2022-2023学年江苏省盐城市三校(盐城一中、亭湖高中、大丰中学)高一下学期期中联考数学试题含答案

  2022-2023学年度高一年级第二学期期中联考

数学试题

本试卷分试题卷和答题卷两部分.试题卷包括1至4页；答题卷1至4页.满分150分.考试时间120分钟.

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知复数，其中是虚数单位，是的共轭复数，则（    ）

A.  B.  C.  D.

2. 已知向量，，．若与垂直，则实数的值为（    ）

A.  B.  C.  D.

3. 已知，，则的值为（    ）

A.  B.  C.  D.

4. 如图，一个矩形边长为1和4，绕它的长为的边旋转二周后所得如图的一开口容器（下表面密封），是中点，现有一只妈蚁位于外壁处，内壁处有一米粒，若这只蚂蚁要先爬到上口边沿再爬到点处取得米粒，则它所需经过的最短路程为（    ）

A.  B.  C.  D.

5. 已知A、B、C是平面上不共线的三点，O是△ABC的重心，点P满足，则与面积比为（    ）

A. 5:6 B. 1:4 C. 2:3 D. 1:2

6. 《九章算术》涉及算术、代数、几何等诸多领域，书中有如下问题：“今有圆亭，下周三丈，上周二丈，高二丈，问积几何？”其意思为：“有一个圆台，下底周长为3丈，上底周长为2丈，高为2丈，那么该圆台的体积是多少？”已知1丈等于10尺，圆周率约为3，估算出这个圆台体积约有（    ）

A. 立方尺 B. 立方尺

C. 立方尺 D. 立方尺

7. 已知△ 的内角所对的边分别为，满足，则的取值范围为（    ）

A.  B.

C.  D. （，）

8. 已知正方形的边长为，现将△沿对角线翻折，得到三棱锥.记的中点分别为，则下列结论错误的是（    ）

A. 与平面所成角的范围是

B. 三棱锥体积的最大值为

C. 与所成角的范围是

D. 三棱锥的外接球的表面积为定值

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．

9. 欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥．依据欧拉公式，下列说法中正确的是（    ）

A. 对应的点位于第二象限

B. 为纯虚数

C. 的模长等于

D. 的共轭复数为

10. 已知，是两个不重合的平面，，是两条不重合的直线，则下列命题正确的是（    ）

A. 若，，，则

B. 若，，则

C. 若，则

D. 若，，则与所成的角和与所成的角相等

11. 《周髀算经》中给出了弦图，所谓弦图是由四个全等直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大的正方形，若图中直角三角形两锐角分别为、，其中小正方形的面积为4，大正方形面积为9，则下列说法正确的是（    ）

A. 每一个直角三角形的面积为

B.

C.

D.

12. 在长方体中，，，，动点在平面内且满足，则（    ）

A. 无论，取何值，三棱锥的体积为定值30

B. 当时，的最小值为

C. 当时，直线与直线恒为异面直线

D. 当时，平面

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 化简_______________.

14. 已知是等腰直角三角形，，是外接圆上一点，则的取值范围是_______.

15. 山西应县木塔（如图1）是世界上现存最古老、最高大的木塔，是中国古建筑中的瑰宝，是世界木结构建筑的典范．如图2，某校数学兴趣小组为测量木塔的高度，在木塔的附近找到一建筑物，高为米，塔顶在地面上的射影为，在地面上再确定一点（，，三点共线），测得约为58米，在点处测得塔顶的仰角分别为30°和60°，则该小组估算的木塔的高度为______米．

16. 如图圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，球的半径，，分别为圆柱上、下底面的圆心，O为球心，为底面圆的一条直径，若为球面和圆柱侧面的交线上一动点，线段与的和为，则的取值范围为________．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 已知．

（1）若为锐角，求的值；

（2）求值．

18. 已知复数.

（1）若复数在复平面内对应的点在第二象限，求实数的取值范围；

（2）若，在复平面（为坐标原点）内对应点分别为.求向量在向量上的投影向量的坐标.

19. 如图，在中，，点为边的中点，．

（1）求；

（2）求的面积．

20. 已知△的内角所对的边分别为，且．

（1）求；

（2）若△面积为为内角A的角平分线，交边于点D，求线段长的最大值．

21. 如图（1），六边形是由等腰梯形和直角梯形拼接而成，且，，沿进行翻折，得到的图形如图（2）所示，且.

