2022-2023学年江苏省连云港市东海县高一下学期期中数学试题含解析

2022-2023学年江苏省连云港市东海县高一下学期期中数学试题

一、单选题

1．设复数，则（    ）

A．1 B． C． D．

【答案】D

【分析】计算，再计算得到答案.

【详解】，则，故.

故选：D.

2．已知向量，满足，，且，则与的夹角为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】设，的夹角为，，根据得到，得到答案.

【详解】设，的夹角为，.

，则，

则，.

故选：B

3．在中，，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】首先求出，再利用正弦定理计算可得.

【详解】因为，，所以，

由正弦定理，即，解得.

故选：B

4．某公司要测量一水塔的高度，如图所示，测量人员在处测得该水塔顶端的仰角为，当他水平后退50米后，在处测得该水塔顶端的仰角为，且，，三点在同一直线上，则水塔的高度约为（    ）（）

A．49.25米 B．50.76米

C．56.74米 D．58.60米

【答案】A

【分析】在中，结合正弦定理可得，进而在中解三角形即可求出结果.

【详解】由题意可知：，在中，结合正弦定理可得，

又因为，所以，

在中，，则

.

故选：A

5．在中，，点在线段上(不与,点重合)，，则实数（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】设，得到，设，化简得到，结合，列出方程组，即可求解.

【详解】如图所示，设，因为，可得，

因为三点共线，设，

可得，

又因为，

可得，解得.

故选：C.

6．，，，则，，的大小关系是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】化简得到，，，再比较大小得到答案.

【详解】因为

，

又，

故；

又，

所以；

综上所述：.

故选：C

7．已知为锐角，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由为锐角，,可得，故，根据同角三角函数的基本关系可求，再由两角和的余弦公式求，最后根据二倍角的余弦公式即可求解.

【详解】因为为锐角，所以，所以.

因为，所以，所以.

所以.

所以

.

因为，所以，

所以,解得.

故选:A.

8．在中，，为边上一点，且，则面积的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据等面积法得到，利用均值不等式得到，计算面积最值得到答案.

【详解】根据等面积法：，即，

即，即，

当且仅当，即，时等号成立.

故.

故选：D

二、多选题

9．已知复数（为虚数单位），则（    ）

A． B．的虚部为1

C．的共轭复数为 D．

【答案】ABD

【分析】计算，再依次判断每个选项得到答案.

【详解】对选项A：，正确；

对选项B：的虚部为1，正确；

对选项C：的共轭复数为，错误；

对选项D：，正确；

故选：ABD.

10．在△中，角所对的边分别为，且，下列说法正确的是（    ）

A．△为钝角三角形 B．边的中线长为3

C．△周长为 D．△的外接圆面积为

【答案】ACD

【分析】利用正弦定理、余弦定理以及同角三角函数的平方关系即可求解.

【详解】对于选项,∵, ∴，

可知，，（为比例系数），

∵，∴判断最长边所对应的角是否为钝角即可，

由余弦定理得：，解得，

又∵ ，∴,∴△为钝角三角形，则选项正确；

对于选项,∵,∴，，，

由正弦定理得，即，解得，

∵角为锐角，∴,

设的中点为，在△中，

由余弦定理得：,

则,即边的中线长为，则选项错误；

对于选项,△周长为，则选项正确；

对于选项,由正弦定理得:，

则△外接圆的面积为,则选项正确，

故选：ACD.

11．若向量满足，则下列判断正确的为（    ）

A． B．存在实数，使得

C．存在实数，，使得 D．

【答案】CD

【分析】平方得到和平行且方向相同，再依次判断每个选项得到答案.

【详解】，则，即，

故，

设，的夹角为，，又，

当和时，，故，即和平行且方向相同，

当或时，和平行且方向相同也成立，

对选项A：可以不为，错误；

对选项B：当，时，不成立，错误；

对选项C：存在实数，，使得，正确；

对选项D：，正确；

故选：CD.

12．关于函数，下列说法正确的是（    ）

A．函数的最小正周期为 B．函数的最小值为

C．是函数图象的一条对称轴 D．方程在上有解

【答案】ACD

【分析】确定，根据和的周期得到A正确，计算最值得到B错误，根据得到C正确，计算得到D正确，得到答案.

【详解】，则，

对选项A：的图像可以由的图像把下方的部分向上翻折形成，

故函数的周期为；

，，故的最小正周期为，正确；

对选项B：，

当时，函数有最小值为，错误；

对选项C：，

，

故，是函数图象的一条对称轴，正确；

对选项D：，则，

，故有解，正确.

