2022-2023学年四川省广元市广元中学高二下期第二次段考数学（文）试题含答案

广元中学2021级高二下期第二次段考

数学试题（文科）

(考试时间：120分钟  满分：150分)

第Ⅰ卷　(选择题　共60分)

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

一、单选题

1．设集合（   ）

A.     B.    C.    D.

2．双曲线的渐近线方程为（    ）

A． B．

C． D．

3．如图所示，长方体中，给出以下判断，其中正确的是（    ）

A．直线与相交

B．直线与是异面直线

C．直线与有公共点

D．

4．是的导函数，若的图象如图所示，则的图象可能是（    ）

   A． B．

C． D．

5．执行如图所示的程序框图，输出的s值为（    ）

A． B．             C．            D．

6．“”是“直线与直线平行”的（     ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

7．某校举行知识竞赛，对全校参赛的1000名学生的得分情况进行了统计，把得分数据按，，，，分成5组，得到如图所示的频率分布直方图，则下列说法不正确的是（    ）

A．图中的x值为0.020 

B．得分在的人数为400

C．这组数据的极差一定为50 

D．这组数据的平均数的估计值为77

8．设平面向量满足，且，则（     ）

A． B．

C． D．与的夹角为

9．若直线过点A，其中是正实数，则的最小值是（    ）

A． B． C． D．5

10．双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点为F1(－c,0)，过点F1作直线与圆x2＋y2＝相切于点A，与双曲线的右支交于点B，点A为线段F1B的中点，则双曲线的离心率为(　　)

A．2               B.               C.                D.

11．在三棱锥P－ABC中，，，且，，，，则此三棱锥外接球的体积为（    ）

A． B． C． D．

12．已知函数，对于任意，有，则实数的范围为（    ）

A．         B．           C．         D．

第Ⅱ卷　(非选择题　共90分)

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13．=______.

14．若变量，满足约束条件，则的最大值为______．

15．已知F是抛物线C：的焦点，直线l与抛物线C交于A，B两点，与准线相交于点P，且点A为PB的中点，求_____．

16．如图，为圆柱下底面圆的直径，是下底面圆周上一点，已知，圆柱的高为5．若点在圆柱表面上运动，且满足，则点的轨迹所围成图形的面积为_______．

三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分10分）已知直线的直角坐标方程为：，曲线的直角坐标方程为：.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

(1)求直线和曲线的极坐标方程；

(2)若射线分别交直线和曲线于、两点（点不同于坐标原点），求.

18．（本小题满分12分）每天锻炼一小时，健康生活一辈子，现在很多年轻人由于诸多原因身体都是处于“亚·健康”状态，为了了解现在的年轻人运动锻炼的状况，某社会机构做了一次调查，随机采访了100位年轻人，并对其完成的调查结果进行了统计，将他们分为男生组、女生组，把每周锻炼的时间不低于5小时的年轻人归为“健康生活”，低于5小时的年轻人归为“亚健康生活”，并绘制了如下2×2列联表.

附：

(1)能否有95%的把握认为是否为“健康生活”与年轻人的性别有关？（运算结果保留三位小数）；

(2)用分层抽样的方法在健康生活的45名受采访的年轻人中选取6人参加一次公益活动，需要在这6名年轻人中随机选取两人作为这次活动的联络员，求两名联络员均为男性的概率.

19．（本小题满分12分）已知函数，且．

(1)求函数在处的切线方程；

(2)求函数在上的最大值与最小值．

20．（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，平面ABCD，M，N分别为棱PD，BC的中点，.

(1)求证：平面PAB；

(2)求直线MN与平面PBD所成角的正弦值.

21．（本小题满分12分）已知椭圆上有点，左、右焦点分别．

(1)求椭圆的标准方程；

(2)若点Q为椭圆的上顶点，椭圆上有异于Q的两点 满足，求证：直线恒过定点．

22．（本小题满分12分）已知函数．

（1）若函数的一个极值点是，求函数的单调区间；

（2）当时，证明：．

广元中学2021级高二下期第二次段文科数学试题考参考答案

1-4CCDC  5-8BCCC  9-12BBBA

13．7+4i     14.6     15.2     16.

17.（1）直线的直角坐标方程为，

根据转换为极坐标方程为，

曲线的直角坐标方程为，即，

根据转换为极坐标方程为.

（2）设点、的极坐标分别为、，

射线与直线交于点，故，

射线与曲线交于点，故，故

18.（1）由，

∵3.030<3.841，

∴没有95%的把握认为是否为“健康生活”与年轻人的性别有关；

（2）易得选取参加公益活动的6人为4男2女，

用a，b，c，d，1，2表示此4男2女，则基本事件：，，，，，，，，，，，，，，共15个基本事件，

记两名联络员均为男性为事件A，事件A包含6个基本事件，

，

∴两名联络员均为男性的概率为.

19.（1）因为，故，解得，

因为，所以，则所求切线的斜率为，且，故所求切线方程为，即；

（2）因为，，所以，

令，得（舍去），由，可得，函数单调递减，

由，可得，函数单调递增，

所以的极小值为，又，，

所以的最大值为2，最小值为.

20.（1）若是中点，连接，又为中点，

所以且，又ABCD为正方形，即且，

而为中点，故且，即为平行四边形，

所以，面，面，则面.

（2）由（1）知：直线MN与平面PBD所成角，即为直线与平面PBD所成角，

若到面的距离为，则到面的距离为，

由平面ABCD，平面ABCD，则，

由ABCD为正方形，则，又，

所以△为边长为的等边三角形，即，

由，即，则，而，

综上，直线MN与平面PBD所成角正弦值为.

21.（1）根据椭圆定义得，，即 ，

，故椭圆的标准方程为．

（2）证明：设，当直线斜率存在时，设直线方程：，

则由题意得，将，代入整理得：

（*），

将代入椭圆方程整理得，

需满足 ，则，

代入（*）式得：，整理得，

当时，过B点，不合题意；故，直线的方程为，

故此时过定点；

当直线斜率不存在时，设方程为，代入可得 ，

不妨设，由可得 ，解得，

此时方程为，也过定点，综合上述，过定点.

22.（1）依题意，函数的定义域为，

对函数求导得．

∵是的极值点，

∴，即，解得，

于是，．

所以，

所以函数在上单调递增，且．

因此当时，，当时，，

∴在上单调递减，在上单调递增．

（2）当时，，

所以，

故在上单调递增．

又，，故，

在上有唯一的解，且．

当时，；

当时，．

故当时，取极小值，

故由得，解得，

故，

∵，∴，故．

当且仅当，即时，等号成立，

而，∴．

综上所述，当时，．