2022-2023学年黑龙江省大庆实验中学实验三部高二下学期期中考试数学试题含解析

2022-2023学年黑龙江省大庆实验中学实验三部高二下学期期中考试数学试题

一、单选题

1．设集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】解出集合、，利用交集的定义可求得集合.

【详解】因为，，

因此，.

故选：A.

2．命题“，”的否定是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】B

【分析】利用全称量词命题的否定可得出结论.

【详解】命题“，”为全称量词命题，该命题的否定为“，”.

故选：B.

3．甲、乙、丙人站到共有级的台阶上（每级台阶足够长，可站多人），同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】分析可知甲、乙、丙人每人都有种选法，结合分步乘法计数原理可得结果.

【详解】由题意可知，甲、乙、丙人每人都有种选法，

由分步乘法计数原理可知，不同的站法种数是种.

故选：C.

4．有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若表示取得次品的件数，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据超几何分布的定义计算即可.

【详解】由题意知的可能取值为服从超几何分布，所以，所以.

故选：C项.

5．云计算是信息技术发展的集中体现，近年来，我国云计算市场规模持续增长.已知某科技公司年至年云计算市场规模数据，且市场规模与年份代码的关系可以用模型（其中e为自然对数的底数）拟合，设，得到数据统计表如下：

由上表可得经验回归方程，则年该科技公司云计算市场规模的估计值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】求出、的值，代入回归方程求出的值，可得出关于的回归方程，然后在回归方程中令可得出的值，即可求得的值，即可得解.

【详解】由题意可得，，

将代入回归方程可得，

所以，关于的回归方程为，

当时，，此时，.

故选：B.

6．某学校选派甲，乙，丙，丁，戊共5位优秀教师分别前往四所农村小学支教，用实际行动支持农村教育，其中每所小学至少去一位教师，甲，乙，丙不去小学但能去其他三所小学，丁，戊四个小学都能去，则不同的安排方案的种数是（    ）

A．72 B．78 C．126 D．240

【答案】B

【分析】分组讨论结合组合排列关系计算即可.

【详解】要求每所小学至少去一位教师，则需要将5人分成4组，

则①甲，乙，丙中有2位教师去同一所学校有：

种情况，

②甲，乙，丙中有1位教师与丁去同一所学校有：

种情况，

③丁，戊两人选择同一所学校有：种情况，

所以满足题意的情况为：，

故选：B.

7．三国时期数学家赵家为了证明勾股定理，创制了一幅如图所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”，它由四个全等的直角三角形和一个正方形构成.现对该图进行涂色，有种不同的颜色可供选择，相邻区域所涂颜色不同.在所有的涂色方案中随机选择一种方案，该方案恰好只用到四种颜色的概率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先求出所有的涂色方案种数，然后求出只用到四种颜色的涂色种数，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.

【详解】先考虑所有的涂色方案种数：区域⑤有种涂色方法，区域①有种涂色方法，区域②有种涂色方法.

若区域③和区域①同色，则区域④有种涂色方法；

若区域③和区域①异色，则区域③有种涂色方法，区域④有种涂色方法.

综上所述，所有的涂色方法种数为种.

接下来考虑只用到四种颜色的涂色方案种数：先从种颜色选择种颜色，共种，

区域⑤有种涂色方法，则区域①③同色或区域②④同色，

若区域①③同色，则区域②④异色；若区域②④同色，则区域①③异色.

此时，不同的涂色方案种数为种.

因此，该方案恰好只用到四种颜色的概率是.

故选：C.

8．甲乙两人进行乒乓球赛，现采用三局两胜的比赛制度，规定每局比赛都没有平局（必须分出胜负），且每一局甲赢的概率都是，随机变量表示最终的比赛局数，若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】结合二项分布可计算随机变量的分布列，再利用公式可求、，最后利用二次函数的性质可求其范围.

【详解】随机变量可能的取值为.

.

，

故的分布列为：

故

因为，故，而，故A、B错误.

而，

令，因为，

故，此时，

必成立，故C错误，D正确.

故选：D.

