2022-2023学年浙江省杭州市第十一中学高一下学期期中数学试题含解析

这是一份2022-2023学年浙江省杭州市第十一中学高一下学期期中数学试题含解析，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
浙江省杭州市第十一中学2022-2023学年高一下学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题1．若 ，则z （    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据复数的乘法以及除法运算即可化简求解.【详解】由得，故选：C2．有下列四种叙述：①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；②两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台；④棱台的侧棱延长后必交于一点.其中正确的有（    ）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】B【分析】根据棱台的定义和结构特征可判断各项.【详解】对于①：当截面不平行于底面时，棱锥底面和截面之间的部分不是棱台，①错；对于②③：如图的几何体满足条件，但侧棱延长线不能相交于一点，不是棱台，②③错；对于④：棱台结构特征知：侧棱延长后必交于一点，④正确.故选：B3．设函数（），则的奇偶性（    ）A．与有关，且与有关 B．与有关，但与无关C．与无关，且与无关 D．与无关，但与有关【答案】D【分析】可通过特殊值得出函数的奇偶性，从而得正确选项．【详解】当时，，，是奇函数，当时，，，是偶函数，当时，，，不是奇函数，，，因此不是偶函数，即此既不是奇函数也不是偶函数．所以奇偶性与有关，与无关，故选：D．4．已知，则的化简结果是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用诱导公式及平方关系化简即可.【详解】因为，所以，，则，所以.故选：A5．对于任意的平面向量，，，下列说法中正确的是（    ）A．若且，则 B．若，且，则C． D．【答案】C【分析】取判断A；取特殊值判断B；根据向量的运算律判断C；根据数量积的运算律判断D.【详解】对于A：当时，满足且，但不一定平行，故A错误；对于B：当，且时，，但，故B错误；对于C：由分配律可知，，故C正确；对于D：表示一个与共线的向量，表示一个与共线的向量，而与不一定共线，故D错误；故选：C6．在和中，若，，则（    ）A．与均是锐角三角形B．与均是钝角三角形C．是钝角三角形，是锐角三角形D．是锐角三角形，是钝角三角形【答案】D【分析】根据题意，由三角形的正弦值一定大于零，即可判断是锐角三角形，然后再由，判断的形状即可得到结果.【详解】在和中，因为，所以均为锐角，即为锐角三角形.另一方面，可得或即，所以为锐角或者钝角，同理可得为锐角或者钝角，但是中必然有一个为钝角，否则不成立，所以为钝角三角形.故选:D7．已知等边的边长为，为的中点，为线段上一点，，垂足为，当时，（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】设，由求出，得到为的重心，为的中点，再利用平面向量基本定理求解即可．【详解】解：设，则，，，，或（舍去），为的重心，，为的中点，，故选：B．8．将函数的图象向右平移个单位长度，再将横坐标缩短为原来的得到函数的图象．若在上的最大值为，则的取值个数为（    ）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【分析】由三角函数的图象变换得出，再根据正弦型三角函数的性质判定即可.【详解】由题意可得：，在时，则，由正弦型函数的单调性可知，若，即时，此时，如图所示，作出在上的图象，可知只有一个交点，即有一个解；若，即，此时 ，则，有一个解.故满足题意的有两个解.故选：A 二、多选题9．下列有关复数的说法中（其中为虚数单位），正确的是（    ）A．B．复数的虚部为C．若，则复平面内对应的点位于第二象限D．复数为实数的充要条件是【答案】AD【分析】根据复数的乘方判断A，根据复数的定义判断B，根据复数的几何意义判断C，根据充要条件的定义判断D.