2022-2023学年黑龙江省哈尔滨德强高中高一下学期期中考试数学试题含解析

2022-2023学年黑龙江省哈尔滨德强高中高一下学期期中考试数学试题

一、单选题

1．复数，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据共轭复数的概念求解.

【详解】因为复数，所以，

故选:D.

2．向量，，则（　　）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】利用向量加法和数量积的坐标运算直接求解即可.

【详解】，.

故选：A.

3．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（    ）

A．1 B． C．2 D．

【答案】D

【分析】利用正弦定理可得答案.

【详解】由正弦定理得，

.

故选：D.

4．如图，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形，若，那么原三角形的周长是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】由斜二测画法原理将直观图转化为原图，根据原图运算求解即可.

【详解】由题意可得：，

由直观图可得原图，如图所示，可知：，

可得，

所以原三角形的周长.

故选：B.

5．正方体中，与对角线成异面直线的棱有（    ）

A．3条 B．4条 C．6条 D．8条

【答案】C

【分析】由异面直线的定义即可得出答案.

【详解】解：由图可知与直线为异面直线的棱分别是、、、、、共条.

故选：C

6．在复平面内，复数与对应的点关于虚轴对称，则等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】计算得，关于虚轴对称即关于轴对称，得出结果即可．

【详解】由题意得，

∵复数与对应的点关于虚轴对称对称，

∴．

故选：D．

7．在中，点在线段上，且，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据向量的线性运算公式化简可得.

【详解】由已知

所以，

故选：B.

8．在中，内角所对的边分别是，若，则的取值范围为

A． B．

C． D．

【答案】C

【详解】由正弦定理及得，化简可得，即，所以 ，由，得，所以，所以.

故选C.

二、多选题

9．已知是三条不同的直线，是三个不同的平面，下列命题正确的有（    ）

A．若，则

B．若，则

C．若，则

D．若，则

【答案】BD

【分析】根据线线、面面位置关系等知识确定正确答案.

【详解】A选项，若，则可能异面，A选项错误.

B选项，若，则，B选项正确.

C选项，若，则可能相交，C选项正确.

D选项，若，则，D选项正确.

故选：BD

10．已知在同一平面内的向量均为非零向量，则下列说法中正确的有（    ）

A．若，则

B．若，则

C．

D．若且，则

【答案】AD

【分析】平面向量共线的传递性判断A，由向量数量积的定义可判断B，根据数量积及共线向量的概念可判断C，根据向量垂直及向量数量积的概念可判断D.

【详解】对A，在同一平面内的向量均为非零向量，若且，则，即A正确；

对B，若，则，又，所以，

因为与的夹角不一定相等，所以不一定成立，即B错误；

对C，因为与共线，与共线，所以不一定成立，即C错误；

对D，若且，则，，即D正确.

故选：AD．

11．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列各组条件中使得有两个解的是（    ）

A．， ， B．，，

C．，， D．，，

【答案】AB

【分析】根据正弦定理、余弦定理的知识确定正确选项.

【详解】A选项，，，

所以有两个解，A选项正确.

B选项，为锐角，

，，

，所以有两个解，B选项正确.

C选项，由余弦定理得，

所以有唯一解.

D选项，，

，所以有唯一解.

故选：AB

12．截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适当的截角，即截去四面体的四个顶点所产生的多面体．如图，将棱长为3的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面得到所有棱长均为1的截角四面体，则（ ）

A．该截角四面体一共有12条棱

B．该截角四面体一共有8个面

C．该截角四面体的表面积为

D．该截角四面体的体积为

【答案】BCD

【分析】确定截角四面体是由4个边长为1的正三角形，4个边长为1的正六边形构成，然后分别求解四面体的表面积，体积即可判断选项.

【详解】对于AB，可知截角四面体是由4个边长为1的正三角形，4个边长为1的正六边形构成，故该截角四面体一共有8个面，18条棱，故A错误，B正确；

对于C，边长为1的正三角形的面积，边长为1的正六边形的面积，故该截角四面体的表面积为，故C正确；

对于D，棱长为1的正四面体的高，利用等体积法可得该截角四面体的体积为，故D正确.

故选：BCD

【点睛】关键点点睛：本题考查多面体的表面积及体积求法，解题的关键是审清题意，清楚截角四面体的定义及构成，考查学生的空间想象能力与运算求解能力，属于较难题.

三、填空题

13．已知，，若，则__________．

【答案】

【分析】根据平面向量共线的坐标表示得到方程，解得即可.

