1.4-一元二次方程的解法（2）（含pdf版）-2023-2024学年升初三（新九年级）数学暑假衔接教材（人教版）

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❊1.4 一元二次方程的解法（2）知 识考 点 因式分解法1.提公因式法解一元二次方程2.公式法解一元二次方程3.十字相乘法解一元二次方程 换元法4.换元法解一元二次方程  内容因式分解法提公因式法解一元二次方程公式法解一元二次方程（主要是平方差公式）十字相乘法解一元二次方程【注意】配方法与公式法是万能解法，所有题都能用，但是因式分解法类似于简便方法，并不是所有一元二次方程都能用.方程的解是（    ）A．B．C．或2023D．或【分析】用因式分解法解一元二次方程即可．【解答】解：，，，或2023．故选：．一元二次方程的解是（    ）A．B．C．，D．，【分析】先移项得到，再利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程即可．【解答】解：，，，或，所以，．故选：．一元二次方程的解为（    ）A．B．，C．，D．【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可．【解答】解：，，，，故选：．一元二次方程的根是（    ）A．0或3B．0C．0或2D．2【分析】利用因式分解法求解即可．【解答】解：，，，或，，，故选：．解下列方程：（1）（2）   【答案】（1），(2)，【解析】（1），，，，∴或，∴，；  （2）解：，整理得，∴，∴或，解得，．解下列方程：（1）（2）   【答案】（1）(2)【详解】（1），，，或，．（2）解：移项，得，即，进一步可变形为，∴或，解得：；   解下列方程：（1）（2） 【答案】(1)，（2），【详解】（1）解：∴即∴，解得：，．（2），，，或，解得，，所以，原方程的解为，．解下列方程：（1）（2）   【答案】（1），；（2），【详解】（1）解：，，，，或，，．（2）∵，∴，∴，∴或，解得，．解方程：.【答案】，；【详解】解：移项得，∴，∴或，∴，；解方程：.【答案】解下列方程：（1）（2）  .【答案】（1）【详解】解：∵，∴，∴或，解得；（2），，所以，；解方程：．【解答】，，或，所以，． 内容十字相乘法习惯养成：将一元二次方程化为一般形式（a，b，c都为整数，且a>0）.十字相乘法：用两边凑中间.【注意】并不是所有一元二次方程都能用十字相乘法，能够由两边凑出中间才能用十字相乘法. 解下列方程：（1）（2）   （3）（4）【解答】解：（1），，或，所以，；（2），，或，解得，；（3），，或，，；（4）解：，或，解得：，． 解下列方程：（1）（2）  （3）（4）   【解答】（1）解：∴，∴，即，∴，（2）解：，，或，解得，；（3）解：∵，∴，∴或，解得，．（4）∵，∴，∴，，解得．解下列方程：（1）（2）   （3）（4）【解答】解：（1），，或，解得，．（2），因式分解得：，或，，；（3），，或，所以，．（4），．解下列方程：（1）（2）    （3）（4）【解答】解：（1），，或，，．（2），或，所以，；（3）解：方程可以化为：，∴或，∴，．（4）解：原方程即为，∴，∴或，解得：. 判断下列方程是否可以用十字相乘法：（1）_____；（2）_____；（3）_____；（4）_____；（5）_____.判断下列方程是否可以用十字相乘法：（1）_____；（2）_____；（3）_____；（4）_____；（5）_____. 内容换元法把一个整体换元为另一个未知数，在利用一元二次方程的解法求解.解方程：，利用整体思想和换元法可设，则原方程可化为：__________．【分析】根据换元法，设，代入原方程即可求解．【解答】解：设，则原方程可化为：．故答案为：．在利用方程求时，辰萱同学令则原方程转化为__________．【分析】令，则原方程转化为．【解答】解：令，则原方程转化为，若，则的值为（    ）A．B．4C．或4D．3或4【分析】设，则原方程转化为，然后利用因式分解法解该方程求得的值即可．【解答】解：设，则：．整理，得．所以或．所以或（舍去）．即的值为4，故选：．已知实数满足，则的值是（    ）A．B．或6C．6D．6或4【分析】设，由原方程得到，然后利用因式分解法解方程即可．【解答】解：设，则．整理，得．所以或．解得或．当时，，即，此时△，该方程无解．综上所述，．故选：．已知，求的值为______．【分析】设为，利用换元法解答即可．【解答】解：设为，可得：，，解得：，（不合题意舍去），所以的值是3．故答案为：3．已知实数满足，则代数式的值是______．【分析】已知方程左边分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0求出所求式子的值即可．【解答】解：已知方程分解因式得：，可得或（无解），．故答案为：5．阅读材料，解答问题．解方程：．解：把视为一个整体，设，则原方程可化为．解得，．或．．以上方法就叫换元法，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想．请仿照材料解下列方程：（1）；（2）．【分析】（1）设，则原方程可化为．然后利用因式分解法解该方程，进而求得的值；然后再利用直接开平方法求得的值；（2）设，则原方程可化为，然后利用因式分解法解该方程，进而求得的值；然后再利用公式法求得的值．【解答】解：（1）设，则原方程可化为，整理，得，解得，．当时，即，解得，当时，即，解得．综上所述，原方程的解为，；（2）设，则原方程可化为，整理，得，解得，．当时，即，，当时，无解．原方程的解为，．