2022-2023学年江西省省高一下学期期中调测试数学试题含解析

  2023年高一年级下学期期中调研测试数学

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 是第（    ）象限角.

A. 一 B. 二 C. 三 D. 四

【答案】A

【解析】

【分析】由，进而可判断属于第几象限.

【详解】因为，

所以是第一象限角.

故选：A.

2. ，，，这四个数中最大的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据给定条件，判断所在象限，再利用各象限内角的三角函数值的符号判断作答.

【详解】因为，则2是第二象限角，4是第三象限角，

因此，，，，

所以给定的四个数中最大的是.

故选：B

3. 已知，且，则的值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据同角三角函数关系求解即可.

【详解】由，且，

得，

所以.

故选：A.

4. 角的度量除了有角度制和弧度制之外，在军事上还有零位制（gradient system）.密位制的单位是密位，1密位等于圆周角的.密位的记法很特別，高位与低两位之间用一条短线隔开，例如1密位写成，1000密位写成.若一扇形的弧长为，圆心角为密位，则该扇形的半径为（    ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意可得密位的圆心角弧度为，进而根据扇形的弧长公式即可求解.

【详解】由题意，密位的圆心角弧度为，

则该扇形的半径为：.

故选：C.

5. 著名数学家华罗庚先生被誉为“中国现代数学之父”，他倡导的“0.618优选法”（又称黄金分割法）在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用.经研究，黄金分割比还可以表示成，则（    ）

A. 4 B. 2 C. 1 D.

【答案】C

【解析】

【分析】把代入，利用凑特殊角的方法，结合差角的正弦公式求解作答.

【详解】，则

.

故选：C

6. 如图，在梯形中，，，，，，，分别为，的中点，则（    ）

A.  B.  C. 3 D.

【答案】D

【解析】

【分析】建系后写出点的坐标，再求出向量坐标，最后应用向量模长公式求解即可.
 

【详解】

如图建系可得,

,

,.

.

故选:D.

7. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则（    ）

A.  B.  C. 1 D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据正弦定理可得，根据余弦定理可得，进而代入化简即可.

【详解】根据正弦定理，由，得，

由余弦定理得，，

即，

所以.

故选：D.

8. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，是所在平面内一定点，动点满足，，则（    ）

A. 2 B. 1 C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】取边的中点，借助向量的线性运算并求出，再利用向量加法及数量积运算律求解作答.

【详解】在中，令边的中点为，有，于是，

，

所以，

故选：A

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，根据条件，，解三角形，有两解的取值可以是（    ）

A. 2 B.  C.  D. 4

【答案】BC

【解析】

分析】根据有两解时，代入即可得到答案.

【详解】由解三角形,有两解时,

故的取值范围为,

故选：BC.

10. 下列命题中错误的是（    ）

A. 若，且，则

B. 若，则存在唯一实数使得

C. 若，，则

D. 若，则与的夹角为钝角

【答案】BCD

【解析】

【分析】根据平面向量共线的性质与数量积的定义判断各选项即可求解.

【详解】对于A，由，得或，又，所以，故A正确；

对于B，若，，则不存在使得，故B错误；

对于C，若，，，则满足，，但与不一定平行，故C错误；

对于D，设与的夹角为，由，则，

即，故D错误.

故选：BCD.

11. 下列式子中值为的为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据诱导公式、辅助角公式、两角和与差的正切公式化简各选项即可.

【详解】对于A，；

对于B，；

对于C，；

对于D，由，

所以.

故选：ACD.

12. 已知函数，满足，，且在上单调，则的取值可能为（    ）

A. 1 B. 3 C. 5 D. 7

【答案】AB

【解析】

【分析】由，知函数的图象关于直线对称，结合可知是函数的零点，进而得到，，由在上单调，可得，进而，分类讨论验证单调性即可判断.

【详解】由，知函数的图象关于直线对称，

又，即是函数的零点，

则，，

即，.

由在上单调，

则，即，

所以.

当时，由，，得，，

又，所以，此时当时，，

所以在上单调递增，故符合题意；

当时，由，，得，，

又，所以，此时当时，，

所以在上单调递增，故符合题意；

当时，由，，得，，

又，所以，此时当时，，

所以在上不单调，故不符合题意.

综上所述，或3.

故选：AB.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 一个单摆如图所示，小球偏离铅锤线方向的角为，与摆动时间（单位：）之间的函数关系式为，那么单摆完成3次完整摆动所需的时间为______s.

【答案】12

【解析】

【分析】根据解析式可得函数的周期，进而求解单摆完成3次完整摆动所需的时间.

【详解】由解析式，可得函数的周期，

所以单摆完成3次完整摆动所需的时间为.

故答案为：12.

