2022-2023学年北京市北京师范大学第二附属中学高一下学期期中考试数学试题含解析

2022-2023学年北京市北京师范大学第二附属中学高一下学期期中考试数学试题

一、单选题

1．角化为弧度等于（ 　  　）．

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】分析：根据与的关系，写出对应的弧度，之后再做乘法运算，求出结果即可.

详解：因为，所以，所以，故选C.

点睛：该题考查的是有关角度制与弧度制的转换关系，解决该题的关键是掌握，从而求得结果.

2．已知向量，，则下列结论正确的是（    ）

A． B．// C． D．

【答案】C

【解析】采用排除法，根据向量平行，垂直以及数量积的坐标运算，可得结果.

【详解】设，

因为向量，，

则，解得，

所以，故

所以，

所以，

故选：C.

【点睛】本题主要考查向量的坐标运算，属基础题.

3．已知向量， ，则“”是“与共线”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【详解】当时，， 则与共线；

当与共线时，， ，

所以 “”是“与共线”的充分不必要条件；

故选:A.

二、多选题

4．已知，那么下列命题中成立的是（    ）

A．若、是第一象限角，则

B．若、是第二象限角，则

C．若、是第二象限角，则

D．若、是第四象限角，则

【答案】CD

【分析】根据选项中角度所处象限，结合三角函数线即可比较大小.

【详解】如图(1)，α、β的终边分别为OP、OQ，，

此时，故A错；

如图(2)，OP、OQ分别为角α、β的终边，，

∴，故B错；

如图(2)，角α，β的终边分别为OP、OQ，，

∴，故C正确；

如图（4），角α，β的终边分别为OP、OQ，

∴，故D正确.

故选：CD.

三、单选题

5．已知函数，若对任意的实数，总有，则的最小值是（    ）

A．2 B．4 C． D．

【答案】A

【分析】由题知，，先得到所满足的条件，然后再求的最小值.

【详解】由题意，若对任意的实数，总有，则，故由，解得，于是，当时，的最小值为.

故选：A

6．设定义在上的函数，则（    ）

A．在区间上是增函数 B．在区间上是减函数

C．在区间上是增函数 D．在区间上是减函数

【答案】A

【分析】根据每个选项中的范围，得到的范围，利用正弦函数的图象得到函数的单调性，再根据函数的符号去绝对值可得的单调性.

【详解】对于A，当时，，函数为减函数，所以为增函数，故A正确；

对于B，当时，，函数先递减后递增，所以先递增后递减，故B不正确；

对于C，当时，，函数先递增后递减 ，所以先递增后递减，故C不正确；

对于D，当时，，函数为递减函数，所以为递减函数，当时，，函数为递减函数，所以为增函数，故D不正确.

故选：A

【点睛】关键点点睛：熟练掌握正弦函数的单调性是本题解题关键.

7．设是第二象限角，则的终边在（    ）

A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限

C．第一、三、四象限 D．第一、二、四象限

【答案】D

【分析】由 ，得到，对k赋值判断.

【详解】解：因为是第二象限角，

所以 ，

，

当 时， ，在第一象限；

当 时， ，在第二象限；

当 时， ，在第四象限；

故选：D

8．若,则

A． B．2 C． D．

【答案】B

【解析】将，两边平方，再利用“1”的代换可得，即，再分子分母同除以，得到求解.

【详解】，

，

则，

即，

，

解得.

故选：B

【点睛】本题主要考查了利用同角三角函数基本关系式化简求值，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

9．我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提出割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”，即通过圆内接正多边形细割圆，并使正多边形的面积无限接近圆的面积，进而来求得较为精确的圆周率.如果用圆的内接正边形逼近圆，算得圆周率的近似值记为，那么用圆的内接正边形逼近圆，算得圆周率的近似值加可表示成

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】设圆的半径为，由内接正边形的面积无限接近圆的面积可得：，由内接正边形的面积无限接近圆的面积可得：，问题得解.

【详解】设圆的半径为，将内接正边形分成个小三角形，

由内接正边形的面积无限接近圆的面积可得：

，整理得：，

此时，即：

同理，由内接正边形的面积无限接近圆的面积可得：

，整理得：

此时

所以

故选C

【点睛】本题主要考查了圆的面积公式及三角形面积公式的应用，还考查了正弦的二倍角公式，考查计算能力，属于中档题．

10．如图所示，边长为1的正方形的顶点，分别在边长为的正方形的边和上移动，则的最大值是（    ）

A．4 B． C． D．2

【答案】D

【分析】建立直角坐标系，设，求出、两点的坐标，利用平面向量数量积的坐标表示公式，结合同角三角函数基本关系、二倍角公式以及三角函数的性质即可求得最大值.

【详解】如图：以为原点，以所在的直线为轴，建立平面直角坐标系：

设，由于，故，，

如图，，

故，，

即，，

同理，，，即，

所以

，

当即时，有最大值，

故选：D

四、填空题

11．已知600°角的终边上有一点，则a的值为___________.

【答案】

【解析】根据任意角的三角函数的定义可得，即可求得的值.

【详解】，即.

故答案为：.

【点睛】本题考查任意角的三角函数的定义及其应用.

12．已知，，则，夹角的大小为_____________．

【答案】120°

【分析】根据向量的夹角公式计算求解即可.

【详解】设，夹角为，，

故答案为：120°.

13．若，，则 .

【答案】

【分析】将式子中的角变成，然后利用两角差的正切公式求解即可.

