C．

【详解】对于A：当时，满足，此时，，，A选项错误；

对于B：若，则，所以或至少有一个成立，即或，B选项正确；

对于C，由，则，∵，∴，C选项正确；

对于D，若，则，由复数模的性质可得，，，所以，D选项正确.

故选：BCD

11. 已知函数，则下列结论正确的是（    ）

A. 的值域为

B. 当且仅当时，函数取得最大值

C. 的最小正周期是

D. 在上恰有3个零点

【答案】BD

【解析】

【分析】先对化简，然后作出的图像如图所示，利用函数的图像逐个分析判断即可

【详解】因为，

作出函数的图象，如图所示：

所以的值域为，故选项A错误

函数的最小正周期是，故选项C错误；

当且仅当时，函数取得最大值，故选项B正确；

选项D正确．

故选：BD．

12. 已知实数a，b，c满足（其中e为自然对数的底数），则下列说法正确的是（    ）

A.  B.

C. 的最小值为 D.

【答案】AC

【解析】

【分析】由已知得，由于当且仅当取等，则

，，故，，代入选项即可

【详解】令，则，当时，，为减函数，当时，，为增函数，

故，所以，当且仅当取等.

由得

而，，所以

所以，

当且仅当，时成立，故，，

对B：，令，，

当时，，为减函数，当时，，为增函数，

故，所以，故B错误；

对C：，令，，

当时，，为减函数，当时，，为增函数，

故，所以的最小值为，故C正确；

对D：，令，，

当时，，为减函数，当时，，为增函数，

故，所以，故D错误；

故选：AC

【点睛】关键点点睛：本题关键是将同构为，借助于得到当且仅当，，从而得到的关系.

三．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13. 已知有8个样本数据分别为4，7，8，11，13，15，20，22，则估计该组数据的总体的第三四分位数为______．

【答案】17.5##

【解析】

【分析】根据第三四分位数的计算方法计算即可.

【详解】由题意，数据的总体的第三四分位数即第75百分位数，又样本数据有8个，

所以第三四分位数为.

故答案为：17.5.

14. 在平面直角坐标系中，已知点，动点P满足：过点作直线的垂线，垂足为，且，则的最小值为______．

【答案】

【解析】

【分析】根据已知求出点轨迹方程，根据两点间的距离公式，利用二次函数求出的最小值.

【详解】设点坐标为，则，，

又因为，所以，

由，得，

所以，是抛物线上的点，

设，则,

因为，所以当时，取最小值，此时．

故答案为：.

15. 焦点在轴上的椭圆（）， 点是椭圆的左、右焦点，点是椭圆上的点，的内切圆的圆心为，若 ，过原点的直线交椭圆于两点，则的值为___________.

【答案】6

【解析】

【分析】取线段的中点，根据可得，由是的内切圆的圆心，所以分别为的角平分线，根据角平分线性质及可得中三边的比例关系，再根据椭圆的定义即可得离心率，再根据，即可得，根据椭圆的对称性可知，即可得的值.

【详解】解：设内切圆半径为，取线段的中点，

因为，即，

所以，则三点共线，

因为是的内切圆的圆心，

所以分别为的角平分线，

所以，即，

故，

又有，所以，由椭圆对称性有，

所以.

故答案为：6

16. 如图，已知二面角的棱是，，，若，，，且，，则二面角的大小为______，此时，四面体的外接球的表面积为______．

【答案】    ①. ##    ②. ##

【解析】

【分析】把二面角转化为与的夹角，由，利用向量的运算，求得，求得二面角的大小为，把三棱锥补成一个直三棱柱，利用正弦定理求得外接圆的半径为，结合球的截面圆的性质，求得，结合球的表面积公式，即可求解.

【详解】空1：由题意知且，

根据二面角的平面角的定义，可得向量与的夹角就是二而角的平面角，

又由，且，和，

所以，

即，化简得，

即，所以，

又因为，所以，所以二面角的大小为．

空2：如图所示，把三棱锥补成一个直三棱柱，

可得三棱锥的外接球即为直三棱柱的外接球，

设外接球的半径为，底面的外接圆的半径为

在中，由，

可得，

由正弦定理得，可得，

又由球的截面圆的性质，可得，

所以三棱锥的外接球的表面积为.

故答案为：；.

四．解答题

17. 数列的前项的和为，已知，，当时，

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求的前项和

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）当时，由已知变形可得，利用累加法可求得数列的通项公式；

（2）对任意的，计算得出，然后利用等差数列的求和公式可求得.

【小问1详解】

解：当时，由可得，

即，因为，，所以时也满足，

当时，，

所以，，

当时，，也满足上式，所以.

【小问2详解】

解：，对任意的，，

所以，.

18. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，其中，．

（1）求角B的大小；

（2）若，求△ABC面积的最大值．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）方法一：利用正弦定理化边为角，再结合三角形内角和定理及两角和的正弦公式即可得解；

方法二：利用余弦定理化角边，即可得解；

（2）利用余弦定理结合已知及基本不等式求出的最大值，再根据三角形的面积公式即可得解.

