2022-2023学年黑龙江省实验中学高一下学期期中数学试题含解析

2022-2023学年黑龙江省实验中学高一下学期期中数学试题

一、单选题

1．在空间中，下列命题不正确的是（    ）

A．若两个平面有一个公共点，则它们有无数个公共点．且在一条直线上

B．若已知四个点不共面，则其中任意三点不共线

C．梯形可确定一个平面

D．任意三点能确定一个平面

【答案】D

【分析】利用平面的相关公理和推论逐项进行判断即可求解.

【详解】对于选项A，若两个平面有一个公共点，则它们有经过该公共点的一条直线，即两平面有无数个公共点，故选项A正确；

对于选项B，若已知四个点不共面，则其中任意三点不共线，否则，若存在三点共线，则问题转化为一条直线与直线外一点，则四点共面，故选项B正确；

对于选项C，因为两条平行直线确定一个平面，所以梯形可确定一个平面，故选项C正确；

对于选项D，共线的三点不能确定一个平面，故选项D错误；

故选：D.

2．已知复数满足，则的虚部为（    ）

A． B． C． D．2

【答案】C

【分析】计算，确定虚部得到答案.

【详解】，故虚部为.

故选：C

3．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a=，b=，，则角A为（    ）

A． B． C． D．或

【答案】C

【分析】由正弦定理即可求解.

【详解】由正弦定理，得，

又，所以，所以为锐角，所以．

故选：C．

4．向量，， 在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，若为与同方向的单位向量，则（    ）

A．1.5 B．2 C．-4.5 D．-3

【答案】D

【分析】首先建系，确定向量的坐标，根据向量数量积的坐标表示求解.

【详解】如图，建立平面直角坐标系，由图可知，，，

则，所以.

故选：D

5．在中，角所对的边分别为，已知，则下列结论正确的是（    ）

A． B．

C．若，则的面积是 D．若，则外接圆半径是

【答案】C

【分析】根据题意，由正弦定理可判定A错误；由余弦定理求得，结合向量的数量积的定义，可判定B错误；由三角形的面积公式，可判定C正确；由正弦定理求得外接圆的半径，可判定D错误.

【详解】由题意，在中，满足，

对于A中，由正弦定理，所以，

所以A不正确；

对于B中，设三边的长分别为，

由余弦定理得，

所以，所以B错误；

对于C中，若，可得，可得，则，

所以的面积为，所以C正确；

对于D中，设三边的长分别为，

由，即，可得，所以，

设外接圆的半径为，则，

所以，所以D错误.

故选：C.

6．已知非零向量，满足，且向量在向量方向的投影向量是，则向量与的夹角是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】运用数量积和投影向量的定义求解.

【详解】由题意，，则，即 ，

设与的夹角为 ，则在方向的投影，

，则；

故选：C.

7．=（    ）

A． B． C． D．2

【答案】D

【分析】根据降幂公式及变名的诱导公式进行化简.

【详解】.

故选：D.

8．已知函数，若存在实数，满足 ，且，， ，，则n的最小值为（    ）

A．4 B．5 C．6 D．7

【答案】B

【分析】由的性质，根据的特点以及题意求解.

【详解】由题意，n要尽可能地小，则等式中，每一项要尽可能地大，

，显然 时，n最小，

，即 ，

此时不妨取 ，满足题意；

故选：B.

二、多选题

9．如图，正方形ABCD的边长为3，点E是线段AB的靠近点B的一个三等分点，若边DC上存在点F，使得成立，则下列选项中符合题意的的值有（    ）

A． B．1 C．5 D．0

【答案】ABD

【分析】以为基底，设，用基底表示出，根据x的范围可求得的范围即可.

【详解】记，设，

由题知，，

又因为，

所以，

因为，所以，即.

故选：ABD.

10．已知是函数的一个周期，则的取值可能为（    ）

A．﹣2 B．1 C． D．3

【答案】ABD

【分析】根据三角恒等变换公式进行化简，根据周期函数定义求出的表达式即可求解．

【详解】依题意得，

由周期函数定义得：

，即：

即：

解得：

又

或

故选：ABD．

11．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，内角A的平分线交BC于点D，AD=1，，以下结论正确的是（    ）

A． B． C． D．的面积为

【答案】BCD

【分析】首先根据题意结合余弦定理可得，并根据二倍角公式得到，依次计算的值，根据面积公式，分析判断选项C和D.