阅读与思考：解方程，解：设，则原方程可化为：①，解得，当时，，，当时，，，原方程的解为：，，，解答问题：（1）上述解题过程，在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到了降次的目的，体现了______的数学思想；（2）请利用以上知识解方程：①；②．【分析】（1）根据题中给出的解一元二次方程的方法即可直接得出结论；（2）①利用题中给出的方法先把当成一个整体来计算，求出的值，再解一元二次方程．②利用题中给出的方法先把当成一个整体来计算，求出的值，再解一元二次方程．【解答】解：（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到了降次的目的体现了转化的数学思想．故答案为：转化；（2）①设，原方程可变为，则，或，，，当时，，解得；当时，，解得原方程的解为，，，．②设，原方程可变为，解得，，，，解得，．1.方程的根是（    ）A．，B．C．，D．【分析】观察发现此题用因式分解法比较简单，在提取后，左边将变成两个式子相乘为0的情况，让每个式子分别为0，即可求出．【解答】解：因式分解得：，或，解得：或．故选：．2.一元二次方程的根为（    ）A．B．，C．，D．，【分析】本题应对方程进行变形，提取公因式，将原式化为两式相乘的形式，再根据“两式相乘值为0，这两式中至少有一式值为0”来解题．【解答】解：原方程可化为，，，．故选：．3.方程的解是（    ）A．，B．，C．D．【分析】先移项得到，再利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程即可．【解答】解：，，，或，所以，．故选：．4.将转化为两个一元一次方程，这两个方程是（    ）A．，B．， C．，D．，【分析】先移项，再利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于的一元一次方程．【解答】解：，，则，或，即或，故选：．5.若三角形两边长分别为5和4，第三边的长是方程的根，则此三角形的周长为（    ）A．16B．18C．15或17D．16或18【分析】首先求出方程的根，再根据三角形三边关系定理，确定第三边的长，进而求其周长．【解答】解：将变形为，解得：，，三角形两边长分别为5和4，第三边的边长，即第三边的边长在1和9之间，第三边的边长为7．这个三角形的周长是．故选：．6.解方程：（1）（2）  （3）（4）   【分析】利用因式分解法求解．【解答】（1）解：原方程变形为：，因式分解：，或，解得：，．（2），整理得：，因式分解得：，即，或，，．（3）解：移项得，，提取公因式得，．故或，解得，．（4），，，，．7.方程的两个根为（    ）A．，B．，C．，D．，【分析】利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程即可．【解答】解：，，或，所以，．故选：．8.已知一个等腰三角形的两边长分别是方程的两个根，则该三角形的周长是（    ）A．10B．8C．8或10D．6或10【分析】解方程求得的值，再分两种情况结合三角形的三边关系求三角形的周长即可．【解答】解：，，解得，，当腰是2时，三边分别2，2，4，不能组成三角形；当腰是4时，三边分为4，4，2，能组成等腰三角形；所以此等腰三角形的周长是．故选：．9.已知等腰的边是方程的根，则的周长为（    ）A．9B．9或12C．6或15D．6或12或15【分析】先利用因式分解法解方程得到，，根据等腰三角形的性质，等腰的三边长可以为5、5、2或5、5、5或2、2、2，然后分别计算对应的的周长．【解答】解：，，或，所以，，当等腰的边长分别为5、5、2时，的周长为；当等腰的边长分别为5、5、5时，的周长为；当等腰的边长分别为2、2、2时，的周长为，综上所述，的周长为6或12或15．故选：．10.解下列方程：（1）（2）   （3）（4）   （5）（6）  （1）解：方程可以化为：，∴或，∴，；（2），（3），（4），（5）解：，∴.（6）解：，，∴或，∴，．11.若，则（    ）A．B．4C．或4D．或3【分析】设，则原方程转化为，然后利用因式分解法解该方程求得的值即可．【解答】解：设，则原方程转化为，整理，得，解得，（舍去）．则．故选：．12.已知，则______．【分析】设，则原方程转化为，利用因式分解法解方程即可．【解答】解：设，则原方程转化为，整理，得．解得，．所以或．故答案为：3或．13.已知为实数，且满足，则的值是______．【分析】根据换元法，可得一元二次方程，解一元二次方程，可得答案．【解答】解：设，原方程等价于．解得或（不符合题意，舍），，故答案为：6．14.阅读材料，解答问题：为解方程，我们将视为一个整体，解：设，则，原方程可化为，解得，，当时，，当时，，原方程的解为或．（1）上面的解题方法，利用______法达到了降幂的目的．（2）依据此方法解方程：．【分析】（1）根据换元法解一元二次方程；（2）根据换元法解一元二次方程即可求解．【解答】解：（1）上面的解题方法，利用换元达到了降幂的目的，故答案为：换元；（2）解：，设，原方程可化为，解得，，当时，，当时，，原方程的解为或．15.阅读材料：为了解方程，我们可以将看作一个整体，设，那么原方程可化为①，解得，．当，时，，．；当时，，．．故原方程的解为，，，．解答问题：（1）上述解题过程，在由原方程得到方程①的过程中，利用______法达到了降次的目的，体现了______的数学思想；（2）请利用以上知识解方程：；（3）请利用以上知识解方程：．【分析】（1）根据换元法的方法解答；（2）利用题中给出的方法先把当成一个整体来计算，求出的值，再解一元二次方程；（3）利用题中给出的方法先把当成一个整体来计算，求出的值，再解一元二次方程．【解答】解：（1）换元；转化；（2）设，原方程可变为，则，或，，，当时，，解得，当时，，解得，原方程的解为，，，；（3）设，原方程可变为，解得，，，，解得，．