2022-2023学年河南省南阳市桐柏县高一下学期期中数学试题含解析

2022-2023学年河南省南阳市桐柏县高一下学期期中数学试题

一、单选题

1．的弧度数为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据角度与弧度关系求对应弧度即可.

【详解】由.

故选：B

2．已知点是角终边上一点，若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】点在第四象限，由求得结果.

【详解】，则点在第四象限，

由，故.

故选：C.

3．函数的部分图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】先判断的奇偶性，再根据时的函数值的符号判断图象.

【详解】因为，，

所以，故函数的为奇函数，排除BD；

又 所以，故A错误.

故选：C

4．下列命题正确的是（    ）

A．向量与是两平行向量

B．若都是单位向量，则

C．若，则四点构成平行四边形

D．两向量相等，则它们的始点、终点相同

【答案】A

【分析】利用平行向量的定义即可判断A；利用向量相等的定义即可判断B，D；利用共线向量的定义即可判断C．

【详解】对于A，向量与是相反向量，它们是平行向量，故A正确；

对于B，若，都是单位向量，但，的方向不一定相同，故，不一定相等，故B错误；

对于C，若，则四点共线或四点构成平行四边形，故C错误；

对于D，若两向量相等，则它们的方向相同、长度相等，与始点、终点无关，故D错误．

故选：A．

5．已知中角、、对边分别为、、，若，，则的最大值为（    ）

A． B． C． D．以上都不对

【答案】C

【分析】利用余弦定理结合基本不等式可求得的最大值.

【详解】由余弦定理可得

，

所以，，即，

当且仅当时，等号成立，故的最大值为.

故选：C.

6．设是某地区平均气温（摄氏度）关于时间（月份）的函数.下图显示的是该地区1月份至12月份的平均气温数据，函数近似满足.下列函数中，最能近似表示图中曲线的函数是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】结合题意和函数图象，结合三角函数的性质求解即可.

【详解】由题意，，即.

由图可知，，解得，，

此时，

将点代入解析式，

可得，即，

所以，，

即，取，，

所以.

故选：A.

7．如图，四边形ABCD是平行四边形，点E，F分别为CD，AD的中点，若以向量，为基底表示向量，则下列结论正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】注意到，后利用表示，即可得答案.

【详解】注意到.

又为DC中点，则；

F为AD中点，则.

则；

.

则.

故选：D

8．如图，点O为正六边形ABCDEF的中心，下列说法正确的是（    ）

A． B． C．与共线 D．

【答案】B

【分析】根据向量的定义和性质依次判断每个选项得到答案.

【详解】对选项A：，错误；

对选项B：，正确；

对选项C：与不共线，错误；

对选项D：向量不能比较大小，错误.

故选：B.

二、多选题

9．下列说法错误的是（    ）

A．钝角是第二象限角 B．第二象限角比第一象限角大

C．大于的角是钝角 D．是第二象限角

【答案】BCD

【分析】利用象限角的概念可判断ABD选项；取可判断C选项.

【详解】对于A选项，钝角的范围是，

第二象限角的取值范围是，

因为，

所以，钝角是第二象限角，A对；

对于B选项，是第二象限角，是第一象限角，但，B错；

对于C选项，，但不是钝角，C错；

对于D选项，，且，

故是第三象限角，D错.

故选：BCD.

10．已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（    ）

A．的图象关于点对称

B．在区间的最小值为

C．为偶函数

D．的图象向右平个单位后得到的图象

【答案】BC

【分析】由图象可求得的解析式，对于A： 验证是否为的零点；对于B先求出的范围再求的值域；对于C，求出的解析式判断奇偶性；对于D：根据图象的平移求出平移后的解析式判断.

【详解】，由图象可知，即，又，所以，

由五点作图法可得，解得，所以，

对于A：，所以的图象关于对称，故A错误；

对于B：当时，，即在区间上的最小值为，故B正确；

对于C：，为偶函数，故C正确.