【详解】.

故答案为：

【点睛】本题主要考查两角和与差的正切公式，解题的关键是把要求的角转化成已知角的和与差，属于基础题.

14．若平面向量满足：；则的最小值是_________

【答案】

【详解】试题分析：因为，所以，，－8，所以

，即的最小值是．

【解析】不本题主要考查平面向量模的计算，数量积．

点评：简单题，涉及平面向量模的计算问题，往往要“化模为方”．

15．函数，若函数在区间内没有零点，则实数的取值范围是_____

【答案】

【分析】由三角恒等变换公式化简，再根据三角函数性质列式求解

【详解】，

时，，

无解，则

当时，得，解得，

当时，得，解得，

当时，得，得无解，

同理得取其他整数时无解，

综上，的取值范围是.

故答案为：

五、解答题

16．已知，与的夹角是.

(1)求的值及的值；

(2)当为何值时，？

【答案】(1)，；

(2).

【分析】（1）由定义求出数量积，再利用模长公式及向量数量积的运算律即得；

（2）由于，可得，利用向量的数量积的运算公式，即可求解．

【详解】（1）∵，与的夹角是，

∴，

；

（2）由题意，，

即，

解得，

即时，.

17．已知函数

(1)求的值；

(2)求的最大值和最小值，并写出取最值时x的值．

【答案】(1)

(2)，或，，，

【分析】（1）将代入函数解析式求解；

（2）由，利用二次函数的性质求解.

【详解】（1）解：；

（2），

因为，

所以当时，，

此时或

当时，，

此时，.

18．已知向量，.

（1）设，求的单调递增区间；

（2）若，向量与共线，且为第二象限角，求的值．

【答案】（1）的单调递增区间为（2）

【分析】（1）利用二倍角和辅助角公式将函数整理为，令，解出的范围即为所求的单调递增区间；（2）根据向量共线的坐标表示可求得，利用同角三角函数关系求得；根据数量积的坐标运算可求得结果.

【详解】（1）

由，得：，

的单调递减增区间为：，

（2），

与共线    ，即

是第二象限角    ，

又

【点睛】本题考查正弦型函数单调区间的求解、平面向量数量积的坐标运算，涉及到平面向量数量积运算、向量共线的坐标表示、同角三角函数关系、利用二倍角和辅助角公式化简三角函数等知识.

19．已知函数在区间上的最大值为6.

（1）求常数的值及函数图像的对称中心；

（2）作函数关于轴的对称图像得函数的图像，再把函数的图像向右平移个单位得函数的图像，求函数的单调减区间.

【答案】（1），对称中心为；（2）.

【分析】（1）化简可得，由最大值求得，令可求得对称中心；

（2）根据图像变换求得的解析式，再根据三角函数的性质即可求出单调递减区间.

【详解】（1），

当时，，

所以当时，取得最大值为，所以，

则，

令，则，

所以的对称中心为；

（2）和关于轴对称，，

把函数的图像向右平移个单位得，

令可得

故的单调减区间为.

20．如图，某市准备在道路的一侧修建一条运动比赛道，赛道的前一部分为曲线段，该曲线段是函数，时的图象，且图象的最高点为，赛道的中部分为长千米的直线跑道，且，赛道的后一部分是以为圆心的一段圆弧．

（1）求的值和的大小；

（2）若要在圆弧赛道所对应的扇形区域内建一个“矩形草坪”，矩形的一边在道路上，一个顶点在半径上，另外一个顶点在圆弧上，且，求当“矩形草坪”的面积取最大值时的值．

【答案】（1）， ；（2）.

【详解】试题分析：

（1）由题意可得，故，从而可得曲线段的解析式为，令x=0可得，根据，得,因此（2）结合题意可得当“矩形草坪”的面积最大时，点在弧上，由条件可得“矩形草坪”的面积为，然后根据的范围可得当时，取得最大值．

试题解析：

(1)由条件得.

∴.

∴曲线段的解析式为.

当时，.

又，

∴,

∴.

(2)由(1)，可知.

又易知当“矩形草坪”的面积最大时，点在弧上，故.

设,,“矩形草坪”的面积为

.

∵，

∴,

故当，即时，取得最大值．

21．如果函数的定义域为R，对于定义域内的任意x，存在实数a使得成立，则称此函数具有“性质”．

(1)判断函数是否具有“性质”，若具有“性质”，求出所有a的值；若不具有“性质”，请说明理由；

(2)设函数具有“性质”，且当时，．若与交点个数为2023个，求m的值．

【答案】(1)具有"性质"，

(2)

【分析】（1）根据题意，直接验证函数是否有性质即可得到结果；

（2）根据题意，由“性质”可得是以2为周期的周期函数，然后分奇数，偶数讨论，即可得到是周期为1的函数，最后分讨论，即可得到结果.

【详解】（1）由得，

根据诱导公式得

所以具有"性质"，其中．

（2）∵具有"性质"，∴，．

∴，

从而是以2为周期的周期函数．

设，则，所以

再设，

当时，，则，所以

；

当时，，则，所以

.

∴对于，都有．

而，所以．

∴是周期为1的函数．

①当时，要使得与有2023个交点，

只要与在上有2022个交点，而在有一个交点即可．

∴过，从而得；

②当时，同理可得；

③当时，不合题意．

综上所述，．

【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于理解“性质”，类似于函数的周期性，解答第二问的关键在于得到函数的对称性与周期性，即可得到结果.