2022-2023学年山东省淄博市淄博实验中学高一下学期期中数学试题含解析

2022-2023学年山东省淄博市淄博实验中学高一下学期期中数学试题

一、单选题

1．已知复数（其中i是虚数单位）是纯虚数，则实数a的值是（    ）

A． B．2 C．3 D．4

【答案】A

【分析】利用复数的除法化简复数，根据复数的概念可得出关于的等式与不等式，解之即可.

【详解】因为为纯虚数，

则，解得，

所以实数a的值是.

故选：A

2．（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用诱导公式和特殊角的三角函数值计算作答.

【详解】.

故选：D.

3．已知向量、不共线，且，若与共线，则实数的值为（    ）

A． B． C．或 D．或

【答案】C

【分析】根据平面向量共线的基本定理可得关于实数的等式，解之即可.

【详解】因为与共线，则存在，使得，即，

因为向量、不共线，则，整理可得，即，

解得或.

故选：C.

4．下列说法中，正确的是（    ）

A．以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的几何体是圆锥

B．用一个平面去截球，得到的截面是一个圆面

C．用一个平面截圆锥，得到一个圆锥和圆台

D．以正方体的顶点为顶点可以构成正四棱锥

【答案】B

【分析】根据圆锥、球体、正方体以及正四棱锥的结构特征逐一判断各选项.

【详解】对于A，以直角三角形的一条直角边所在直线为轴旋转一周所得的几何体是圆锥正确；故A错误；

对于B，用一个平面去截球，得到的截面是一个圆面正确，故B正确；

对于C，用一个平行于底面的平面截圆锥，得到一个圆锥和圆台，故C错误；

对于D，正四棱锥的顶点在底面的投影为正方形的中心，正方体的顶点中没有这样的点，故D错误.

故选：B.

5．已知向量不共线，若，，，则四边形是

A．梯形 B．平行四边形

C．矩形 D．菱形

【答案】A

【分析】根据线性运算可求得，得到平行关系和模长关系，从而得到四边形形状.

【详解】

且    四边形为梯形

本题正确选项：

【点睛】本题考查根据向量线性运算结果判断四边形形状的问题，关键是能够通过向量加法运算得到向量平行和模长的关系.

6．已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】令，则，，再利用诱导公式及二倍角公式计算可得；

【详解】令，则，，所以

.

故选：C.

7．如图，一艘船向正北方向航行，航行速度为每小时海里，在处看灯塔在船的北偏东的方向上.1小时后，船航行到处，在处看灯塔在船的北偏东的方向上，则船航行到处时与灯塔之间的距离为（    ）

A．海里 B．海里 C．海里 D．海里

【答案】B

【分析】确定，，根据正弦定理得到，解得答案.

【详解】，，，，

则，即，，

故选：B

8．《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，如图所示的是《易经》中记载的几何图形——八卦图．图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，其余八块面积相等的图形代表八卦田．已知正八边形ABCDEFGH的边长为，点P是正八边形ABCDEFGH边上的一点，则的最小值是（    ）．

A． B． C． D．4

【答案】B

【分析】过点作直线的垂线，垂足为点，计算出，分析可知当点在线段上时，在方向上的投影取最小值，结合平面向量数量积的几何意义求得结果.

【详解】过点作直线的垂线，垂足为点，，

如图，由平面向量数量积的几何意义可知，等于的模与在方向上的投影的乘积，

当点在线段上时，在方向上的投影取最小值，

此时，，，，

故的最小值为.

故选：B.

二、多选题

9．已知复数，则下列结论中正确的是（    ）

A．z对应的点位于第一象限 B．的虚部为2

C． D．

【答案】ACD

【分析】利用复数的乘除运算、模运算，以及复数的几何意义求解，再逐项判断作答.

【详解】，

z对应的点位于第一象限，A正确；

的虚部为，B错误；

，C正确；

，D正确.

