2022-2023学年黑龙江省大庆实验中学实验二部高一下学期期中考试数学试题含解析

2022-2023学年黑龙江省大庆实验中学实验二部高一下学期期中考试数学试题

一、单选题

1．（    ）

A．0 B． C． D．2

【答案】A

【分析】由诱导公式可以直接计算所得.

【详解】由诱导公式可得，

，

所以.

故选：A

2．在复平面内，复数（其中i为虚数单位）对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】A

【分析】根据复数的乘法运算求出复数，再根据复数的几何意义即可得解.

【详解】解：，

则对应点的坐标为，位于第一象限.

故选：A.

3．平行四边形ABCD中，点E满足，则（    ）

A． B．-1 C．1 D．

【答案】D

【分析】根据平面向量的线性运算结合平面向量基本定理分析求解.

【详解】由题意可得：，

即，则.

故选：D.

4．如图1，在高为的直三棱柱容器中，.现往该容器内灌进一些水，水深为2，然后固定容器底面的一边于地面上，再将容器倾斜，当倾斜到某一位置时，水面恰好为（如图2），则容器的体积为（    ）

A． B．3 C． D．6

【答案】D

【分析】设容器体积为，水的体积为，无水部分为三棱锥，体积为，，解得答案.

【详解】设容器体积为，水的体积为，

无水部分为三棱锥，体积为，，故.

故选：D

5．已知向量，对任意的，恒有，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据数量积的运算律求得，再根据数量积的运算，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.

【详解】由可得，

又，令则上式等价于，对任意的恒成立，

故，解得，解得，即；

对A：由，故不成立，A错误；

对B：，不确定其结果，故不一定成立，B错误；

对C：，故，C正确；

对D： ，不确定其结果，故不一定成立，D错误.

故选：C.

6．如图，P是正方体面对角线上的动点，下列直线中，始终与直线BP异面的是（    ）

A．直线 B．直线 C．直线 D．直线AC

【答案】D

【分析】根据异面直线得定义逐一分析判断即可.

【详解】对于A，连接，设，

由，当点位于点时，与共面；

对于B，当点与重合时，直线与直线相交；

对于C，因为且，所以四边形为平行四边形，

所以，

当点与重合时，与共面；

对于D，连接，

因为平面，平面，平面，，

所以直线BP与直线AC是异面直线.

故选：D.

7．在锐角中，角的对边分别为，且满足.若恒成立，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】首先利用正弦定理进行“边化角”，而后通过代换减少变量，利用函数的值域即可解决问题，特别注意这里不满足基本不等式的应用条件.

【详解】由正弦定理可知，①，

又因为，所以②，

将②式代入①式可得，整理得，

因为，所以，即，

又因为，所以，即可得

又有恒成立恒成立，

又因为是锐角三角形，所以,

即，解得，

所以，故.

设，则易知在区间上单调递减，故，

所以，

故，即.

故选：B

8．在中，角的对边分别为，且满足为中点.过点作交所在直线于，则的最大值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】连接，则，设，根据余弦定理得到，，计算，根据二次函数性质得到最值.

【详解】如图所示：连接，则，设，

中：，整理得到：，

中：，

故，，

，

即，

当时，有最大值为，此时可以满足，

则的最大值为.

故选：A

二、多选题

9．已知是两个不同的平面，则下列命题正确的是（    ）

A．若且，则

B．若是平面内不共线三点，，则

C．若直线，直线，则与为异面直线

D．若直线是异面直线，直线是异面直线，则直线异面

【答案】AB

【分析】确定，A正确，若推出和重合，得到B正确，CD选项都有多种情况，错误，得到答案.

【详解】对选项A：若且，则，正确；

对选项B：若，又，则和重合，不成立，正确；

对选项C：直线，直线，则与为异面直线或或相交，错误；

对选项D：若直线是异面直线，直线是异面直线，

则直线异面或相交或平行，错误；

故选：AB

10．下列论断中，正确的有（    ）

A．在中，若为钝角，则

B．在中，角的对边分别为，若，则为等腰三角形

C．已知向量是非零向量，则向量与向量共线存在不全为零的实数，使

D．向量满足，则或

【答案】AC

【分析】确定，根据三角函数得到单调性得到，A正确，取特殊值排除B，根据向量的运算知C正确，当，且时等式成立，D错误，得到答案.