对于D：的图象向右平移个单位后得到的图象，故D错误；

故选:BC.

11．在中，内角的对边分别为，下列说法正确的是（    ）

A．若，则

B．若，则

C．若，则

D．若，符合条件的有一个，则

【答案】ABC

【分析】根据向量的四边形法则和正余弦弦定理，逐项分析判断即可得解.

【详解】对A，由分别为向量方向上的单位向量，

根据平行四边形法则向量平分角，

又，则，

所以，所以，故A正确；

对B，由，根据正弦定理可得：

，

所以，由在三角形中，

所以，所以，故B正确；

对C，在三角形中，由可得，根据正弦定理可得，故C正确；

对D，若，即，此时符合条件的有两个，故D错误.

故选：ABC

12．已知两个不相等的非零向量,，两组向量,,,,和,,,,均由2个和3个排列而成.记，表示所有可能取值中的最小值.则下列命题中真命题为（    ）

A．可能有5个不同的值

B．若，则与无关

C．若，则

D．若，，则与的夹角为

【答案】BC

【分析】根据的取值依据所含的个数有0个、有1个、有2个，可得,进而可判断A，根据数量积的运算，结合选项即可判断BCD.

【详解】根据题意得的取值依据所含的个数，分三类：有0个、有1个、有2个，记，分别得的取值为：，，，则至多有3个不同的值，A错误；

若，则，此时，，，又，为非零向量，则，与无关，B对；

若，则，

，，则，C对；

若，则，，，

∵，，

∴，解得，∴，D错误.

故选：BC

三、填空题

13．函数的最小正周期为____________．

【答案】

【分析】根据三角函数周期公式即可得到答案.

【详解】直接根据余弦函数周期公式得，

故答案为：.

14．已知定义域为的奇函数则的值为__________．

【答案】0

【分析】根据奇函数的定义域关于原点对称求出，再根据奇函数的定义求出b即可作答.

【详解】因为函数是定义在上的奇函数，

则有，解得，

，解得，

所以.

故答案为：0

15．已知向量，满足，，，则向量，的夹角为__________.

【答案】/

【分析】设与的夹角为，，得到，解得答案.

【详解】设与的夹角为，，

则，解得，

，故.

故答案为：

16．位于河北省承德避暑山庄西南十公里处的双塔山，因1300多年以前，契丹人在双塔峰顶建造的两座古塔增添了诸多神秘色彩．双塔山无法攀登，现准备测量两峰峰顶处的两塔塔尖的距离．如图，在与两座山峰、山脚同一水平面处选一点A，从A处看塔尖的仰角是，看塔尖的仰角是，又测量得，若塔尖到山脚底部的距离为米，塔尖到山脚底部的距离为米，则两塔塔尖之间的距离为________米．

【答案】

【分析】先解直角三角形得AC=60米，米,再利用余弦定理解BC即可.

【详解】在中，米，，则米．

同理，在中，米，

在中，米，米，，

由余弦定理，得

米．

故答案为：.

四、解答题

17．已知向量．

(1)若，求的值；

(2)若，与的夹角为锐角，求实数的取值范围．

【答案】(1)2

(2)

【分析】（1）由向量加减运算的坐标表示分别求出和，再根据向量平行列出方程得出的值；

（2）根据向量与的夹角为锐角得出且不共线，列出不等式，即可求出实数的取值范围．

【详解】（1）由已知得，，

因为，

所以，解得，

故的值为．

（2）当时，，

因为与的夹角为锐角，

所以且与不共线，

当与共线时，，故与的夹角为锐角时，

由得，，解得,

所以实数的取值范围是．

18．某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：

(1)请将上表数据补充完整，并根据表格数据作出函数在一个周期内的图象；

(2)将的图象向左平移个单位长度，得到的图象，若的图象关于y轴对称，求的最小值．

【答案】(1)表格见解析，图象见解析

(2)

【分析】（1）根据表格，分别求得，即可得到函数的解析式，从而得到其函数图像；

（2）根据题意，由函数图像变换，列出方程即可求得的最小值.