【详解】因为，且，

所以，解得.

故答案为：

14．写出一个模为5，且在复平面内对应的点在第三象限的复数__________.

【答案】（答案不唯一）

【分析】根据复数的模、复数对应点所在象限确定正确结论.

【详解】设，则满足即可.

所以符合题意.

故答案为：（答案不唯一）

15．若圆锥的侧面展开图是一个半径为圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为__________．

【答案】

【分析】计算出圆锥的底面半径，进而可求得该圆锥的高，利用锥体的体积公式可求得该圆锥的体积.

【详解】设圆锥的底面半径为，扇形的圆心角为，由题意可得，解得，

该圆锥的高为,

因此，该圆锥的体积为.

故答案为：.

16．小赵想利用正弦定理的知识测量某钟塔的高度，他在该钟塔塔底点的正西处的点测得该钟塔塔顶点的仰角为，然后沿着东偏南的方向行进了后到达点（，，三点处于同一水平面），且点在点北偏东方向上，则该钟塔的高度为__________．（参考数据：取）

【答案】

【分析】先利用正弦定理求出，再由锐角三角函数求出．

【详解】如图，

，，则．

由正弦定理，得，

所以．

故答案为：．

四、解答题

17．已知向量的夹角为.

(1)求的值;

(2)若和垂直，求实数t的值.

【答案】(1)

(2)2

【分析】（1）根据数量积的定义运算求解；

（2）根据向量垂直结合数量积的运算律运算求解.

【详解】（1）由题意可得：.

（2）若和垂直，则，

即，解得.

18．已知复数，其中i为虚数单位，.

(1)若z是纯虚数，求m的值；

(2)z在复平面内对应的点在第二象限，求m的取值范围.

【答案】(1)；

(2)

【分析】（1）z是纯虚数需要满足实部等于0，虚部不等于0，即可求出结果；

（2）z在复平面内对应的点在第二象限，需要满足实部小于0，虚部大于0.

【详解】（1）因为z是纯虚数，

所以，

解得.

（2）因为z在复平面内对应的点在第二象限，

所以，

解得，

所以m的取值范围为.

19．如图，直三棱柱中，，，，P为线段上的动点．

(1)当P为线段上的中点时，求三棱锥的体积；

(2)当P在线段上移动时，求的最小值．

【答案】(1)

(2)．

【分析】（1）由余弦定理求出，即可求出的面积，再由等体积法求解即可；

（2）根据平面展开图可确定的最小值即长，由三角形余弦定理求解即可.

【详解】（1）由已知可得，

由余弦定理有，得到．

在中，有，

．

（2）将绕旋转到与同一平面（如图所示），

连接交于点，此时取得最小值，最小值即长．

在中，，，，

故，故，即，

又易知，故，

由余弦定理得，所以，

（或者在中由勾股定理得）

故的最小值为．

20．在中，，，．

（1）求；

（2）若为的中点，求的长度．

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）在中，根据余弦定理得到，再根据正弦定理，即可得到的值.

（2）首先根据余弦定理求出，在中，由余弦定理即可得到的值.

【详解】（1）在中，，，．

由余弦定理可得：，

由正弦定理：，可得：；

（2）为的中点，可得：，

又，

在中，由余弦定理可得：．

【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理，同时考查了学生的计算能力，属于中档题.

21．如图在平面四边形ABCD中，，，，．

(1)求边BC；

(2)若，求四边形ABCD的面积．

【答案】(1)1；

(2).

【分析】（1）利用余弦定理即可求得边BC的长；

（2）分别利用三角形面积公式求得的面积，进而求得四边形ABCD的面积．

【详解】（1）因为，为锐角，

所以．

因为，，在中，

由余弦定理得，

即，得．

（2）在中，由正弦定理得，

即，所以．

在中，由余弦定理得，

即，解得．

因为，，

所以．

22．在锐角中，内角，，所对的边分别为，，，满足，且.

(1)求证：；

(2)已知是的平分线，若，求线段长度的取值范围.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）由正弦定理得，又由余弦定理得，结合整理可得角的关系；

（2）由正弦定理得，又因为为锐角三角形且，结合三角函数值域可求得线段长度的取值范围.

【详解】（1）由题意得，即.

由正弦定理得，

又由余弦定理得，

所以，故，

故，整理得，

又为锐角三角形，则

所以，因此.

（2）在中，由正弦定理得，所以.

所以，

因为为锐角三角形，且，所以，解得.

故，所以.

因此线段长度的取值范围.