【详解】在中，

∵，则，整理得，所以，

由二倍角公式得，解得，

在中，则，故选项A错误；

在中，则，故选项B正确；

由题意可知：，即，

由，解得，故选项C正确；

在中，

∵，则，

∴，故选项D正确.

故选：BCD.

12．如图甲所示，古代中国的太极八卦图是以同圆内的圆心为界，画出相等的两个阴阳鱼，阳鱼的头部有眼，阴鱼的头部有个阳殿，表示万物都在相互转化，互相涉透，阴中有阳，阳中有阴，阴阳相合，相生相克，蕴含现代哲学中的矛盾对立统一规律，其平面图形记为图乙中的正八边形，其中，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABC

【分析】分别以所在的直线为轴和轴，建立的平面直角坐标系，作，结合向量的坐标运算，逐项判定，即可求解.

【详解】由题意，分别以所在的直线为轴和轴，建立如图所示的平面直角坐标系，

因为正八边形，所以

，

作，则，

因为，所以，所以，

同理可得其余各点坐标，，，，，，

对于A中，，故A正确；

对于B中，，故B正确；

对于C中，，，，

所以，故C正确；

对于D中，，，，

，故D不正确.

故选：ABC.

三、填空题

13．若复数为纯虚数，则=___________.

【答案】

【分析】由复数除法法则化简后求得，再由复数模的定义求解．

【详解】为纯虚数，则且，∴，

，

故答案为：．

14．圆锥侧面展开图扇形的圆心角为60°，底面圆的半径为6，则圆锥的侧面积为______．

【答案】

【分析】运用扇形的弧长公式以及圆锥的侧面积公式计算即可求解.

【详解】设圆锥的底面周长为，母线长为，则，

因为圆锥侧面展开图扇形的圆心角为，

所以，解得，

则圆锥的侧面积为，

故答案为：.

四、双空题

15．已知，是单位向量，且，设向量，当时，______；当时，的最小值为______．

【答案】     /     /

【分析】求出，根据夹角公式可得，将表示为关于的二次函数，求出最小值即可.

【详解】当时，，，即，

，

因为，所以；

当时，，

则，

当时，的最小值为，

故答案为：，.

五、填空题

16．在中，若AC=2，，，点D为AB边上的动点，有如下结论：

①不存在点D使得为等边三角形           ②存在点D使得

③存在点D使得             ④存在点D使得CD=1

上述结论中正确的有______

【答案】②③

【分析】运用三角形的正弦定理和三角形的内角和定理、边角关系，结合正弦函数的性质，对选项一一判断，即可得到结论．

【详解】若△BCD为边长为x的等边三角形，可得

＝解得x＝＜2，

满足AC＞CD，所以存在点D使得为等边三角形，则①不正确；

因为cos∠CDA＝＜＝cos60°，且0°＜∠CDA＜180°，

可得∠CDA＞B，所以AB上存在点D，则②正确；

由，可得＝＝，

可得，即有∠BCD＝45°＜∠BCA＝75°，则③正确；

若CD＝1，在中可得＝，

可得sin∠ADC＝＝＞1，∠ADC不存在，则④不正确．

故答案为：②③．

六、解答题

17．某广场内设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的，如图所示，若被截正方体的棱长是60cm．

(1)求石凳的体积；

(2)为了美观工人准备将石凳的表面进行粉刷，已知每平方米造价50元，请问粉刷一个石凳需要多少钱？

【答案】(1)

(2)元

【分析】（1）计算出正方体的体积减去8个小正三棱锥的体积，得到答案；

（2）计算出石凳的表面积，从而求出粉刷一个石凳的钱数.

【详解】（1）正方体的体积为，

石凳的体积为正方体的体积减去8个正三棱锥的体积，其中一个小正三棱锥的三条侧棱边长为，

故一个小正三棱锥的体积为，

故石凳的体积为；

（2）石凳的表面由6个正方形和8个正三角形组成，其中正方形和正三角形的边长均为，

则石凳的表面积为，

则粉刷一个石凳需要元.

