2022-2023学年河北省石家庄市一中高一下学期期中数学试题含解析

2022-2023学年河北省石家庄市一中高一下学期期中数学试题

一、单选题

1．复数的虚部为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据复数虚部的定义即可得解.

【详解】复数的虚部为.

故选：D.

2．已知幂函数的图象经过点，则的值是（    ）

A． B．1 C． D．-1

【答案】A

【分析】设，代入点的坐标求得，然后再计算函数值．

【详解】，则由题意和，，

∴．

故选：A．

【点睛】本题考查幂函数的定义，考查对数的运算，属于基础题．

3．在中，是为等腰三角形的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【详解】因为中，，则A=B，那么为等腰三角形，反之，不一定成立，故是为等腰三角形的充分不必要条件，选A

4．四边形由如图所示三个全等的正方形拼接而成，令，，则（    ）

A．1 B． C． D．

【答案】C

【分析】由正切函数的定义即可求得，再根据正切的和差公式即可求解.

【详解】依题意，设正方形的边长为1，

根据正切函数的定义有：，

所以.

故选：C.

5．如图是函数图像的一部分，设函数，，则可以表示为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据图象特征取特值分析排除.

【详解】由图象可得：

，但，故B不符合；

，但，故A不符合；

，但，故C不符合；

故选：D.

6．2023年3月25日，石家庄市第一中学科研综合楼建筑工地中的基坑己基本竣工，“基坑”是在基础设计位置按基底标高和基础平面尺寸所开挖的土坑.如图，某同学为测量深基坑中塔吊的高度，在塔吊的正北方向为星华楼，其高约为，在地面上点处（三点位于地平线处）测得星华楼顶部、塔吊项部的仰角分别为和，在处测得塔吊顶部的仰角为，则塔吊的高度约为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】在中，求出，在中，利用正弦定理求出，再在中，求出即可.

【详解】由题意，在中，，则，

在中，，则，

因为，所以，

在中，，则，

所以.

故选：B.

7．如图在中，，为中点，，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】建立平面直角坐标系，利用坐标法求出平面向量的数量积；

【详解】解：建立如图所示的平面直角坐标系，

则，，，，

又，，，

则，

即，即，

则，

则，，

则；

故选：C．

8．已知锐角的内角的对边分别为，若，，则面积的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】结合式子的特点，联系余弦定理，以及，表示出三角形ABC的面积，，结合三角函数的图像求出范围.

【详解】由于 ，， ，

且 ，所以 ，那么外接圆半径为 ，

由于 ，

所以 ，，

故 .

故选：A.

二、多选题

9．已知是虚数单位，则下列说法正确的有（    ）

A．

B．“”是“复数是纯虚数”的必要不充分条件

C．若复数，且，则

D．若复数满足，则复数

【答案】ABD

【分析】根据虚数单位的幂的性质运算可得A正确；根据纯虚数的定义，结合充分、必要条件的概念可判定B正确；利用复数的模的计算公式求解，可判定C错误；根据共轭复数的概念和复数相等的条件可以求解，得到D正确.

【详解】,故A正确；

当时，若复数是实数，不是虚数，更不是纯虚数，故充分性不成立；

当是纯虚数，则且，故必要性成立，所以正确；

复数，且，则，故C错误；

设，则，

所以由得，

∴，则复数，故D正确.

故选：ABD

10．已知，下列结论错误的是（    ）

A．函数在区间上是减函数

B．点是函数图象的一个对称中心

C．函数的图象可以由函数的图象向左平移个单位长度得到

D．若，则的值域为

【答案】BD

【分析】根据降幂公式及辅助角公式化简的解析式，再根据三角函数单调性、对称性、三角函数图象变换、值域逐一分析判断即可.

【详解】，

对于A，，

所以在区间上递增，A错误；

对于B，因为，

所以点是函数图象的一个对称中心，B正确；

对于C，的图象向左平移个单位长度得到：

，C选项错误；

对于D，由，则，D选项正确.

故选：BD.

11．中国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了已知三角形三边求面积的公式，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即．现有△满足，且，请判断下列命题正确的是（    ）

A．△周长为 B．

C．△的外接圆半径为 D．△中线的长为

【答案】BC

【分析】由题设及正弦定理得，再结合已知条件求a、b、c判断A的正误；应用余弦定理求角C，正弦定理求外接圆的半径，作应用勾股定理求.

【详解】由题设及正弦定理知：，令且，

，可得，

所以，则△周长为，A错误；

，又，则，B正确；

△的外接圆半径为，C正确；

如下图，过作，由题设知：，则，

又，可得，故，

所以，D错误.

故选：BC

12．已知函数，则下列结论正确的是（    ）

A．函数在上单调递减

B．函数的值域是

C．若方程有5个解，则的取值范围为

D．若函数有3个不同的零点，则的取值范围为

【答案】BCD

【分析】AB选项，画出的图象，数形结合得到函数的单调性和值域，得到A错误，B正确；C选项，方程有5个解，转化为与有5个交点，数形结合得到的取值范围；D选项，由零点个数得到，由对数函数的性质得到，从而求出的取值范围.

【详解】，

画出的图象，如下：

A选项，函数在和上单调递减，不能说在上单调递减，A错误；

B选项，函数在处取得最小值为，故值域是，B正确；

C选项，若方程有5个解，则要满足与有5个交点，

故，所以的取值范围为，C正确；

D选项，若函数有3个不同的零点，则，

令，解得：，

又，因为在上单调递增，

解得：，即，

，

故的取值范围为.