【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列、期望、方差的计算以及函数的值域的求法，计算分布列时可借助常见的分布列（如二项分布等）来计算，估计方差的范围时，注意利用换元法把高次函数的值域问题转化为二次函数的值域问题.

二、多选题

9．下列结论正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，，则 D．若，，则

【答案】BC

【分析】根据不等式的性质，结合特殊值判断.

【详解】A. 取特殊值，，，显然不满足结论；

B. 由可知，，由不等式性质可得，结论正确；

C. 由同向不等式的性质知，，可推出，结论正确；

D. 取，满足条件，显然不成立，结论错误.

故选：BC.

10．随机变量服从两点分布，若，则下列结论正确的有（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABD

【分析】根据两点分布的定义以及期望，方差的性质即可解出．

【详解】因为随机变量服从两点分布，，所以，

故，因此，，

，所以正确的是ABD．

故选：ABD．

11．廉江红橙是广东省廉江市特产、中国国家地理标志产品．设廉江地区某种植园成熟的红橙单果质量（单位：g）服从正态分布，且，．下列说法正确的是（    ）

A．若从种植园成熟的红橙中随机选取1个，则这个红橙的质量小于167 g的概率为0.7

B．若从种植园成熟的红橙中随机选取1个，则这个红橙的质量在167 g～168 g的概率为0.05

C．若从种植园成熟的红橙中随机选取600个，则质量大于163 g的个数的数学期望为480

D．若从种植园成熟的红橙中随机选取600个，则质量在163 g～168 g的个数的方差为136.5

【答案】BCD

【分析】A.由求解判断；B.由求解判断；C.由质量大于163 g的个数求解判断；D.由质量在163 g～168 g的个数求解判断.

【详解】解：因为，所以，所以A错误．

因为，所以，所以B正确．

，若从种植园成熟的红橙中随机选取600个，则质量大于163 g的个数．所以，所以C正确．

因为，所以，又因为，所以，则，

所以，

若从种植园成熟的红橙中随机选取600个，则质量在163 g～168 g的个数，所以，所以D正确．

故选：BCD

12．一个不透明的袋子里，装有大小相同的个红球和个蓝球，每次从中不放回地取出一球，则下列说法正确的是（    ）

A．取出个球，取到红球的概率为

B．取出个球，在第一次取到蓝球的条件下，第二次取到红球的概率为

C．取出个球，第二次取到红球的概率为

D．取出个球，取到红球个数的均值为

【答案】ABD

【分析】根据古典概型概率公式可求得A正确；根据条件概率公式可求得B正确；将第二次取到红球分为两种情况，将概率加和可求得C错误；记取到的红球数为，计算可得每个取值对应的概率，根据均值求法可求得D正确.

【详解】对于A，取出个球，取到红球的概率，A正确；

对于B，记第一次取到蓝球为事件，第二次取到红球为事件，

则，，，B正确；

对于C，若第一次取到红球，第二次也取到红球，则概率为；

若第一次取到蓝球，第二次取到红球，则概率为；

第二次取到红球的概率，C错误；

对于D，记取到的红球数为，则所有可能的取值为，

，，，；

取到红球个数的均值为，D正确.

故选：ABD.

三、填空题

13．空间中有个点，其中任何个点不共面，过每个点作一个平面，可以作__________个平面.（用数字作答）

【答案】

【分析】利用组合计数原理可得结果.

【详解】空间中有个点，其中任何个点不共面，过每个点作一个平面，能作的平面的个数为个.

故答案为：.

14．展开式中的常数项为__________.

【答案】10

【分析】根据给定条件，确定展开式常数项的构成形式，再借助二项式定理求解作答.

【详解】展开式中的常数项是展开式的含的项与相乘的积，

展开式的通项公式，

当时，，

所以展开式中的常数项为.

故答案为：10

15．有一批同规格的产品，由甲、乙、丙三家工厂生产，其中甲、乙、丙工厂分别生产件、件、件，而且甲、乙、丙工厂的次品率依次为、、，现从这批产品中任取一件，则取到次品的概率为__________.

【答案】

【分析】记事件、、分别表示所抽取的产品由甲、乙、丙工厂生产，记事件为“所抽的产品为次品”，利用全概率公式可求得所求事件的概率.

