2022-2023学年陕西省部分名校高一下学期期中联考数学试题含解析

2022-2023学年陕西省部分名校高一下学期期中联考数学试题

一、单选题

1．已知向量，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用平面向量的坐标运算即可求解.

【详解】因为，所以.

故选：A.

2．若复数，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据复数的除法运算求解，再求其共轭复数.

【详解】由，

得.

故选：C.

3．若一个圆锥的底面半径为2，母线长为3，则该圆锥的侧面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据圆锥的侧面积公式计算出答案即可.

【详解】该圆锥的侧面积为.

故选：B.

4．已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列结论正确的是（    ）

A．若，则

B．若，则与相交

C．若，则与平行

D．若，则不可能相交

【答案】D

【分析】根据直线与平面，平面与平面平行的判定和性质逐项进行判断即可求解.

【详解】若，则与可能平行或异面，错误，D正确；

若，则与平行或相交，B错误；

若，则与可能平行或相交，C错误.

故选：D.

5．已知向量，若，则（    ）

A．100 B． C． D．1000

【答案】D

【分析】由，根据共线向量的坐标表示列出方程，求得，即可求解.

【详解】由向量，

因为，可得，即，可得.

故选：D.

6．西安大唐不夜城的“不倒翁小姐姐”因为一段“把手给我”的短视频而被人熟知.“不倒翁小姐姐”不倒的原因在于其脚下的半球形工具.如果一个半球的半径为3，那么这个半球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据题意代入球的表面积计算公式即可求解.

【详解】设半球的半径为，则，所以这个半球的表面积，

故选：C.

7．已知四边形用斜二测画法画出的直观图为直角梯形，如图所示，，，则四边形的周长为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据图形把斜二测图形转化为实际图形，再计算周长即可.

【详解】由题意可知，如图所示，过点作，

垂足为，则四边形的高为

，

故四边形的周长为.

故选：A.

8．在中，平分，且交于，若，则的最小值为（    ）

A．5 B． C． D．

【答案】B

【分析】利用二倍角余弦公式及同角关系求出及的值，利用三角形面积相等化简得，最后利用基本不等式计算即可.

【详解】由题意可知，

则，，

因为，

所以，

所以，整理得，

所以，

当且仅当时，等号成立，

所以的最小值为.

故选：B.

二、多选题

9．在正方体中，分别为的中点，则（    ）

A．与异面 B．与所成的角为

C．与异面 D．与所成的角为

【答案】AD

【分析】通过异面直线的定义及异面直线所成角的定义逐一判断各选项.

【详解】如图，在正方体中，分别为的中点，

对于A，与异面，故A正确；

对于B， 与所成的角为，又，所以与所成的角为，故B错误；

对于C，由，得与共面，故C错误；

对于D，与所成的角为，又，所以与所成的角为.故D正确；

故选：AD.

10．已知复数在复平面内对应的点分别为，且为复平面内的原点，则（    ）

A．在第一象限 B．与关于对称

C．为钝角 D．

【答案】ABD

【分析】先求出复数对应点的坐标，根据点的特征判断选项A、B.；根据两个向量夹角的余弦值判断选项C；利用向量垂直的坐标表示判断选项D.

【详解】依题意可得，

对于A，在第一象限，故A正确；

对于B，与关于对称，故B正确；

对于C，因为，，所以不是钝角，故C错误；

对于D，因为， ，所以，故D正确.

故选：ABD.

11．如图，已知四边形均为正方形，则（    ）

A．在上的投影向量为

B．在上的投影向量为

C．在上的投影向量为

D．在上的投影向量为

【答案】BC

【分析】根据投影向量的定义求得结果.

【详解】如图，作于，设，则，四边形为平行四边形，互相平分，则.

所以，则，

对于A、B， 在上的投影向量为，故A错误，B正确；

对于C、D，连接，根据向量加法的平行四边形法则，得，所以在上的投影向量为，故C正确，D错误.

故选：BC.

12．已知四棱锥的底面为矩形，平面平面为棱上一点，，且，若四棱锥的每个顶点都在球的球面上，且球的体积为，则（    ）

A． B．球的半径为2

C．平面平面 D．点到平面的距离为

【答案】BCD

【分析】对于C，根据面面垂直的性质、线面垂直的判定定理可进行判断；对于B，由球体体积公式求解球体半径；对于A，由外接球的球心在中点，利用球的体积可求出，据此求出，再由勾股定理求出进行判断；对于D，利用等体积法可求出E到平面PCD的距离进行判断.

【详解】如图，

对于C，因为平面平面，平面平面，且平面，，

所以平面，平面，则平面平面，故C正确；

对于B，由球体体积公式，故B正确；

对于A，由平面，平面，得，

又因为，，平面，所以平面两两垂直，

所以侧棱为球的直径.