【小问1详解】

方法一：由，

根据正弦定理边化角得：，

即，所以，

因为，所以，又，所以，

又，所以；

方法二：由，

根据余弦定理：得，

即，

因为，所以，

所以，又，得；

【小问2详解】

由（1）及余弦定理知，

所以，

因为，

所以，化简得，

因为，，所以，，

所以，当且仅当，即，时取等号，

所以的面积，

所以面积的最大值为.

19. 某学校为了解学生对航天知识的知晓情况，在全校学生中开展了航天知识测试（满分100分），随机抽取了100名学生的测试成绩，按照[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]分组，得到如下所示的样本频率分布直方图：

（1）根据频率分布直方图，估计该校学生测试成绩的平均数；

（2）从测试成绩在[90，100]的同学中再次选拔进入复赛的选手，一共有6道题，从中随机挑选出4道题进行测试，至少答对3道题者才可以进入复赛．现有甲、乙两人参加选拔，在这6道题中甲能答对4道，乙能答对3道，且甲、乙两人各题是否答对相互独立．记甲、乙两人中进入复赛的人数为，求的分布列及期望．

【答案】（1）   

（2）分布列见解析，

【解析】

【分析】（1）利用平均数的计算方法，即可求解；

（2）由题意可求，甲乙分别进入复赛的概率，然后求出时的概率，即可得到分布列和期望.

【小问1详解】

平均数，

所以该校学生测试成绩的平均数为.

【小问2详解】

由题意可知，从6道题中选4题共有，

因为甲能答对6道题中的4道题，故甲能进复赛的情况共有；

所以甲能进复赛的概率为，则甲不能进复赛的概率为，

因为乙能答对6道题中的3道题，故乙能进复赛的情况共有；

所以乙能进复赛的概率为，则乙不能进复赛的概率为；

依题可得，的可能取值为0，1，2，

所以，，

，

则分布列为：

则.

20. 如图，已知四棱锥中，，，，平面，平面平面

（1）证明：；

（2）若，且，为的重心．求直线与平面所成角的正弦值．

【答案】（1）证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）由面面垂直的性质定理、线面垂直的判定定理和性质定理即可证明；

（2）以为坐标原点，，为，轴，过平行于的直线为轴建立空间直角坐标系，分别求出直线的方向向量与平面的法向量，由线面角的向量公式代入即可得出答案.

【小问1详解】

过作于，∵平面平面，平面平面，

因为平面，∴平面，又平面，

∴，又∵平面，平面，∴

平面，，

∴平面，又∵平面，∴

【小问2详解】

以为坐标原点，，为，轴，过平行于的直线为轴建立空间直角坐标系，

∴，，，

又设，∵，∴①

∴，∴②

由①②得，，∴

又，故，

设平面的法向量为则，

令，∴

设直线与平面所成角为．

则．

21. 已知椭圆E：经过A（－1,0），两点，M，N是椭圆E上异于B的两动点，且，直线AM，AN的斜率均存在．并分别记为，．

（1）求证：为常数；

（2）求△AMN面积的最大值．

【答案】（1）证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）由题意求得椭圆方程，利用对称性及斜率的坐标运算即可证明结论；

（2）设点，，，，，联立直线与椭圆得交点坐标关系，确定直线方程，结合基本不等式即可求得△AMN面积的最大值．

【小问1详解】

∵椭圆过A和B，∴，解得，

∴椭圆E的方程为：，

由知AM与AN关于直线对称．

在AM上任取一点，设关于直线AB对称的点为，

则，解得，

从而，，

于是

【小问2详解】

设点，，，，，

由，得，∴，

从而，同理，

由（1）有，，故，，

又，，

∴，

令．得．由此可知，直线MN过定点

令，

则，

当且仅当，即时取等号，

所以面积的最大值为.

方法二：

又，，，

所以，

当且仅当取等号，所以面积的最大值为.

22. 已知函数．

（1）讨论函数单调性；

（2）当时，，求实数a的取值范围；

（3）求证：．

【答案】（1）答案见解析   

（2）   

（3）证明见解析

【解析】

【分析】（1）求出函数的导数，讨论可得函数的单调区间；

（2）根据导数的单调性，分析导数的零点与2的关系，分类讨论，利用函数端点的函数值及单调性证明；

（3）利用分析法转化不等式，由函数的单调性得出，利用累加法化简得证.

【小问1详解】

依题意，，；

当时，，函数在上单调递增；

当时，令，解得，

故当时，；当时，，

故函数在上单调递增，在上单调递减；

综上所述，当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递增，在上单调递减；

【小问2详解】

依题意，，由（1）知，当时，函数在上单调递增；符合题意，

时，当，即时，函数f（x）在上单调递增，在上单调递减，

，解得，所以，

当，即时，函数f（x）在[0，2]上单调递增，成立，

综上，实数a的取值范围是.

【小问3详解】

要证，

即证，

由（2）可知，时，时，恒成立，

故当时，，则，

即，

所以，

整理得：，

即，

即.

【点睛】关键点点睛：利用不等式证明分析法，只需证明，根据（1）（2）的结论，得出当时，，有，再利用累加法化简得到是解题的关键所在.