故选：ACD

三、填空题

13．已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为______.

【答案】

【分析】根据投影向量的求法，代入数据，即可求得答案.

【详解】因为，，所以，

所以，，

所以向量在向量上的投影向量为.

故答案为：

14．已知，则______.

【答案】

【分析】利用两角和的余弦公式化简并结合诱导公式可得，将化为，利用二倍角余弦公式即可求得答案.

【详解】由可得，

即，即，

故

，

故答案为：

15．已知函数在区间内有最大值无最小值，则的取值范围为______.

【答案】

【分析】利用辅助角公式化简，由的取值范围，得到的取值范围，再由函数在区间内有最大值无最小值，得到求出的大致范围，再根据正弦函数的性质得到不等式组，解得即可.

【详解】因为

，

由且，则，

因为函数在区间内有最大值无最小值，而，

所以，解得.

故答案为：

16．在中，，的平分线交边于点，若，则的取值范围为______.

【答案】

【分析】根据正弦定理得到，确定，根据余弦定理得到，根据等面积法得到，根据得到范围.

【详解】，则，即，，故，

当且仅当时等号成立，

设，

根据余弦定理：，

故，故，故，

根据等面积：，

整理得到，故，

，故.

故答案为：.

四、解答题

17．已知复数满足，其中为虚数单位.

(1)求；

(2)若是方程的一个根，求实数的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）计算，确定，再计算模长得到答案.

（2）将代入方程得到，解得答案.

【详解】（1），故，

故，即.

（2）是方程的一个根，所以，  

所以，所以，

解得.

18．已知角，为锐角，，．

(1)求的值；

(2)求的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用倍角公式及同角三角函数的基本关系求解即可；

（2）先由同角三角函数的基本关系得出，再根据两角和与差的正切公式即可求解．

【详解】（1）因为，

所以．

（2）因为，均为锐角，所以，

所以，

所以，

因为为锐角，所以，

又β为锐角，所以，  

则，

所以．

19．已知向量，，设函数.

(1)若，求的值；

(2)求函数，的最大值.

【答案】(1)或

(2)

【分析】（1）根据得到，考虑和两种情况，计算得到答案.

（2）确定，得到，设，，代入化简利用二次函数的性质计算最值得到答案.

【详解】（1）因为，所以， ，

故，

当时，，所以；

当时，有，故，故.

综上所述：或.

（2），

所以

，

，，令，

所以，即，

所以，    

所以当时，.

20．在中，角所对的边分别为，已知，且.

(1)求；

(2)点在边上，满足，且，求.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据题意和正弦定理化简得到，求得，即可求解；

（2）由，利用余弦定理求得， 再在中，根据余弦定理得到，联立方程组求得的值，进而求得的值.

【详解】（1）解：因为，由正弦定理得，

所以，

因为，所以，所以，

又因为，所以.

（2）解：在中，由余弦定理得，

在中，由余弦定理得，

因为，可得，

即，解得，

又在中，由余弦定理得，

联立方程组，可得，解得，或（舍），

代入，可得.   

21．在平面凸四边形（每个内角都小于）中，，，，.

(1)求四边形的面积；

(2)若，为边，的中点，求的值.

【答案】(1)

(2)1

【分析】（1）根据余弦定理得到，，根据得到，，计算面积得到答案.

（2）确定，，代入数据计算得到答案.

【详解】（1）中，

，

中，

，

因为，所以，所以，  

所以，因为，所以，，

所以.

（2）法1：因为，又，

所以，

因为，

所以.  

法2：由，以为坐标原点建系，

则，，，，，，

则，解得，所以，，

则，

因为，

所以.

22．在中，，，，与交于点.

(1)若，求的面积；

(2)若，求的面积的最大值.

【答案】(1)

(2)12

【分析】（1）连接，根据三点共线得到，，确定，，，根据余弦定理得到，再计算面积得到答案.

（2）设，则，，计算，根据二次函数性质计算最值得到答案.

【详解】（1）法1：连接，由、、三点共线，设，（），

即，

由、、三点共线，设，（），

即 ，

故，代入解得，，.

所以，即，，即，    

所以，

因为为中点，所以，

因为，所以，，   

在中，由余弦定理得：，

所以，

所以.

法2：取中点为，连接，因为为中点，所以，

因为，所以为中点，则为中点，所以，

因为，所以.

以下同法1.

（2）因为，设，则，

在中：，，由(1)得，则，，故，

在中，由余弦定理得：，

所以，

所以

，

因为，所以，

所以当，即时，的面积的最大值为12.