（1）求二面角余弦值；

（2）求四棱锥外接球体积.

22. 在面积为的中，内角所对的边分别为，且．

（1）若为锐角三角形，是关于的方程的解，求的取值范围；

（2）若且的外接圆的直径为8，分别在线段上运动（包括端点），为边的中点，且，的面积为．令，求的最小值．

2022-2023学年度高一年级第二学期期中联考

数学试题

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知复数，其中是虚数单位，是的共轭复数，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

2. 已知向量，，．若与垂直，则实数的值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

3. 已知，，则的值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

4. 如图，一个矩形边长为1和4，绕它的长为的边旋转二周后所得如图的一开口容器（下表面密封），是中点，现有一只妈蚁位于外壁处，内壁处有一米粒，若这只蚂蚁要先爬到上口边沿再爬到点处取得米粒，则它所需经过的最短路程为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

5. 已知A、B、C是平面上不共线的三点，O是△ABC的重心，点P满足，则与面积比为（    ）

A. 5:6 B. 1:4 C. 2:3 D. 1:2

【答案】B

6. 《九章算术》涉及算术、代数、几何等诸多领域，书中有如下问题：“今有圆亭，下周三丈，上周二丈，高二丈，问积几何？”其意思为：“有一个圆台，下底周长为3丈，上底周长为2丈，高为2丈，那么该圆台的体积是多少？”已知1丈等于10尺，圆周率约为3，估算出这个圆台体积约有（    ）

A. 立方尺 B. 立方尺

C. 立方尺 D. 立方尺

【答案】D

7. 已知△ 的内角所对的边分别为，满足，则的取值范围为（    ）

A.  B.

C.  D. （，）

【答案】D

8. 已知正方形的边长为，现将△沿对角线翻折，得到三棱锥.记的中点分别为，则下列结论错误的是（    ）

A. 与平面所成角的范围是

B. 三棱锥体积的最大值为

C. 与所成角的范围是

D. 三棱锥的外接球的表面积为定值

【答案】C

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．

9. 欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥．依据欧拉公式，下列说法中正确的是（    ）

A. 对应的点位于第二象限

B. 为纯虚数

C. 的模长等于

D. 的共轭复数为

【答案】AD

10. 已知，是两个不重合的平面，，是两条不重合的直线，则下列命题正确的是（    ）

A. 若，，，则

B. 若，，则

C. 若，则

D. 若，，则与所成的角和与所成的角相等

【答案】BD

11. 《周髀算经》中给出了弦图，所谓弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大的正方形，若图中直角三角形两锐角分别为、，其中小正方形的面积为4，大正方形面积为9，则下列说法正确的是（    ）

A. 每一个直角三角形的面积为

B.

C.

D.

【答案】ACD

12. 在长方体中，，，，动点在平面内且满足，则（    ）

A. 无论，取何值，三棱锥的体积为定值30

B. 当时，的最小值为

C. 当时，直线与直线恒为异面直线

D. 当时，平面

【答案】BD

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 化简_______________.

【答案】##0.5

14. 已知是等腰直角三角形，，是外接圆上一点，则的取值范围是_______.

【答案】

15. 山西应县木塔（如图1）是世界上现存最古老、最高大的木塔，是中国古建筑中的瑰宝，是世界木结构建筑的典范．如图2，某校数学兴趣小组为测量木塔的高度，在木塔的附近找到一建筑物，高为米，塔顶在地面上的射影为，在地面上再确定一点（，，三点共线），测得约为58米，在点处测得塔顶的仰角分别为30°和60°，则该小组估算的木塔的高度为______米．

【答案】

16. 如图圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，球的半径，，分别为圆柱上、下底面的圆心，O为球心，为底面圆的一条直径，若为球面和圆柱侧面的交线上一动点，线段与的和为，则的取值范围为________．

【答案】

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 已知．

（1）若为锐角，求值；

（2）求值．

【答案】（1）   

（2）
 

【解析】

【分析】（1）根据诱导公式及同角三角函数的基本关系列方程求出，再由两角和的余弦公式求解即可；

（2）根据二倍角的正切公式求解即可.