故选：ACD

10．下列说法中正确的是（    ）

A．向量，能作为平面内所有向量的一组基底

B．已知，为单位向量，若，则在上的投影向量为

C．若，则与垂直的单位向量坐标为或

D．若，则与的夹角是钝角

【答案】BC

【分析】利用共线向量的坐标表示判断A；求出投影向量判断B；利用向量垂直的坐标表示求出单位向量判断C；举例说明判断D作答.

【详解】对于A，因为，则不能作为平面内的基底，A错误；

对于B，在上的投影向量为，B正确；

对于C，设与垂直的单位向量坐标为，则有，解得或，

所以与垂直的单位向量坐标为或，C正确；

对于D，当时，，即当时，与的夹角可能是，D错误.

故选：BC

11．已知函数的图象为C，则下列结论正确的是（    ）

A．图象C关于直线对称

B．函数在单调递减

C．为偶函数

D．若方程在区间有两个实根，则

【答案】CD

【分析】利用三角恒等变换化简函数，再结合正弦函数的性质逐项验证判断作答.

【详解】依题意，

，

对于A，因为，所以图象C关于直线不对称，A错误；

对于B，当时，，而正弦函数在上递增，

因此函数在单调递增，B错误；

对于C，，函数为偶函数，C正确；

对于D，当时，，则当时，是递增的，函数值从0递增到3，

当时，是递减的，函数值从3递减到，

方程在区间有两个实根，即函数在上的图象与直线有两个公共点，

所以，D正确.

故选：CD

12．已知△ABC中，，，，D在BC上，AD为的角平分线，E为AC中点，下列结论正确的是（    ）

A．

B．△ABC内切圆半径为

C．△ABC外接圆半径为

D．P在△ABE的外接圆上，则的最大值为

【答案】ABD

【分析】对于A，用等面积法，求进行验证；对于B，由余弦定理算出，计算面积，再求得内切圆半径为进行判断；对于C，由正弦定理求外接圆半径即可；对于D，用正弦定理表示，，结合三角函数性质验证结果.

【详解】对于A，因为为的角平分线，，，

由等面积法得，

整理得，解得，故A正确；

对于B，在中，由余弦定理得，

因为，所以.

所以，

设△ABC内切圆半径为,，则，故B正确；

对于C，，，由正弦定理得，

△ABC外接圆半径为，故C错误；

对于D，在的外接圆上，如图

则，，，在中，由余弦定理得，

所以在中，记，，由正弦定理得，，，

所以

，其中，

又因为，当时，取最大值，最大值为，故D正确.

故选：ABD.

三、填空题

13．如图，若斜边长为的等腰直角（与重合）是水平放置的的直观图，则的面积为________．

【答案】

【分析】根据给定的直观图作出原图，再计算面积作答.

【详解】在直观图中， 为等腰直角三角形，斜边，得，，

则原图形如图，有，，

所以的面积.

故答案为：

14．若，则________．

【答案】/0.2

【分析】根据给定条件，利用二倍角的正余弦公式，结合齐次式法求值作答.

【详解】因为，所以.

故答案为：

15．若非零向量满足，则夹角的余弦值为________．

【答案】/

【分析】利用给定等式，结合数量积的运算律求出的表达式，再利用向量夹角公式计算作答.

【详解】由，，得，则，

因此，

所以夹角的余弦值为.

故答案为：

16．已知在中，AD为BC边上的中线，且，，则的最小值为________．

【答案】/0.6

【分析】在和中，分别用余弦定理建立关系，并求得，再在中利用余弦定理结合基本不等式求解作答.

【详解】依题意，，，如图，

在中，由余弦定理得，

在中，由余弦定理得，

而，即，

两式相加得，于是，当且仅当时取等号，

在中，，

所以的最小值为.

故答案为：

四、解答题

17．已知向量，．

(1)求；

(2)已知，且，求向量与向量的夹角．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）利用向量的坐标表示，再借助坐标计算向量的模作答.