故选：BCD

【点睛】方法点睛：

函数零点问题：将函数零点问题或方程解的问题转化为两函数的图象交点问题，将代数问题几何化，借助图象分析，大大简化了思维难度，首先要熟悉常见的函数图象，包括指数函数，对数函数，幂函数，三角函数等，还要熟练掌握函数图象的变换，包括平移，伸缩，对称和翻折等，涉及零点之和问题，通常考虑图象的对称性进行解决.

三、填空题

13．已知，则______.

【答案】

【分析】先根据诱导公式化简，再弦化切，即可求解.

【详解】解：因为，

所以，

故答案为：

14．已知△ABC是边长为3的正三角形，则______．

【答案】/

【分析】根据向量数量积运算求得正确答案.

【详解】

.

故答案为：

15．已知复数满足（为虚数单位），则______．

【答案】

【分析】根据复数的除法运算和模的定义求解.

【详解】由得，

所以，

故答案为: .

16．如图，中点是线段上两个动点，且，则的最小值为______．

【答案】8

【分析】设，，由，，，共线可得，

再利用乘“1”法求解最值.

【详解】设，，

，，，共线，，．

，则，

点，是线段上两个动点，，．

则的最小值为．

故答案为：．

【点睛】由向量共线定理的推论得到是解题关键，乘“1”法求解最值是基本不等式求最值的常用方法..

四、解答题

17．已知复数，其中为虚数单位，.

(1)若为纯虚数，求的值；

(2)若在复平面内对应的点在第二象限，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)，

【分析】（1）根据纯虚数的定义列方程组求解；（2）利用复数对应点所在的象限得到复数的实部和虚部的正负，得到不等式组求解即可.

【详解】（1）由是纯虚数，可得，解得.

（2）由已知得，解得，

实数的取值范围是，.

18．已知向量.

(1)若，求的值；

(2)若，求的夹角.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）将条件平方后，利用向量的数量积的运算求得向量的数量积，进而求得，从而得到的值；

（2）根据条件利用向量的数量积的运算求得，进而得解.

【详解】（1）由两边平方得，又，

代入得，所以，

所以.

（2），∴，

又∵，∴.

19．的内角的对边分别为，向量，，且.

(1)求；

(2)若的面积为，求的周长.

【答案】(1)1

(2)3

【分析】(1)根据向量平行，再结合正弦定理，即可求出a.

(2)先根据面积公式求出，再结合余弦定理，即可求解.

【详解】（1）解：因为，所以，根据正弦定理得，

,即，即,

又，所以.

（2）,所以

根据余弦定理得，

,即，

所以，所以的周长为.

20．某企业新研发了一款产品，通过对这款产品的销售情况调查发现：该产品在过去的一个月内（以30天计）的日销售价格（单位：元）与时间（单位：天）的函数关系近似满足，该产品的日销售量（单位：个）与时间部分数据如下表所示：

(1)现提供两种函数模型：①；②，请你根据上表中的数据特征，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述该产品的日销售量与时间的函数关系，并求出该函数的解析式；

(2)求该产品的日销售总收入（单位：元）的最小值.（注：日销售总收入日销售价格日销售量）

【答案】(1)，

(2)元

【分析】（1）根据表格数据，的函数值关于对称，故选择合适，代入值求出参数、的值，即可得解；

（2）首先求出的解析式，再分、两种情况讨论，利用基本不等式及函数的单调性求出函数的最小值.

【详解】（1）解：根据表格数据，的函数值关于对称，故选择合适，

又，，

解得，故，验证均满足，

所以.

（2）解：

，

当时，，

当且仅当，即时等号成立；

当时，在上单调递减，

故最小值为.  

综上所述：当时，有最小值为元.

21．已知函数.

(1)求函数的单调递增区间；

(2)将函数的图象上每一点的横坐标伸长原来的两倍，纵坐标保持不变，得到函数的图象，若方程在上有两个不相等的实数解，求实数的取值范围.

【答案】(1)，.

(2)

【分析】(1)利用三角恒等变换化简的解析式，再利用正弦函数的周期性和单调性，求得的单调增区间；

(2)由函数的图像伸缩变换求得的解析式，再利用正弦函数化简，求出m的取值范围.

【详解】（1）

因此的最小正周期为，

由，，

解得的单调递增区间为：，.

（2）由题意得，则方程可化简为

即，

令，，则，设，

由图像可知，方程在上要有两个不相等的实数解，

即,即

22．已知定义在上的奇函数，（其中为常数）.

(1)求实数的值；

(2)求不等式的解集.

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）根据函数是定义在上的奇函数，可得，，即可得解；

（2）先利用定义法判断函数的单调性，再根据函数的奇偶性及单调性解不等式即可.

【详解】（1）因为是定义在上的奇函数，

所以，即，所以，

经检验符合题意，故，

由，得，解得，

经检验，符合题意，

所以，；

（2）由（1）得，

令，

则，

因为，所以，

所以，即，

所以函数在上为减函数，

由函数为奇函数，得不等式，即为，

所以，即，

整理得，所以，

所以不等式的解集为.

【点睛】关键点点睛：根据函数为奇函数，将不等式转化为是解决本题的关键.