【小问1详解】

，

且，为锐角，

解得，

所以.

【小问2详解】

由（1）可知：，可得 ，

所以，

所以

18. 已知复数.

（1）若复数在复平面内对应的点在第二象限，求实数的取值范围；

（2）若，在复平面（为坐标原点）内对应的点分别为.求向量在向量上的投影向量的坐标.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】(1)利用复数的四则运算以及复数的几何意义，建立方程组进行求解.

(2)利用复数的四则运算、复数的几何意义以及投影向量的计算公式进行求解.

【小问1详解】

因，所以.

因为复数在复平面内对应的点在第二象限，

所以，解得，

即实数m的取值范围是.

【小问2详解】

由题可知，，

则点，，，.

因此.

19. 如图，在中，，点为边的中点，．

（1）求；

（2）求的面积．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据题意得到，结合向量的数量积的运算公式，求得，即可求解；

（2）设，，根据向量的线性运算，求得及，联立方程组，求得，结合，即可求解.

【小问1详解】

解：在中，点D为边的中点，可得，

因为，

所以

所以．

【小问2详解】

解：在中，因为，则，

又因为在上，设，，其中，

可得，则，

又由，

所以，解得，所以，

所以的面积.

20. 已知△的内角所对的边分别为，且．

（1）求；

（2）若△的面积为为内角A的角平分线，交边于点D，求线段长的最大值．

【答案】（1）   

（2）．

【解析】

【分析】（1）利用正弦定理进行角换边得，再利用余弦定理即可得到答案；

（2）求出，结合三角形面积公式得，再利用二倍角的余弦公式得，最后再次根据三角形面积公式和基本不等式即可得到答案.

【小问1详解】

由正弦定理，得，即，

故根据余弦定理有.

【小问2详解】

因为为三角形内角，则由（1）知，

因为的面积为，所以，

即，解得，

又因为，，所以，所以，

所以．

于是.

那么．

所以（当且仅当时等号成立）

故的最大值为．

21. 如图（1），六边形是由等腰梯形和直角梯形拼接而成，且，，沿进行翻折，得到的图形如图（2）所示，且.

（1）求二面角的余弦值；

（2）求四棱锥外接球的体积.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）作，连接，则，证得平面，得到再证得平面，得到，进而得到就是二面角的平面角，在直角中，即可求解；

（2）取的中点，连接，得到为等腰梯形的外心，取的中点，连接，证得平面，得到为四棱锥外接球的球心，利用球的体积公式，即可求解.

【小问1详解】

解：在等腰梯形中，作于，

则，所以，

连接，则，

因为，所以，所以，所以，

又因为，且，平面，所以平面，

又由平面，所以，

因为且，平面，所以平面，

又因为平面，所以，

因为，所以就是二面角的平面角，

在直角中，，

所以二面角的余弦值为.

【小问2详解】

解：取的中点，连接，可得证四边形、均为平行四边形，

所以，所以为等腰梯形的外心，

取的中点，连接，可得，

因为平面，所以平面，

又因为，所以为四棱锥外接球的球心，

所以球的半径为，所以.

22. 在面积为的中，内角所对的边分别为，且．

（1）若为锐角三角形，是关于的方程的解，求的取值范围；

（2）若且的外接圆的直径为8，分别在线段上运动（包括端点），为边的中点，且，的面积为．令，求的最小值．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）由结合三角形面积公式，正弦定理和余弦定理得，由为锐角三角形得出，由是关于的方程的解，整理得，根据正切函数的单调性及的范围即可求出的取值范围；

（2）由和得出为正三角形，由的外接圆的直径为8得出，则，设，，在BDE和ADF中，由正弦定理表示出和，进而表示出，代入，化简整理，由基本不等式即可得出最小值．

【小问1详解】

在中，由三角形面积公式得，

由正弦定理得：，

整理得：，由余弦定理得：，

又，故，

因为为锐角三角形，

所以，，所以，

所以

，

因为，

所以，

所以，

故．

【小问2详解】

由，得，

所以，

由（1）得，

所以为正三角形，

所以，

因为为边的中点，

所以，

设，，

在BDE和ADF中，

由正弦定理得，，

化简得，，

，

因为

，

所以，

则

因为，

所以，

当且仅当，即时，等号成立，

所以最小值为．