【详解】记事件、、分别表示所抽取的产品由甲、乙、丙工厂生产，记事件为“所抽的产品为次品”，

则，，，，，

由全概率公式可得.

故答案为：.

16．南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中画了一张表示二项式展开式的系数构成的三角形数阵（如图所示），在“杨辉三角”中，第20行所有数字的平方和等于__________.（用一个组合数作答）

【答案】

【分析】把写成，再利用二项式定理求出项的系数作答.

【详解】依题意，在“杨辉三角”中，第20行所有数字的平方和等于，

可视为按x升幂展开与按x降幂展开的两个多项式乘积展开式的含项的系数，

即展开式含项的系数，

而，展开式中含项的系数为，

所以.

故答案为：.

四、解答题

17．2022 年卡塔尔世界杯是第二十二届世界杯足球赛，是历史上首次在卡塔尔和中东国家境内举行，也是继2002年韩日世界杯之后时隔二十年第二次在亚洲举行的世界杯足球赛，某中学高二年级共300人，其中男生150名，女生150名，学校团委对是否喜欢观看该世界杯进行了问卷调查，男生喜欢观看的人数为90，女生喜欢观看的人数为60.

(1)根据题意补全 2×2 列联表：

(2)依据小概率值的独立性检验，能否认为该校学生喜欢观看世界杯与性别有关？

参考临界值表：

，.

【答案】(1)2×2 列联表见解析；

(2)能认为该校学生喜欢观看世界杯与性别有关.

【分析】（1）根据题设数据确定男女生喜欢、不喜欢观看球赛的人数，即可完成列联表；

（2）应用卡方公式求卡方值，根据独立检验的基本思想即可得结论.

【详解】（1）依题设，喜欢观看的男生有人，不喜欢观看的男生有人；

喜欢观看的女生有人，不喜欢观看的女生有人，

列联表如下图示：

（2）由，

所以依据小概率值的独立性检验，能认为该校学生喜欢观看世界杯与性别有关.

18．已知函数.

(1)若时，求的单调区间；

(2)求在上的最小值.

【答案】(1)递增区间为，递减区间为；

(2)答案见解析.

【分析】（1）把代入，利用导数求出的单调区间作答.

（2）利用导数分段讨论函数在上的单调性，再求出最小值作答.

【详解】（1）当时，的定义域为，求导得，

当时，，当时，，即函数在上单调递增，在上单调递减，

所以函数的递增区间为，递减区间为.

（2），函数，求导得，由，得，

当时，，当时取等号，因此函数在上单调递增，，

当时，由，得，由，得，

于是函数在上单调递增，在上单调递减，，

由，得，当时，，

当时，，当时，，

所以当时，函数的最小值为，当时，函数的最小值为.

19．已知公差不为零的等差数列满足是的等比中项，.

(1)求数列的通项公式；

(2)从下面两个条件选择一个作为已知条件，求数列的前项和.

①；        

②.

注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.

【答案】(1)；

(2)答案见解析

【分析】（1）先利用题给条件求得等差数列的首项与公差，进而求得数列的通项公式；

（2）选①利用错位相减法即可求得数列的前项和；选②利用裂项相消法即可求得数列的前项和

【详解】（1）等差数列满足是的等比中项，

，即

由，可得

由，可得

.

（2）若选①：，则.

；

若选②：.

.

.

20．“绿色出行，低碳环保”已成为新的时尚，近几年国家相继出台了一系列的环保政策，在汽车行业提出了重点扶持新能源汽车的政策，为新能源汽车行业的发展开辟了广阔的前景.某公司对A充电桩进行生产投资，所获得的利润有如下统计数据，并计算得.

(1)已知可用一元线性回归模型拟合y与x的关系，求其经验回归方程；

(2)若规定所获利润y与投资金额x的比值不低于，则称对应的投入额为“优秀投资额”.记2分，所获利润y与投资金额x的比值低于且大于，则称对应的投入额为“良好投资额”，记1分，所获利润y与投资金额x的比值不超过，则称对应的投入额为“不合格投资额”，记0分，现从表中6个投资金额中任意选2个，用X表示记分之和，求X的分布列及数学期望.