（2）由向量的模，结合向量的数量积运算律转化求出向量的数量积，再求出夹角作答.

【详解】（1）向量，，则，

所以.

（2）由，，得，解得，

由，得，于是，

而，则有，

所以向量与向量的夹角.

18．已知为锐角，.

(1)求的值；

(2)求的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据二倍角的余弦公式结合商数关系及化弦为切即可得解；

（2）先利用二倍角的正切公式求出，再根据平方关系及商数关系求出，再根据利用两角差的正切公式即可得解.

【详解】（1）；

（2）由，得，

因为为锐角，所以，则，

又因，所以，

所以，

所以，

则.

19．从①；②，这两个条件中任选一个，补充在下列问题中，然后解答补充完整的题目．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且________．

(1)求角B的大小；

(2)若，求的取值范围．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）选①，利用余弦定理可得，再利用正弦定理化边为角，结合两角和的正弦公式及三角形内角和定理即可得解；选②，利用正弦定理化角为边，再根据余弦定理即可得解.

（2）由（1）的结论，借助余弦定理建立关系，再利用均值不等式求解作答.

【详解】（1）选①，由及余弦定理，得，

即，由正弦定理得：，

则，

因为，即，则，又，

所以.

选②，由及正弦定理，得，

而，即，于是，即，

又，则，有，

所以.

（2）由（1）知，，由余弦定理，得，

则，

当且仅当时取等号，因此，而，

所以的取值范围是.

20．已知梯形中，，，E为的中点，F为与的交点，．

(1)求和的值；

(2)若，，，求与所成角的余弦值．

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）由向量的运算得出，进而得出和的值；

（2）由向量的运算得出，，进而得出，，，再由数量积公式求解即可.

【详解】（1）根据题意，梯形中，，，E为的中点

则

又由可得，

（2）是与所成的角，设向量与所成的角为

，则

，则

则，

因为

所以

所以与所成角的余弦值为.

21．函数在一个周期内的图象如图所示，与为该图象上两点，且函数的一个零点为．

(1)求的解析式；

(2)将的图象向左平移个单位长度，再将得到的图象横坐标不变，纵坐标变为原来的，得到的图象．令，求的最大值，若取得最大值时x的值为，求．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）求出对称轴结合零点求出及，再由点求出A，写出函数解析式作答.

（2）根据图象平移得解析式，利用三角恒等变换化简，即可得最大值及对应的自变量，再求出对应正切即可.

【详解】（1）观察图象，该图象过点与，则为函数图象的对称轴，而为函数的一个零点，

因此函数的周期，，

由，得，即，而，则，

于是，由，得，解得，

所以函数的解析式为.

（2）由（1）知，的图象向左平移个单位长度得的图象，

将得到的图象横坐标不变，纵坐标变为原来的，得到的图象，则，

因此

，

当，即时，有最大值，

此时.

22．已知函数．

(1)求函数的最小正周期；

(2)常数，若函数在区间上是增函数，求的取值范围；

(3)若函数在的最大值为2，求实数a的值．

【答案】(1)；

(2)；

(3)或.

【分析】（1）利用二倍角公式及辅助角公式化简函数，再求出最小正周期作答.

（2）根据给定的区间，求出函数相位所在区间，再借助正弦函数的单调增区间列式求解作答.

（3）化函数为，利用换元法结合二次函数性质求解作答.

【详解】（1）依题意，

，

所以函数的最小正周期.

（2）由（1）知，，，当，则，

而正弦函数在上单调递增，依题意，，

因此，解得，则有，

所以的取值范围是.

（3）由（1）知，，

令，则，

于是 ，

由，得，则，

当，即时，则当时，，

由，解得，不符合要求；

当，即时，，由，解得或，于是；

当，即时，则当时，，由，解得，于是，

所以实数是或.