【详解】对于A：，故A正确；对于B：复数的虚部为，故B错误；对于C：，所以，则复平面内对应的点为位于虚轴，故C错误；对于D：若复数为实数则，设，，若，即，所以，则复数为实数，故复数为实数的充要条件是，故D正确；故选：AD10．下列说法中不正确的为（    ）A．已知，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是B．向量，不能作为平面内所有向量的一组基底C．若，则D．非零向量和满足，则与的夹角为【答案】AD【分析】利用平面向量数量积的坐标运算可判断A选项；利用平面向量基底的定义可判断B选项；由平面向量数量积的定义可判断C选项；利用平面向量数量积的运算性质可判断D选项.【详解】对于A，，，与的夹角为锐角，则，，且与不共线，即，即，所以且，故A错误；对于B，向量，即、共线，故、不能作为平面内所有向量的一组基底，B正确；对于选项C，因为，所以，故C正确；对于D，因为，两边平方得，则，，故，而，故，故D项错误．故选：AD.11．提鞋（斜）公式，也叫李善兰辅助角公式，是我国19世纪著名数学家李善兰先生提出的一种高等三角函数公式，其正弦型如下：，其中．若，，则下列判断正确的是（     ）A．当，时，B．当，时，C．当，时，D．当，时，【答案】AC【分析】根据两角和正弦公式求出的表达式后根据的正负分类讨论可得．【详解】，设，，，则，，若，则，此时，，，A正确；若，则，，，，B错；若，则，，，，C正确；若，则，，，，D错误．故选：AC．12．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图1）．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动．如图2，将筒车抽象为一个半径为R的图，设筒车按逆时针方向每旋转一周用时120秒，当，盛水筒M位于点，经过t秒后运动到点，点P的纵坐标满足（，，），则下列叙述正确的是（    ）A．筒车转动的角速度B．当筒车旋转100秒时，盛水筒M对应的点P的纵坐标为C．当筒车旋转100秒时，盛水筒M和初始点的水平距离为6D．筒车在秒的旋转过程中，盛水筒M最高点到x轴的距离的最大值为6【答案】ACD【分析】根据题意可知周期为120秒，进而可求，根据可求解，进而得，根据三角函数的性质，即可结合选项逐一求解.【详解】对于A,因为筒车按逆时针方向每旋转一周用时120秒，所以，故A正确；对于B,因为当时，盛水筒位于点，所以，所以有，因为，所以，即，所以，故B错误；对于C,由B可知：盛水筒的纵坐标为，设它的横坐标为，所以有，因为筒车旋转100秒时，所以此时盛水筒在第三象限，故，盛水筒和初始点的水平距离为,故C正确；对于D,因为，，所以筒车在，秒的旋转过程中，盛水筒最高点到轴的距离的最大值为6，故D正确．故选：ACD 三、填空题13．有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形（如图所示）.，则这块菜地的面积为__________ 【答案】【分析】利用直观图中的信息，求出的长度，从而得到原平面图形中的长度，利用梯形的面积公式求解即可.【详解】过作于，在直观图中，，，，所以，，故原平面图形的上底为 ，下底，高为，所以这块菜地的面积为，故答案为：.14．已知，则__________.【答案】/0.8【分析】将条件由辅助角公式化简，将条件由二倍角公式化简，再代入即可得出答案.【详解】，由辅助角公式可得，即，，故答案为：.15．圭表（如图甲）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”），当太阳在正午时刻照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图乙是一个根据某地的地理位置设计的主表的示意图，已知某地冬至正午时太阳高度角（即）大约为，夏至正午时太阳高度角（即）大约为，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即DB的长）为a，则表高（即AC的长）为__________．（注：）【答案】【分析】设，根据，得到，再利用正弦定理由求解.【详解】解：设，因为，所以，又，由正弦定理得，即，解得，故答案为：16．如图所示，在中，是边的中点，在边上，，与交于点，若，则__________．