【详解】（1）由表中数据可得，，

所以，则，且，解得，

当时，，即，解得，

所以.

分别令，解得，

据此可得表格为：

由表格作出图象，如下图所示.

（2）由题意可得：，

因为的图象关于y对称，则，

解得，且，

所以当时，取到最小值．

19．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表.其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积=（弦´矢+矢2）.弧田（如图），由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.

按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差.现有圆心角为，弦长等于9米的弧田.

（1）计算弧田的实际面积；

（2）按照《九章算术》中弧田面积的经验公式计算所得结果与（1）中计算的弧田实际面积相差多少平方米？（结果保留两位小数）

【答案】(1)()；(2)少．

【详解】试题分析：(1)本题比较简单，就是利用扇形面积公式来计算弧田面积，弧田面积等于扇形面积对应三角形面积．(2)由弧田面积的经验计算公式计算面积与实际面积相减即得．

试题解析：(1) 扇形半径，

扇形面积等于

弧田面积=（m2）

（2）圆心到弦的距离等于，所以矢长为.按照上述弧田面积经验公式计算得

（弦´矢+矢2）=.

平方米

按照弧田面积经验公式计算结果比实际少1.52平米.

【解析】(1)扇形面积公式；(2)弧田面积的经验计算公式．

20．如图所示，在中，．

(1)用表示；

(2)若，证明：三点共线．

【答案】(1)，

(2)证明见解析

【分析】（1）根据平面向量的线性运算结合图形计算即可；

（2）根据平面向量共线定理证明与共线，即可得证.

【详解】（1）因为，所以，

所以，

因为，所以，所以；

（2）因为，所以，

因为，所以，

即与共线，因为与有公共点B，所以三点共线．

21．在锐角中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知．

(1)求角B的值；

(2)若，求的周长的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据正弦定理得到，再利用余弦定理求出；

（2）根据正弦定理得到，从而得到，求出，得到，，从而求出周长的取值范围.

【详解】（1），由正弦定理得：，

即，

由余弦定理得：，

因为，

所以；

（2）锐角中，，，

由正弦定理得：，

故，

则

，

因为锐角中，，

则，，

解得：，

故，，

则，

故，

所以三角形周长的取值范围是.

【点睛】解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长，周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题，

常用处理思路：①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案；

②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法；

③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值

22．若函数满足，且，，则称为“型函数”.

(1)判断函数是否为“型函数”，并说明理由；

(2)已知为定义域为的奇函数，当时，，函数为“型函数”，当时，，若函数在上的零点个数为9，求的取值范围.

【答案】(1)函数是“型函数”，理由见解析

(2)

【分析】（1）判断出关于直线对称，且最小正周期为，由定义可判断出答案；

（2）由题意得到的零点为，0，1，即或或，由对称性和周期性画出在上的图象，数形结合求出.

【详解】（1）由，得，所以的周期为，

由，，得的图象关于直线对称，

因为，所以的图象关于直线对称，

又的最小正周期为，所以函数是“型函数”.

（2）令，得，因为是定义域为的奇函数，所以的零点为，0，1.

令，所以或0或1，即或或.

画出在上的图象，由的图象关于直线对称，

可画出在上的图象.由的最小正周期为，

可画出在上的图象.

故在上的图象如图所示，

所以函数在上的零点个数等于在上的图象与直线，，的交点个数之和.

当，即时，在上的图象与直线，，的交点个数之和为9.

故的取值范围为

【点睛】函数零点问题：将函数零点问题或方程解的问题转化为两函数的图象交点问题，将代数问题几何化，借助图象分析，大大简化了思维难度，首先要熟悉常见的函数图象，包括指数函数，对数函数，幂函数，三角函数等，还要熟练掌握函数图象的变换，包括平移，伸缩，对称和翻折等，涉及零点之和问题，通常考虑图象的对称性进行解决.