2022-2023学年甘肃省顶级名校高一下学期期中考试数学试题含解析

这是一份2022-2023学年甘肃省顶级名校高一下学期期中考试数学试题含解析，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年甘肃省顶级名校高一下学期期中考试数学试题 一、单选题1．若，则A． B． C． D．【答案】B【详解】分析：由公式可得结果.详解：故选B.点睛：本题主要考查二倍角公式，属于基础题.2．在复平面内，复数与对应的点关于实轴对称，则等于A． B． C． D．【答案】D【分析】计算得，根据题意可得，即为所求．【详解】由题意得，∵复数与对应的点关于实轴对称，∴．故选D．【点睛】本题考查复数的除法运算和复数的几何意义，考查计算能力和理解能力，属于基础题．3．设，是非零向量，“”是“”的A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【详解】，由已知得，即，.而当时，还可能是，此时，故“”是“”的充分而不必要条件，故选A.【解析】充分必要条件、向量共线. 4．已知等边三角形ABC的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】作出正的实际图形和直观图，计算出直观图的底边上的高，由此可求得的面积.【详解】如图①②所示的实际图形和直观图.由斜二测画法可知，，，在图②中作于，则.所以.故选：D.5．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则为（　　）A．钝角三角形 B．直角三角形C．锐角三角形 D．等边三角形【答案】A【分析】根据题意，结合正弦定理和两角和的正弦公式，化简得到，得到，进而得到三角形的形状.【详解】在中，因为，可得，又因为，可得，即，可得，由，所以，所以，所以为钝角三角形.故选：A.6．如图，测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得∠BCD=15°，∠BDC=30°，CD=30m，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB等于（    ）A．5m B．15m C．5m D．15m【答案】D【分析】在中，由正弦定理，求得，再在中，即求.【详解】在△BCD中，，由正弦定理得，解得(m），在Rt△ABC中，(m).故选：D7．（    ）A． B．4 C． D．2【答案】B【分析】根据两角差的正弦公式和二倍角的正弦公式可求出结果.【详解】．故选：B8．在中三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，则角C的大小是（　　）A．或 B． C． D．【答案】A【分析】由可得cosA，进而利用可得sinBsinC=结合内角和定理可得C值.【详解】∵，∴cosA，由0＜A＜π，可得A，∵，∴sinBsinC=∴，即解得tan2C=，又∴2C=或，即C=或故选A【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理的运用，同时考查两角和差的正弦公式和内角和定理，属于中档题． 二、多选题9．下列命题正确的是（    ）A．圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是母线B．两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台C．以直角梯形的一条直角腰所在的直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体是圆台D．用平面截圆柱得到的截面只能是圆和矩形【答案】AC【分析】根据圆锥母线的定义可判断A，根据棱台的定义可判断B，根据圆台的定义可判断C，根据平面与圆柱底面的位置关可判断D.【详解】对于A，根据圆锥的母线的定义，可知A正确；对于B，把梯形的腰延长后有可能不交于一点，此时得到几何体就不是棱台，故B错误；对于C，根据圆台的定义，可知C正确；对于D，当平面不与圆柱的底面平行且不垂直于底面时，得到的截面不是圆和矩形，故D错误.故选：AC10．已知为虚数单位，复数，则以下为真命题的是（    ）A．在复平面内对应的点在第一象限B．的虚部是C．D．若复数满足，则的最大值为【答案】AD【分析】由复数的除法运算求出，根据复数的几何意义可判断ACD，根据复数的概念可判断B.【详解】∵，∴在复平面内对应的点为，在第一象限，故A正确；的虚部是，故B不正确；，故C不正确；设，，，由得，则点在以为圆心，以1为半径的圆上，则到的距离的最大值为，即的最大值为，故D正确．故选：AD11．如图所示，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与轴，轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为反射坐标系．在反射坐标系中，若，则把有序数对称为向量的反射坐标，记为．在的反射坐标系中，，，其中正确的是（    ）  A． B． C． D．【答案】AD【分析】A选项，根据条件，可得，得到，即可判断；B选项，根据，求出模即可判断；C选项，根据，计算出，即可判断；D选项，由，计算出，即可判断.【详解】A选项，由题意可知，故，故，A正确；B选项，，B错误；C选项，，故不垂直，C错误；D选项，，D正确.故选：AD12．已知函数，则下列关于函数的描述，正确的是（    ）A．在区间上单调递增B．图象的一条对称轴是C．图象的一个对称中心是D．