附：.

【答案】(1)；

(2)分布列见解析，.

【分析】（1）利用给定的数表求出，再利用最小二乘法公式求解作答.

（2）求出的可能值，及对应的概率，列出分布列并求出期望作答.

【详解】（1）由数表知，

，

因此，，

所以所求经验回归方程为.

（2）由数表知，，，

因此“优秀投资额”有2个，“良好投资额”有1个，“不合格投资额”有3个，

的可能值为，

，

，

所以的分布列为：

数学期望.

21．设.

(1)当时，求函数在处的切线方程；

(2)若对任意的，恒成立，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）当时，求出、的值，利用导数的几何意义可得出所求切线的方程；

（2）分离参数得到，构造函数，求导确定函数的最小值即可得到的取值范围.

【详解】（1）解：当时，，则，所以，，

所以，当时，求函数在处的切线方程为，即.

（2）解：因为，所以对任意的，恒成立，

等价于在上恒成立.

令，则.

再令，则，

所以在上单调递增.

因为，，所以有唯一零点，

且.

所以当时，，当时，.

所以函数在上单调递减，在上单调递增.

因为，即，即，

因为，则，

令，其中，则，

所以，函数在上为增函数，

由可得，即，

因为，，所以，，可得，

所以，则.

所以的取值范围为.

【点睛】关键点点睛：本题关键点在于对求导后，把导数构造成新的函数再次求导，借助隐零点求出的最小值，进而借助恒成立的内容进行解答.

22．某企业对生产设备进行优化升级，升级后的设备控制系统由个相同的元件组成，每个元件正常工作的概率均为，各元件之间相互独立.当控制系统有不少于k个元件正常工作时，设备正常运行，否则设备停止运行，记设备正常运行的概率为（例如：表示控制系统由3个元件组成时设备正常运行的概率；表示控制系统由5个元件组成时设备正常运行的概率）.

(1)若，当时，求控制系统中正常工作的元件个数X的分布列和数学期望，并求；

(2)已知设备升级前，单位时间的产量为a件，每件产品的利润为1元，设备升级后，在正常运行状态下，单位时间的产量是原来的4倍，且出现了高端产品，每件产品成为高端产品的概率为，每件高端产品的利润是2元.记设备升级后单位时间内的利润为Y（单位：元）.

（i）请用表示；

（ii）设备升级后，在确保控制系统中元件总数为奇数的前提下，分析该设备能否通过增加控制系统中元件的个数来提高利润.

【答案】(1)分布列见解析，，

(2)（i），（ii）答案见解析

【分析】（1）由题意可知，利用二项分布求解即可求得期望，根据互斥事件的和事件的概率公式求解；

（2）（i）先写出升级改造后单位时间内产量的分布列congestion求出设备升级后单位时间内的利润，即为；

（ii）分类讨论求出与的关系，做差比较大小即可得出结论.

【详解】（1）因为，所以控制系统中正常工作的元件个数的可能取值为0，1，2，3；

因为每个元件的工作相互独立，且正常工作的概率均为，

所以，

所以，

，

，

所以控制系统中正常工作的元件个数的分布列为

控制系统中正常工作的元件个数的数学期望为，

；

（2）（i）升级改造后单位时间内产量的分布列为

所以升级改造后单位时间内产量的期望为；

所以

设备升级后单位时间内的利润为，即；

（ii）因为控制系统中元件总数为奇数，若增加2个元件，

则第一类：原系统中至少有个元件正常工作，

其概率为；

第二类：原系统中恰好有个元件正常工作，新增2个元件中至少有1个正常工作，

其概率为；

第三类：原系统中有个元件正常工作，新增2个元件全部正常工作，

其概率为；

所以

，

则，

所以当时，，单调递增，

即增加元件个数设备正常工作的概率变大，

当时，，

即增加元件个数设备正常工作的概率没有变大，

又因为，

所以当时，设备可以通过增加控制系统中元件的个数来提高利润；

当时，设备不可以通过增加控制系统中元件的个数来提高利润．

【点睛】关键点点睛：分析增加2个元件后，分三类求解，求出是解题的难点与关键.