14. 已知，满足，则______.

【答案】##

【解析】

【分析】根据正弦函数的对称性得到，再代入计算可得.

【详解】因为关于对称，又，满足，

所以，

所以.
故答案为：

15. 函数的定义域为______.

【答案】

【解析】

【分析】根据代数式有意义，可得，进而结合正切函数的图象及性质和一元二次不等式求解即可.

【详解】由，解得，

所以，

即函数的定义域为.

故答案为：.

16. 如图，在中，，，是以为直径的上半圆上的动点（包含端点，），是的中点，则的最大值是______；的最大值是______.

【答案】    ①. 2    ②. 6

【解析】

【分析】结合题意可得，结合向量的线性运算可得，进而求解的最大值；取的中点，连接交半圆与点，则，结合向量的线性运算可得，可得当与重合时取最大值.

【详解】因为，，

所以，即,

所以,

当且仅当与重合时取等号，

故的最大值是2.

取的中点，连接交半圆与点，

则，

又，

即，

当且仅当与重合时取等号，

故的最大值是6.

故答案为：2；6.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 已知.

（1）若角的终边经过点，，求的值；

（2）若，求值.

【答案】（1）2    （2）3

【解析】

【分析】（1）先根据诱导公式和同角三角函数关系化简，再根据三角函数定义即可求解；

（2）根据同角三角函数关系化简，进而求解.

【小问1详解】

，

因为角的终边经过点，，

所以.

【小问2详解】

由（1）知，

所以.

18. 已知向量，的夹角为120°，且，，，.

（1）若，求的值；

（2）若，求的值.

【答案】（1）   

（2）1

【解析】

【分析】（1）根据平面向量的线性运算解得，进而根据利用向量共线的性质即可求解；

（2）根据平面向量数量积定义求解即可.

【小问1详解】

联立，

解得，

因为，所以存在实数，使得，

即，

又与不共线，所以，即.

【小问2详解】

由（1）知，，，

所以，

即，

所以.

19. 已知变换：先纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移个单位长度；变换：先向左平移个单位长度，再纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍.请从，两种变换中选择一种变换，将函数的图象变换得到函数的图象，并求解下列问题.

（1）求的解析式，并用五点法画出函数在一个周期内的闭区间上的图象；

（2）求函数的单调递减区间，并求的最大值以及对应的取值集合.

【答案】（1），图象见解析   

（2），；最大值为，

【解析】

【分析】（1）根据平移变换可得，进而结合五点法画出图象即可；

（2）根据正弦函数的图象及性质求解即可.

【小问1详解】

选择，两种变换均得，

列表如下：

图象如图所示：

【小问2详解】

令，，

解得，，

所以函数的单调递减区间为，.

当，，

即，时，取得最大值，

此时对应的的取值集合为.

20. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，.

（1）求角；

（2）若，求的面积.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据平方关系可求得，，进而结合两角和的余弦公式即可求解；

（2）根据正弦定理可得、的值，进而结合面积公式即可求解.

【小问1详解】

因为，

所以，，

又，所以，即，

所以，

所以，

又，故.

【小问2详解】

由正弦定理得，

即，

所以，，

所以的面积为.

21. 如图，在中，为重心，，延长交于点，设，.

（1）若，求的值；

（2）若，求的值.

【答案】（1）；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）连接并延长交于，利用三角形重心定理，结合向量的线性运算及平面向量基本定理求解作答.

（2）由已知表示出向量，结合（1）中信息，利用平面向量基本定理列式计算作答.

【小问1详解】

在中，连接并延长交于，因为是重心，则是的中点，

，由知，，

即，因此，

而不共线，且，于是，

所以.

【小问2详解】

依题意，，，

而，且，因此存，使得，

即，则，解得，

所以的值是.

22. 给出定义：对于向量，若函数，则称向量为函数的伴随向量，同时称函数为向量的伴随函数.

（1）设向量的伴随函数为，若，且，求的值；

（2）已知，，函数的伴随向量为，请问函数的图象上是否存在一点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）   

（2）存在，

【解析】

【分析】（1）结合题意可得，进而得到，根据平方关系可得，进而根据两角差的余弦公式即可求解；

（2）结合题意可得，设，结合可得，根据、，可得、，进而得到时，成立，进而求解.

【小问1详解】

由题意，，

由，得，

因为，所以，

所以，

所以，

即.

【小问2详解】

由题意，，设，

因为，，

所以，，，

所以，

由，得，

即，

因为，

所以，

所以，

又，

所以当且仅当时，和同时等于，

此时成立，

所以在函数的图象上存在一点，使得.

【点睛】关键点睛：本题第（2）问关键于利用、，得到、，进而得到时，成立，从而求解.