2022-2023学年山东省济宁市嘉祥县第一中学高一下学期期中数学试题含解析

这是一份2022-2023学年山东省济宁市嘉祥县第一中学高一下学期期中数学试题含解析，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年山东省济宁市嘉祥县第一中学高一下学期期中数学试题 一、单选题1．已知单位向量，，则下列说法正确的是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用向量的有关概念及单位向量的定义依次判断即得.【详解】对于A，向量，为单位向量，向量，的方向不一定相同，A错误；对于B，向量，为单位向量，但向量， 不一定为相反向量，B错误；对于C，向量，为单位向量，则，C正确；对于D，向量，为单位向量，向量，的方向不一定相同或相反，即与不一定平行，D错误.故选：C.2．复数为虚数单位）的虚部为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由虚数的定义求解．【详解】复数的虚部是－1．故选：B．【点睛】本题考查复数的概念，掌握复数的概念是解题基础．3．若，，，则与的夹角为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】对两边同时平方化简化简代入可求出，即可求出与的夹角.【详解】对两边同时平方可得：，则，，所以，解得：，又，故与的夹角为.故选：C.4．已知函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，且的图象关于点对称，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由三角函数的性质得到最小正周期，进而得到，由图象关于对称，求出，确定函数解析式，代入求值即可.【详解】由题意得：函数的最小正周期为，所以，得，所以.因为的图象关于点对称，所以，所以，，故，，又，所以，所以，所以.故选：A.5．若是第二象限角，且，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由同角三角函数的基本关系求出即可求出，再由两角和的正切公式代入即可得出得出答案.【详解】因为是第二象限角，且，则，所以，则.故选：A.6．欧拉公式（为虚数单位，为自然对数的底数）被称为数学中最奇妙的公式．复数在复平面上所对应的点在（    ）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】B【分析】根据题意，求得复数，写出其对应点的坐标，即可得出答案.【详解】根据题意，故其在复平面内对应的点的坐标为在第二象限.故选：B.7．若圆锥的轴截面是面积为4的等腰直角三角形，则该圆锥的体积为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据直角圆锥性质求出圆锥高、母线与底面半径关系，根据圆锥体体积与侧面积公式求解.【详解】设圆锥底面半径为，根据直角圆锥的轴截面为等腰直角三角形可得，母线长为，所以，解得：，所以，所以圆锥高，所以圆锥的体积为.故选：B.8．我国古代数学家秦九韶左《数书九章》中记述了了“一斜求积术”，用现代式子表示即为：在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则的面积，根据此公式，若，且，则的面积为（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简，求得，再结合已知及余弦定理，求得的值，代入已知公式，即可求解.【详解】由题意，因为，所以，即，又由，所以，由因为，所以，所以，即，因为，由余弦定理可得，解得，则的面积为.故选：B.【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和两角和与差的正弦函数公式的化简求值的综合应用，意在考查推理与运算能力，属于中档试题. 二、多选题9．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论正确的是（    ）A．相等的线段在直观图中仍然相等B．平行的线段在直观图中仍然平行C．一个角的直观图仍是一个角D．相等的角在直观图中仍然相等【答案】BC【分析】根据斜二测画法分析各选项说法的正误即可.【详解】由斜二测画法原则：平行依旧垂改斜，横等纵半竖不变，平行于x轴且相等的线段在直观图中仍相等，而不是所有相等线段都能相等，A错误；平行线段在直观图中仍然平行，B正确；一个角在直观图中也是一个角的形式出现，C正确；如直角梯形在直观图中与直角对应的两个角不相等，D错误.故选：BC10．对于两个向量和，下列命题中错误的是（    ）A．若，满足，且与同向，则 B．C． D．【答案】ACD【分析】根据向量的运算法则，以及向量的数量积的运算公式，逐项运算，即可求解.【详解】对于A中，向量是既有大小，又有方向的量，所以向量不能比较大小，所以A不正确；对于B中，由，又由，因为，所以成立，所以B正确；对于C中，，所以C不正确；对于D中，，所以，所以D不正确.故选：ACD.11．