【答案】【分析】设，由三点共线求得，得到，求得，进而得到，即可求解.【详解】由平面向量的运算法则，可得，，设，因为三点共线，可得，解得，所以，所以，因为，所以，所以.故答案为：. 四、解答题17．如图，在平面直角坐标系中，以x轴非负半轴为始边作角，已知角的终边与单位圆相交于点A（在x轴上方），再以OA为始边，逆时针旋转交单位圆于点.若A点的横坐标.(1)求B点的横坐标；(2)求线段AB的长度.【答案】(1)(2) 【分析】（1）设，，由的余弦求出正弦，进而由余弦和角公式求出答案；（2）由余弦定理求出答案.【详解】（1）由题意得，设，，则，因为，且为第一象限角，解得：，，故B点的横坐标为；（2）在中，，由余弦定理得：，故.18．函数的部分图象如图所示(1)求函数的解析式；(2)求的单调增区间及对称轴.【答案】(1)(2)单调递增区间为；对称轴方程为：. 【分析】（1）利用最值求出，利用特殊点列方程组求出和，即可得到的解析式；（2）利用正弦函数的单调增区间和对称轴，以及整体代换的方法可求出的单调增区间及对称轴.【详解】（1）由图可得，周期为，所以，因为，所以；根据图象可得，；解得，因为，所以，所以.（2）令，解得，令，解得对称轴方程为：；综上所述，单调递增区间为；对称轴方程为：.19．已知，是平面内两个不共线的向量，，，，且A，E，C三点共线.(1)求实数的值；(2)若，，求的坐标；(3)已知，在（2）的条件下，若A，B，C，D四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点A的坐标.【答案】(1)；(2)；(3). 【分析】（1）利用向量的线性运算求出，再利用共线向量定理列式计算作答.（2）利用（1）的结论，结合向量线性运算的坐标表示，求解作答.（3）设出点A的坐标，由（2）的结论结合相等向量求解作答.【详解】（1）依题意，，因为A，E，C三点共线，又，则存在实数k，使得，即，得，而，是平面内两个不共线的向量，因此，解得，，所以实数的值.（2）由（1）知，所以.（3）因为A，B，C，D四点按逆时针顺序构成平行四边形，则，设，则，由（2）知，由解得，所以点A的坐标为.20．如图，在正中，，分别是，上的一个三等分点，分别靠近点，点，且，交于点．(1)用，表示；(2)求证：．【答案】(1)；(2)证明见解析． 【分析】（1）设，用表示出，然后由向量共线得方程组，解之可得．（2）计算可得证．【详解】（1）设，则，同理，又由已知得，，因为与不共线，与共线，与共线，所以，解得，所以；（2）设正边长为，则，由（1），所以，即．21．已知的角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．(1)求A；(2)若的面积为，，点D为边BC的中点，求AD的长．【答案】(1)(2) 【分析】（1）由正弦定理得到，再利用余弦定理求出；（2）在第一问的基础上，结合，利用三角恒等变换求出，进而由三角形面积得到，由余弦定理求出答案.【详解】（1）因为，所以由正弦定理可得，即．由余弦定理可得，又，所以．（2）因为，所以，即，又，则，所以．所以，．所以，所以．在△ACD中，由余弦定理可得，即．22．在中，角的对边分别为，已知．(1)求角的大小；(2)若，且为锐角三角形，求的周长的取值范围；(3)若，且外接圆半径为2，圆心为为上的一动点，试求的取值范围．【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）直接利用正余弦定理即可求解；（2）利用正弦定理将周长转化为关于角的三角函数，利用三角函数的值域即可求解；（3）易得三角形为等边三角形，取中点，可得，由为上的一动点，可得，进而可求的取值范围.【详解】（1）依题意，由正弦定理，，由可得，由余弦定理，则，则，因为，所以；（2）由为锐角三角形，，可得，由正弦定理，则，则，则的周长为，由，则，因为，整理得：，解得或（舍去），所以，则周长范围是；（3）由正弦定理，则，则，由，可得，则，则三角形为等边三角形，取中点，如图所示：则，由，则，则．【点睛】方法点睛：（1）利用正余弦定理可进行边角互换用以化简条件；（2）涉及三角形周长与面积的最值问题，可将问题转化为基本不等式或三角函数来求最值；（3）外接圆动点范围问题，可转化为动点到某个定点的距离问题，结合几何图形性质分析得出范围.