2022-2023学年江苏省盐城市响水中学高一下学期期中数学试题含解析

这是一份2022-2023学年江苏省盐城市响水中学高一下学期期中数学试题含解析，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年江苏省盐城市响水中学高一下学期期中数学试题 一、单选题1．已知复数为纯虚数，则实数m的值为（    ）A． B．1 C．1或 D．或0【答案】B【分析】根据纯虚数的定义求解.【详解】因为z是纯虚数，所以，解得．故选：B．2．下列说法正确的是（    ）A．圆锥的轴垂直于底面 B．棱柱的两个互相平行的面一定是棱柱的底面C．球面上不同的三点可能在一条直线上 D．棱台的侧面是等腰梯形【答案】A【分析】由多面体和旋转体的结构特征依次判断各个选项即可.【详解】对于A，由圆锥的结构特征可知：圆锥的轴垂直于底面，A正确；对于B，六棱柱的两个相对侧面也是互相平行的面，B错误；对于C，球面上不同三点可构造出一个球的截面圆，可知三点不共线，C错误；对于D，棱台的侧棱长可以不相等，则侧面不是等腰梯形，D错误.故选：A.3．设为单位向量，，当的夹角为时，在上的投影向量为（    ）A．－ B． C． D．【答案】B【分析】直接利用向量的投影向量的公式求解.【详解】解：由题意，在上的投影向量为．故选：B．4．已知复数（i是虚数单位），则z在复平面内对应的点位于（    ）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】C【分析】先利用复数运算规则求得z的代数形式，进而求得z在复平面内对应的点所在象限.【详解】因为，所以z对应点的坐标为，所以z在复平面内对应的点位于第三象限．故选：C．5．若，，则的值为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据角的范围，结合同角的三角函数关系式，利用两角和的余弦公式进行求解即可.【详解】因为，所以，所以，所以.故选：D.6．如图，在正方体中，的中点为Q，过A，Q，三点的截面是（    ）  A．三角形 B．矩形 C．菱形 D．梯形【答案】D【分析】取的中点P，连接PQ、、、和，确定，，得到答案.【详解】如图所示，取的中点P，连接PQ、、、和，，分别是，的中点，故，且，，故，，故四点共面，故四边形是过A，Q，三点的截面，且四边形是梯形．故选：D．  7．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，则（    ）A．4 B．6 C． D．【答案】D【分析】根据三角形内角和定理，结合同角的三角函数关系式、两角和的正弦公式、正弦定理进行求解即可.【详解】因为，由正弦定理可得，则，，，，，为内角，，则，，,故选：D.8．若，则（    ）A． B． C．3 D．【答案】A【分析】利用之间的关系和题给条件即可求得分别求得的值，进而得到的值.【详解】因为，设（），则，所以，，即，所以或（舍）所以，．故选：A． 二、多选题9．已知a，b，c是3条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法不正确的有（    ）A．若，，则B．若a与b垂直，b与c垂直，则a与c垂直C．若，，，则a与b一定是异面直线D．若a，b与所成的角均为，则【答案】BC【分析】由基本事实4判断A；由直线与直线的位置关系判断B；由面面平行的性质判断C；由线面垂直的性质判断D．【详解】对于A，若，，则，所以A正确；对于B，若a与b垂直，b与c垂直，则a与c可能相交、平行或异面，所以B错误；对于C，若，，，则a与b可能异面，也可能平行，所以C错误；对于D，若a，b与所成的角均为，则，，可得，所以D正确．故选：BC．10．设z是非零复数，则下列说法正确的是（    ）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】AB【分析】根据复数的相关概念结合复数的运算逐项分析运算.【详解】设，但不同时为0，则，可得，对于A：若，则，故，A正确；对于B：∵，若，则，解得：或（舍），B正确；对于C：若，即，解得，故，则，可得，C不正确；对于D：，则，解得，即z为纯虚数，此时，故，D不正确.故选：AB.11．密位制是度量角的一种方法，把一个周角等分为6000份，每一份叫做1密位的角．在角的密位制中，单位可省去不写，采用四个数码表示角的大小，在百位数与十位数之间画一条短线，如7密位写成“0—07”，478密位写成“4—78”．若，则角可取的值用密位制表示正确的是（    ）A．12—50 B．2—50C．13—50 D．32—50【答案】ABD【分析】先利用题给条件求得角的值，再将各选项的密位制角转化为弧度制的角即可得到正确选项.【详解】因为，即，即，所以，所以，，或，，解得，或，．对于A，密位制12—50对应的角为，符合题意；对于B，密位制2—50对应的角为，符合题意；对于C，密位制13—50对应的角为，不符合题意；对于D，密位制32—50对应的角为，符合题意．故选：ABD．12．在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，且，则下列结论正确的是（    ）A． B．a>c C．c>a D．