18．角A，B，C对边分别为,向量，，且．

(1)求角C；

(2)若的周长为，且外接圆半径为2，求的面积．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）运用数量积以及三角函数和差公式，正弦定理，余弦定理求解；

（2）运用正弦定理余弦定理求出 ，再利用面积公式计算.

【详解】（1）由 得： ，由余弦定理知： ，

， ，

由正弦定理得：  ，即 ，

，， ；

（2）由正弦定理得 ，即 ，

由余弦定理得 ，

，；

即 .

19．已知点，，，

(1)若，且，求x的值

(2)设函数，求的单调递增区间．

(3)对于（2）中的函数，，，求

【答案】(1)或

(2)增区间为

(3)

【分析】（1）求得，，根据模长坐标公式并化简得到，结合即可求解；

（2）化简得到，令，即可得到增区间；

（3）代入可得，由得到，从而得到，而，利用差角正弦公式即可求解.

【详解】（1），，

因为，所以，

即，即，

所以，又，所以或.

（2）

，

令，

解得，

所以的单调递增区间为.

（3），即，

因为，所以，所以，

所以

.

20．已知函数的部分图像如图所示．，，．

(1)求的解析式；

(2)将的图像先向右平移个单位，再将图像上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），所得到的图像对应的函数为，若对于恒成立，求实数m取值范围．

【答案】(1)．

(2)

【分析】（1）根据图像求出函数的周期，进而求出ω，再由特殊点以及求出φ，然后由求出A，从而得出答案；

（2）利用图像的平移伸缩变换求出，再根据三角函数的性质即可求解.

【详解】（1）由图像可得：，故，且，解得，

可得，

∵的图像过点，则，

可得，且，则，

∴，解得，

可得，

又∵的图像过点，则，

解得，

故.

（2）将的图像先向右平移个单位，得到；

再将图像上的所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到，

故，

∵，则，

∴，可得，

故在上的最大值为2，最小值为.

因为对于恒成立，所以,可得恒成立,

,可得，所以.

21．目前，中国已经建成全球最大的5G网络，无论是大山深处还是广袤平原，处处都能见到5G基站的身影.如图，某同学在一条水平公路上观测对面山顶上的一座5G基站AB，已知基站高，该同学眼高（眼睛到地面的距离），该同学在初始位置C处（眼睛所在位置）测得基站底部B的仰角为37°，测得基站顶场A的仰角为45°.

(1)求出山高BE（结果保留一位小数）；

(2)如图，当该同学面向基站AB前行时（保持在同一铅垂面内），记该同学所在位置M处（眼睛所在位置）到基站AB所在直线的距离，且记在M处观测基站底部B的仰角为，观测基站顶端A的仰角为.试问当x多大时，观测基站的视角最大？

参考数据：，，，.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）在中，利用正弦定理求出，再在中，求出即可；

（2）易得，分别在在和在中，求出，再根据两角和的正切公式结合基本不等式求出取得最大值时，的值，再根据正切函数的单调性即可得解.

【详解】（1）由题意可知，，

在中，，

所以，

在中，，

所以出山高；

（2）由题意知，且，

则，

在中，，

在中，，

则

，

当且仅当，即时，取等号，

所以取得最大值时，，

又因为，所以此时最大，

所以当时，最大.

22．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，请在①；②；③这三个条件中任选一个，完成下列问题．

(1)求角C的大小；

(2)若b=2，当取最大值时，求外接圆半径和内切圆半径的乘积的值；

(3)若为锐角三角形，，求面积的取值范围．

【答案】(1)条件选择见解析，

(2)

(3)

【分析】（1）利用正弦定理、余弦定理、三角恒等变换的知识化简已知条件，求得的大小.

（2）先求得，然后求得外接圆半径和内切圆半径，进而求得正确答案.

（3）先求得的取值范围，然后根据三角形的面积公式求得面积的取值范围．

【详解】（1）若选①，

由正弦定理得，

由于，所以，

所以，则为锐角，且.

若选②，

整理得，则，

则为锐角，且.

若选③，

则，

，

由于，所以，

则为锐角，且.

（2）由（1）得，

，

由于，所以当时取得最大值为，

此时，，则，

所以外接圆半径为，

设内切圆半径为，

则，解得，

所以外接圆半径和内切圆半径的乘积为.

（3）由（1）得，

由正弦定理得，

由于三角形是锐角三角形，所以，所以，

所以，所以，

，

所以.