将的图象向右平移个单位长度后，所得的函数图象关于轴对称【答案】AB【分析】利用三角恒等变换化简函数解析式为，利用正弦型函数的单调性可判断A选项；利用正弦型函数的对称性可判断BC选项；利用三角函数图象变换以及正弦型函数的奇偶性可判断D选项.【详解】因为，对于A选项，当时，，所以，函数在区间上单调递增，A对；对于B选项，，故图象的一条对称轴是，B对；对于C选项，，C错；对于D选项，将的图象向右平移个单位长度后，可得到函数，且函数为非奇非偶函数，D错.故选：AB. 三、填空题13．平面向量与的夹角为，， 则等于___________【答案】【分析】先求出，再利用可求出结果.【详解】因为，所以，所以.故答案为：.14．已知sin α＝，sin(α－β)＝－，α，β均为锐角，则β＝________.【答案】【分析】通过α，β，α－β的范围求出他们的正弦，余弦值，再通过sin β＝sin[α－(α－β)]可得sin β，进而可得β.【详解】因为α，β均为锐角，所以－<α－β<.又sin(α－β)＝－，所以cos(α－β)＝.又sin α＝，所以cos α＝，所以sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝×－×＝.所以β＝.故答案为：15．我国南宋著名数学家秦九韶发现了由三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，则“三斜求积”公式为S＝.若a2sinC＝4sinA，(a＋c)2＝12＋b2，则用“三斜求积”公式求得的面积为________.【答案】【分析】利用正弦定理的边角互化可得ac＝4，代入(a＋c)2＝12＋b2，从而可得答案.【详解】根据正弦定理及a2sinC＝4sinA，可得ac＝4，由(a＋c)2＝12＋b2，可得a2＋c2－b2＝4，所以＝＝.故答案为：【点睛】本题考查了正弦定理的边角互化，考查了考生的基本运算求解能力，属于基础题.16．已知在中，，，动点位于线段上，则当取最小值时，向量与的夹角的余弦值为__________．【答案】【详解】因为，，所以,所以当且仅当时取等号，因此,所以向量与的夹角的余弦值为 四、解答题17．（1）已知复数满足，求；（2）计算．【答案】（1）；（2）【分析】（1）根据复数的除法运算求出，再根据模长公式可得结果；（2）根据复数的乘方运算、除法运算可得结果.【详解】（1）由题设得，∴，则．（2）原式．18．学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型．如图，该模型为长方体挖去四棱锥后所得的几何体，其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，cm，cm，3D打印所用原料密度为，不考虑打印损耗，求制作该模型所需原料的质量．【答案】118.8g【分析】利用割补法求出模型的体积，即可求出制作该模型所需原料的质量.【详解】由题意得，，四棱锥的高为3cm，所以．又长方体的体积为，所以该模型的体积为，其质量为．19．如图，在四边形中，，，，．（1）求的值；（2）若，求的长．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）设，，由余弦定理求出，，再由正弦定理能求出；（2）由可得，由此可得，再利用正弦定理能求出．【详解】解：（1）因为，所以可设，，．又，，所以由余弦定理，得，解得,所以，，．（2）因为，所以，所以，因为，所以．20．已知函数，且函数的最小正周期为.(1)求的解析式，并求出的单调递增区间；(2)将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，求函数的最大值及取得最大值时x的取值集合.【答案】(1)，;(2)，. 【分析】（1）利用正弦，余弦的二倍角公式及辅助角公式变形，再结合周期公式求出的值，利用正弦函数的性质求出单调递增区间；（2）根据平移关系求出的解析式，结合函数的最值和角的关系求解即可.【详解】（1）由函数的最小正周期为,则，故，令，解得，故的单调递增区间为.（2）， 则的最大值为，此时有，即，故，解得，所以当取得最大值时的取值集合为.21．在①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答.在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，S为的面积，若___________（填条件序号）(1)求角C的大小；(2)点D在CA的延长线上，且A为CD的中点，线段BD的长度为2，求的面积的最大值.【答案】(1)(2) 【分析】（1）若选①，则由正弦定理将已知的式子统一成边的形式，再利用余弦定理可求出角，若选②，则由正弦定理将已知的式子统一成角的形式，再利用三角函数恒等变换公式化简计算即可求出角，若选③，则由三角形的面积公式和数量积的定义对已知式子化简可求出，从而可求出角，（2）在中利用余弦定理结合基本不等式可求得ab的最大值为2，从而可求出的面积的最大值【详解】（1）选①：由正弦定理得，，即，.选②：由正弦定理得，，.选③：，.（2）在中，由余弦定理知，，当且仅当，即，时取等号，此时ab的最大值为2，面积取得最大值.22．的内角的对边分别为，已知．(1)求；(2)若为锐角三角形，且，求的取值范围．【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据正弦定理边化角、诱导公式、二倍角正弦公式可求出结果；（2）根据正弦定理将化为的形式，结合的范围可求出结果.【详解】（1）由题设及正弦定理得．因为为三角形的内角，所以，所以．由，可得，故．因为，所以，所以，因为，所以．（2）由（1）知，由正弦定理得由于为锐角三角形，故，．结合，得，所以，所以．