【答案】ACD【分析】利用正弦边角关系可得，结合余弦定理及锐角三角形知、判断A、B、C正误；再由正弦边角关系得，应用倍角公式得，注意，即可得范围判断D正误.【详解】由正弦边角关系知：，则，所以，而，则，A正确；由上知：，即，B错误，C正确；由知：，则，又，故，则，即，D正确.故选：ACD 三、填空题13．已知i为虚数单位，复数z满足，则z的虚部为______．【答案】1【分析】应用复数的除法求复数z即可.【详解】由题设，，故z的虚部为1．故答案为：1.14．如图，正方形的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形较长的对角线的长度为____．  【答案】【分析】先利用斜二测画法规则画出该直观图对应的原图，进而求得原图形中较长的对角线的长度.【详解】作出该直观图的原图形，因为直观图中的线段轴，所以在原图形中对应的线段CB平行于x轴且长度不变，点和在原图形中对应的点C和B的纵坐标是的2倍，则，，所以，，， 故原图形较长的对角线长为．  故答案为：15．若，，则________．【答案】【分析】由三角函数的倍角公式及同角的商数关系计算即可.【详解】因为，所以，又因为，，所以，即，所以，又因为，所以，．故答案为：16．在中，G满足，过G的直线与AB，AC分别交于M，N两点.若，，则3m+n的最小值为_______.【答案】【分析】根据题意可知为三角形的重心，利用三点共线可得，再由均值不等式即可求最值.【详解】取中点，连接，如图，由可得，即，所以三点共线且，即为的重心，所以，因为三点共线，所以，又，，所以，当且仅当，即时，等号成立，故答案为： 四、解答题17．已知向量，，．(1)若A，B，C三点共线，求实数x，y满足的关系；(2)当时，判断是否为钝角，并说明理由．【答案】(1)(2)不可能是钝角，理由见解析 【分析】（1）利用向量共线充要条件即可求得实数x，y满足的关系；（2）利用向量夹角公式求得，进而得到不可能是钝角.【详解】（1）因为A，B，C三点共线，所以，又，，所以，即．则实数x，y满足的关系为.（2）不是钝角，理由如下：当时，，，则，又，故不可能是钝角．18．（1）已知，化简：；（2）已知，，，，求的值．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根据给定条件，利用平方关系及二倍角的正余弦公式化简作答.（2）利用同角公式求出，利用二倍角的正切求出，再利用差角的正切求解作答.【详解】（1）因为，则，，，所以．（2）因为，，即有，而，因此，，，于是，又，则，而，，即有，所以．19．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．(1)求角B的大小；(2)若，，求b和的值．【答案】(1)(2)， 【分析】（1）利用正弦定理和题给条件求得，进而求得角B的大小；（2）先利用余弦定理求得b的值，再利用两角差的正弦公式即可求得的值．【详解】（1）因为，由正弦定理得，即．又，所以，所以，即，又因为，所以．（2）在中，由余弦定理及，，，得，故，所以，又，所以，，又，所以．所以．20．如图，正三棱柱的所有棱长都等于2，E，F，G分别为，，AB的中点．  (1)求证：平面平面BEF；(2)求与平面所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析；(2) 【分析】（1）利用面面平行判定定理即可证得平面平面BEF；（2）先依据线面角定义作出与平面所成角，进而求得其正弦值.【详解】（1），F分别为，的中点，，平面，平面，平面，又F，G分别为，AB的中点，，又，四边形为平行四边形，则，平面，平面，平面，又，EF，平面BEF，平面平面BEF．（2）在平面ABC内，过点G作，垂足为H，连接．正三棱柱，平面ABC．又平面ABC，．又，BC，平面，平面．即为与平面所成的角．正三棱柱的所有棱长为2，G为AB中点，，，又，，．又，，．又，，，故与平面所成角的正弦值为．  21．已知向量，，．(1)若，求实数k；(2)设满足，且，求的坐标．【答案】(1)(2)或． 【分析】（1）利用向量垂直充要条件列出关于实数k的方程，解之即可求得实数k的值； （2）先设，再利用题给条件关于实数的方程组，解之即可求得实数的值，进而得到的坐标.【详解】（1）因为向量，，，则，．因为，所以，解得．（2）设，由题意，，，由于，且，则，解得或．因此或．22．如图，某小区有一块空地，其中AB=50，AC=50，∠BAC=90°，小区物业拟在中间挖一个小池塘，E，F在边BC上（E，F不与B，C重合，且E在B，F之间），且.(1)若，求EF的值；(2)为节省投入资金，小池塘的面积需要尽可能的小.设，试确定的值，使得的面积取得最小值，并求出面积的最小值.【答案】(1)(2) 【分析】（1）在中，利用余弦定理、正弦定理求得，在中，利用正弦定理结合三角恒等变换可求，即可得结果；（2）利用正弦定理用表示，再结合条件得到，最后根据三角函数的性质求最值即可.【详解】（1）由题意可得，设，则，在中，由余弦定理，则，即，由正弦定理，可得，即，可得，在中，，，由正弦定理，可得，故.故EF的值.（2）设，则，由正弦定理，可得，在中，由正弦定理，可得，故的面积，∵，∴，∴，∴，当且仅当，即时，等号成立，故面积的最小值.