【详解】对选项A：，，，，

故，同理，故，正确；

对选项B：取，，则，满足，错误；

对选项C：非零向量与向量共线，则，即存在不全为零的实数，

使；

若，，，故向量与向量共线，正确；

对选项D：当，且时，，错误.

故选：AC

11．如图所示，在空间四边形中，点分别是边的中点，点分别是边上的三等分点，且，则下列说法正确的是（    ）

A．四点共面

B．与异面

C．与的交点可能在直线上，也可能不在直线上

D．与的交点一定在直线上

【答案】AD

【分析】利用三角形中位线性质、平行线分线段成比例的性质可得，即可判断A，B；由平面基本事实推理可判断C，D.

【详解】在空间四边形ABCD中，点E，H分别是边AB，AD的中点，则，且，

点F，G分别是边BC，CD上的点，且，则，且，

因此，点E，F，G，H四点共面，故A正确，B错误；

，，即四边形是梯形，则EF与GH必相交，交点为M，

点M在EF上，而EF在平面ACB上，则点M在平面ACB上，同理点M在平面ACD上，

则点M是平面ACB与平面ACD的公共点，而AC是平面ACB与平面ACD的交线，

所以点M一定在直线AC上，故C错误，D正确.

故选：AD.

12．下列说法正确的是（    ）

A．设是非零向量，且，则

B．若为复数，则

C．设是非零向量，若，则

D．设为复数，若.，则

【答案】BC

【分析】确定或，A错误，计算得到BC正确，举反例，，得到D错误，得到答案.

【详解】对选项A：是非零向量，且，则或，错误；

对选项B：设，，，，

，正确；

对选项C：，则，整理得到，正确；

对选项D：取，，满足，，错误；

故选：BC

三、填空题

13．已知向量，且，则___________.

【答案】

【分析】利用向量共线的坐标运算即可求出结果.

【详解】因为，，所以，又，

所以，解得，所以，故.

故答案为：.

14．复数的共轭复数是__________

【答案】

【分析】利用复数除法化简，由共轭复数的概念写出即可.

【详解】，

∴.

故答案为：

四、双空题

15．已知三棱锥中，,，分别是的中点，是棱上（除端点外）的动点，则的最小值为__________；当时，三棱锥体积为__________.

【答案】          /

【分析】（1）空间中距离之和的最值问题一般转化为平面中的距离问题，将空间中的面展开铺平研究即可得；

（2）解法一：三棱锥体积可以通过间接的方法获得，因为，所以，只要求出三棱锥的体积即可，取的中点为，证明垂直于平面，即可用分割的方法求得体积；

解法二：将三棱锥补形成长方体，再利用切割法即可求得三棱锥的体积.

【详解】第1空：

因为，，

所以将空间四边形展开铺平可得平行四边形，如图所示：

在中，，，由余弦定理可得，

，

而，所以的最小值为.

第2空：

解法一：

当时，易知.

取的中点为，连接，如图所示：

因为，，所以，且；

又因为，，所以，且；

故可知平面，即和分别为三棱锥和的高.

在中，，，所以，

故，

所以.

解法二：

当时，易知.

因为，，所以可以构造如图所示的长方体：

设长方体的长、宽、高分别为，

则可知,解得，

所以长方体的长为，宽和高均，

观察图形可知，三棱锥的体积为长方体的体积减去四个全等的三棱锥的体积，

故,

.

故答案为：；

五、填空题

16．如图在棱长为6的正方体中，分别是中点，在侧面上（包括边界），且满足三棱锥的体积等于9，则的长度的取值范围__________.

【答案】

【分析】根据题意计算，确定的轨迹为线段和点，分别计算点在线段上时和点时的范围，得到答案.

【详解】设中边的高为，连接，，

则三棱锥的体积，故，

和点到的距离为，故的轨迹为线段和点，

点在线段上时，为边长为的等边三角形，

故到的最短距离为，最长距离为；

点与点重合时，，

综上所述：的长度的取值范围为.

故答案为：.

六、解答题

17．已知是坐标原点，，

(1)求向量在方向上的投影向量的坐标和数量投影；

(2)若，，，请判断C、D、E三点是否共线，并说明理由.