由，得.

又因为，所以平面，由勾股定理得，故A错误；

对于D，设点到平面的距离为，由，可知，

过点作，垂足为，则，且，

由，得，

解得，故D正确.

故选：BCD.

三、双空题

13．若复数，则的虚部为__________，__________.

【答案】         

【分析】根据复数的概念求出的虚部，再求出，即可得到其模.

【详解】复数的虚部为，又，

所以.

故答案为：；

四、填空题

14．已知某圆台的上底面和下底面的面积分别为，，该圆台的体积为，则该圆台的高为______.

【答案】3

【分析】由圆台的体积公式直接求得.

【详解】圆台的体积，得.

所以该圆台的高为3.

故答案为：3.

15．在四棱锥中，底面，底面为正方形，且.若与底面所成的角大于，则的长度的取值范围为__________.

【答案】

【分析】连接，得到与底面所成的角为，根据题意与底面所成的角大于，得到，即可求解.

【详解】如图所示，连接，

因为底面，所以与底面所成的角，即为，

又因为底面为正方形，且，可得，

因为与底面所成的角大于，可得，

所以的长度的取值范围为.

故答案为：.

16．位于河北省承德避暑山庄西南十公里处的双塔山，因1300多年以前，契丹人在双塔峰顶建造的两座古塔增添了诸多神秘色彩．双塔山无法攀登，现准备测量两峰峰顶处的两塔塔尖的距离．如图，在与两座山峰、山脚同一水平面处选一点A，从A处看塔尖的仰角是，看塔尖的仰角是，又测量得，若塔尖到山脚底部的距离为米，塔尖到山脚底部的距离为米，则两塔塔尖之间的距离为________米．

【答案】

【分析】先解直角三角形得AC=60米，米,再利用余弦定理解BC即可.

【详解】在中，米，，则米．

同理，在中，米，

在中，米，米，，

由余弦定理，得

米．

故答案为：.

五、解答题

17．(1)在复数范围内解方程；

(2)若复数为纯虚数，求.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由已知方程化简可得，将用复数表示，即可求解；

（2）利用复数的四则运算，以及纯虚数的定义，即可求解.

【详解】（1）解：由，

可得，则，

解得.

（2）因为，

且为纯虚数，所以，

解得，故.

18．已知是两个单位向量，且与的夹角为.

(1)求；

(2)求与的夹角的余弦值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据模长公式结合向量的数量积公式求解计算即可；

（2）应用向量的夹角余弦公式计算可得.

【详解】（1）依题意可得，

所以.

（2）设与的夹角为，

因为，

所以.

19．已知分别是正方体中和的中点.

(1)证明：四点共面.

(2)证明：三条直线交于一点.

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）通过证明，得到四点共面.

（2）设和交于点P，证明点P在平面与平面的交线上.

【详解】（1）连接，因为是正方体，

分别是和的中点，所以.

又，所以四边形为平行四边形，

所以，所以，

所以四点共面.

（2）由（1）知，且，

所以和必交于一点.

设，

因为平面，所以平面.

因为平面，所以平面.

又平面平面，所以，

所以交于一点.

20．如图，在平行四边形中，.

(1)若，试用表示；

(2)若与交于点，且 ，求的值.

【答案】(1)，

(2)

【分析】(1)根据平面向量加减法的运算规则计算；

(2)先求出AG与GF的比值，以作为基底，将根据向量平行的运算规则计算.

【详解】（1）由题意可知，

，

所以，

；

（2）若 ，则 ，

，

由题意可知三点共线，

，，

由 ，可得，

解得；

综上，（1），；（2）.

21．如图，在四棱锥中，底面ABCD为梯形，平面ABCD，，，，，E为PC的中点，且．

(1)证明：平面PBC．

(2)求四棱锥的体积．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）先证明，由直线与平面平行的判定定理证明平面PBC．

（2）证明平面APC，得，证明平面PCD，得的长度，计算体积.

【详解】（1）证明：在梯形ABCD中，因为，，所以，

因为平面PBC，平面PBC，所以平面PBC．

（2）如图，取AD的中点M，连接CM，AC，

因为底面ABCD为梯形，，，，，

所以，，且，

所以，所以．

因为平面ABCD，平面ABCD，所以，

因为，所以平面APC，

所以，又，，所以平面PCD，

所以，E是PC的中点，．

．

22．在中，角所对的边分别为，且.

(1)求；

(2)若边上的高为，求.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据已知条件，利用正弦定理和三角形内角和定理、以及三角恒等变换即可求解；

（2）利用三角形面积公式和余弦定理即可求解.

【详解】（1）由正弦定理得，

即，

又由，得，

所以，

由，得，所以，

则，所以，

由，得，则，即.

（2）因为边上的高为，所以，则，

由余弦定理得，则，

又因为，所以，解得.