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列选项正确的是（    ）A．B．C．若为锐角三角形，则D．【答案】ABC【分析】根据大边对大角，即可得出A项；根据正弦定理，结合A项，即可得出B项；由已知可推出，根据正弦函数的单调性，即可得出C项；，根据诱导公式化简，即可判断D项.【详解】对于A项，根据大边对大角，知A项正确；对于B项，由A知，.由正弦定理可得，，所以.由，根据正弦定理可得，，所以，所以，故B项正确；对于C项，由已知可得，，所以，因为正弦函数在上单调递增，所以，故C项正确；对于D项，，故D项错误.故选：ABC.12．已知函数，则（    ）A．函数的图象可由的图象向左平移个单位得到B．是函数的一个零点C．函数在区间上单调递增D．将函数的图像向左平移个单位，得到函数，则函数是偶函数【答案】BCD【分析】根据图象的平移规律可判断AD；计算是否等于0可判断B；求出函数的单调递增区间可判断C.【详解】对于A，函数的图象可由的图象向左平移个单位可得：，故A不正确；对于B，，故B正确；对于C，令，整理得：，所以函数在区间上单调递增，故C正确；对于D，函数的图像向左平移个单位，得到函数，，则函数是偶函数，故D正确.故选：BCD. 三、填空题13．若点是角终边上的一点，且，则______.【答案】-4【分析】由正弦的定义,可得,即可求出的值.【详解】由题意,,解得.故答案为:-4.【点睛】本题考查了利用角的终边上任意一点(除原点)的坐标定义三角函数,属于基础题.14．已知向量，满足，，与的夹角为，则________．【答案】【分析】向量模的平方等于向量的平方，根据该性质计算即可.【详解】.故答案为：.15．若，则的值为_____.【答案】【分析】根据诱导公式化简求值.【详解】由，则，故答案为：. 四、双空题16．已知三棱锥的棱长均为，先在三棱锥内放入一个内切球，然后再放入一个球，使得球与球与三棱锥的三个侧面都相切，则球的半径为_________，球的体积为_________．【答案】          【分析】由等体积法求得内切球半径，再根据对应线段成比例求得球的半径，再求球的体积．【详解】如图所示：已知三棱锥的棱长均为，所以三棱锥为正四面体，设底面三角形中心为，底面，则，在上，取的中点，作截面，球，球与切于，连结. 题意得 ，底面的外接圆半径为，点到平面的距离为 ，所以 ， 所以 设球的半径为，所以则，得 .设球的半径为，则，，又,,得，所以球的体积为为 故答案为：；. 五、解答题17．已知向量，．(1)若与共线，求实数k的值：(2)求向量与夹角的大小．【答案】(1)(2) 【分析】（1）求出与的坐标，再利用向量平行的坐标公式计算即可；（2）利用公式求解即可.【详解】（1）由已知，，与共线，，解得；（2）由已知，又，.18．（1）已知复数，（是虚数单位）是关于的方程的根，、R，求的值．（2）若复数（是虚数单位）的共轭复数对应的点在第二象限，求实数m的集合．【答案】（1）；（2）【分析】（1）将复数代入方程中，利用复数相等的充要条件即可求解.（2）求出共轭复数，由题意可得，解方程即可得出答案.【详解】（1）复数，（是虚数单位）是关于的方程的根，则即，根据复数相等可得，解得：，所以.（2）复数对应的点在第二象限，则对应的点为，则，解得：19．在中，角的对边分别为，若．(1)求角；(2)若，求的面积最大值，并求对应的的周长．【答案】(1)(2)的面积最大值为，此时对应的的周长为. 【分析】（1）由正弦定理和两角和的正弦公式化简已知表达式即可得出答案；（2）由余弦定理结合基本不等式求出的面积最大值，此时，即可求出对应的的周长．【详解】（1）由正弦定理可得：，则，所以，因为，所以，所以，因为，所以.（2）因为，，所以，，所以，当且仅当时取等，所以，的面积最大值为，此时对应的的周长为.20．如图，AC为圆锥SO底面圆O的直径，点B是圆O上异于A，C的动点，，(1)求圆锥SO的侧面积；(2)若点是的中点，求三棱锥的体积【答案】(1)(2) 【分析】（1）算出三角锥母线长度，再根据扇形面积公式计算即可；（2）利用等体积法可知，根据题意找出三棱锥的高和底面积即可.【详解】（1）圆锥母线长为：，圆锥侧面扇形弧长为：，圆锥SO的侧面积为：.（2）点是的中点，所以为等腰直角三角形，根据勾股定理可知，由此可得，.21．如图所示，在中，在线段BC上，满足，是线段的中点．(1)延长交于点Q（图1），已知求的值；(2)过点的直线与边，分别交于点E，F（图2），设，．求的值． 【答案】(1)1(2)3 【分析】（1）根据向量共线定理将展开计算即可；（2）根据向量基本定理将作为基底表示，再根据题意替换成，根据三点共线时基底系数的关系即可解得答案.【详解】（1）根据向量共线定理可知，由图可知展开可得，解得，即.（2）由题可知，同理可得：，由题可知：，因为E，O，F三点共线，所以，化简得.22．已知函数，．(1)将函数的解析式整理成的形式，并求的最小正周期；(2)当，且，求值．【答案】(1)，的最小正周期为.(2) 【分析】（1）首先通过三角恒等变换化简成的形式，再进一步求出的最小正周期；（2）首先配凑，再求出，可求出的值，再由两角和的正弦公式代入求解即可.【详解】（1），所以的最小正周期为.（2），则，因为，，所以，