【答案】(1)坐标，数量投影是

(2)共线，理由见解析

【分析】（1）根据投影向量和投影的公式，准确计算，即可求解；

（2）根据平面向量的共线的坐标表示，得到，即可求解.

【详解】（1）解：由向量，可得

则投影向量的坐标是，，

数量投影是，，

即向量在方向上的数量投影是.

（2）解：、、三点共线，

理由：向量，

因为，，，

可得，，，

所以，，

可得，所以、、三点共线.

18．如图，在正四棱锥中，是上的点且是的中点．求：

(1)四棱锥的表面积；

(2)三棱锥的体积．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）先求斜高，然后直接计算可得；

（2）根据M、N的位置，将所求三棱锥体积问题转化为求三棱锥的体积.

【详解】（1）作，垂足为E，

由正四棱锥性质可知，E为BC中点，所以

所以；

（2）作平面ABCD，由正四棱锥性质可知O为BD的中点

因为

所以

又是的中点，

所以

．

19．如图，在中，，，与的交点为M，过M作动直线l分别交线段、于E、F两点.

(1)用，表示；

(2)设，.①求证：；②求的最小值.

【答案】(1)

(2)①证明过程见详解；②.

【分析】（1）利用三点共线列出方程，求解即可；

（2）①利用向量的线性运算即可证明；②利用基本不等式即可求解.

【详解】（1）由三点共线可得存在实数，使得，

同理由三点共线可得存在实数，使得，

所以，解得，

所以.

（2）①设，其中.

所以，则，所以；

②所以，当且仅当时取等号，即时，取得最小值为.

20．已知函数（其中）的最小正周期为，它的一个对称中心为.

(1)求函数的解析式；

(2)若方程在上的解为，求.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据周期得到，根据对称中心得到，得到解析式.

（2）确定，根据对称性得到，代入解析式计算得到答案.

【详解】（1），，故，

一个对称中心为，故，即，

，故当时，满足条件，此时，故.

（2），故，，

且，即，

.

21．定义非零向量的“相伴函数”为，向量称为函数的“相伴向量”（其中为坐标原点）．记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为．

(1)设，请问函数是否存在相伴向量，若存在，求出与共线的单位向量；若不存在，请说明理由．

(2)已知点满足：，向量的“相伴函数”在处取得最大值，求的取值范围．

【答案】(1)存在，或

(2)

【分析】（1）由题知，进而根据相伴向量的定义求解即可；

（2）根据三角函数的性质得，进而结合二倍角公式得，再令，进而结合函数值域求解即可.

【详解】（1）因为

，

所以，函数存在相伴向量，，

所以，与共线的单位向量为或

.

（2）的“相伴函数”，

因为在处取得最大值，

所以，当，即时，有最大值，

所以，，

所以，

因为，，

所以，

所以，

令，则，

因为均为上的单调递减函数，

所以在上单调递减，

所以，

所以，，

所以，的取值范围为.

22．目前，中国已经建成全球最大的5G网络，无论是大山深处还是广表平原，处处都能见到5G基站的身影.如图，某同学在一条水平公路上观测对面山项上的一座5G基站AB，已知基站高AB=50m，该同学眼高1.5m（眼睛到地面的距离），该同学在初始位置C处（眼睛所在位置）测得基站底部B的仰为37°，测得基站顶端A的仰角为45°.

(1)求出山高BE（结果保留整数）；

(2)如图（第二幅），当该同学面向基站AB前行时（保持在同一铅垂面内），记该同学所在位置C处（眼睛所在位置）到基站AB所在直线的距离CD=xm，且记在C处观测基站底部B的仰角为，观测基站顶端A的仰角为β.试问当x多大时，观测基站的视角∠ACB最大？

参考数据:.

【答案】(1)

(2)，∠ACB最大

【分析】（1）在中，利用正弦定理求出，再在中，求出即可；

（2）易得，分别在在和在中，求出，再根据两角和的正切公式结合基本不等式求出取得最大值时，的值，再根据正切函数的单调性即可得解.

【详解】（1）由题意可知，，

在中，，

所以，

在中，，

所以出山高；

（2）由题意知，且，

则，

在中，，

在中，，

则

，

当且仅当，即时，取等号，

所以取得最大值时，，

又因为，所以此时最大，

所以当时，最大.