2022-2023学年北京市第八中学高一下学期期中练习数学试题含解析

2022-2023学年北京市第八中学高一下学期期中练习数学试题

一、单选题

1．已知是第三象限角，那么是（    ）

A．第二象限角 B．第三象限角

C．第二或第三象限角 D．第二或第四象限角

【答案】D

【分析】先写出的范围，再计算出的范围，分是奇数和偶数讨论即可求解.

【详解】因为是第三象限角，所以，

则，

当时，，此时是第二象限角，

当时，，

即，此时是第四象限角，

综上所述：是第三象限角，是第二或第四象限角，

故选：D.

2．若点在角的终边上，则的值为

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】试题分析：因为，所以，故选D．

【解析】任意角的三角函数值．

3．sin1.5，cos1.5，tan1.5的大小关系为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据角的范围，得到相应三角函数值的范围求解.

【详解】解：因为，

所以，

所以，

故选：A

4．《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章涉及到了弧田面积的计算问题，如图所示，弧田是由弧AB和弦AB所围成的图中阴影部分，若弧田所在圆的半径为2，圆心角为，则此弧田的面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】过点作，垂足为，求得，，分别求得扇形的面积和的面积，结合，即可求解.

【详解】解：由弧田所在圆的半径为2，圆心角为，

如图所示，过点作，垂足为，

可得，

可得扇形的面积为，的面积为 ，

所以此弧田的面积为.

故选：A.

5．已知tana=2，则= （    ）

A．2 B． C．-2 D．

【答案】B

【解析】利用二倍角公式，转化为，再利用商数关系求解.

【详解】因为tana=2，

所以，

，

，

故选：B

6．若向量满足：则

A．2 B． C．1 D．

【答案】B

【详解】试题分析：由题意易知：即，，即.

故选B.

【解析】向量的数量积的应用.

7．已知中，角，，所对的边分别是，，，若，且，那么是（    ）

A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形

【答案】B

【分析】将化简并结合余弦定理可得的值，再对结合正、余弦定理化简可得边长关系，进行判定三角形形状.

【详解】由，得，

整理得，则，

因为，所以，

又由及正弦定理，得，化简得，

所以为等边三角形，

故选：B

8．若△ABC为钝角三角形，且，，则边c的长度可以为（    ）

A．2.5 B．3 C．4 D．

【答案】C

【分析】由于钝角三角形较短两边平方和小于较长边的平方，分类讨论为最长边和为最长边两种情况，即可得出结论.

【详解】因为钝角三角形较短两边平方和小于较长边的平方，

因此有两种情况：

若为最长边，由，

可得，又，

所以，可得C正确；

若为最长边，由，

可得，又，

所以，此时没有选项符合.

故选：C

9．2022年北京冬奥会拉开帷幕，动作观赏性强､视觉冲击力大的自由式滑雪大跳台是目前“冬奥大家族”中最年轻的项目.首钢滑雪大跳台实现了竞赛场馆与工业遗产再利用､城市更新的完整结合，见证了中外运动员在大跳台“冲天一跳”的精彩表现和北京这座世界上独一无二“双奥之城”的无上荣光.如图为大跳台示意图，为测量大跳台最高处点的高度，小王在场馆内的两点测得的仰角分别为（单位：），且，则大跳台最高高度（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】分别在和 中，求得OB，OA，然后在中，利用余弦定理求解.

【详解】解：在中，，

在中，，

在中，由余弦定理得，

即，

所以，

解得，

故选：C

10．已知函数的部分图象如图所示，则（    ）

A．函数的最小正周期是

B．函数的图象关于直线对称

C．函数在区间上单调递减

D．函数在区间上的最大值是

【答案】D

【分析】通过函数图象先求解周期，从而可得值，代入最高点即可求解出值，从而得函数解析式，再利用整体法计算函数的对称轴，函数的单调递减区间以及在区间上的最大值，判断每个选项.

【详解】由图可知，，得，故A错误；

所以，因为 ，

所以，得，

因为，所以，所以，

则，

令，得，

所以函数的对称轴为，

所以不是函数的对称轴，B错误；

，

得，

所以函数的单调递减区间为，

所以函数在上单调递减，C错误；

当时，，

所以当时，函数的最大值为，故D正确.

故选：D

二、填空题

11．___________

【答案】

【分析】用辅助角公式求解即可.

【详解】.

故答案为：.

12．已知向量，，则夹角的余弦值为_________．

【答案】

【分析】根据条件求出后，可得两向量的数量积与模，然后求夹角的余弦值

【详解】，，故

13．已知，，则__________．

【答案】

【分析】方法一：将两式平方相加即可解出．

【详解】［方法一］：【最优解】

两式两边平方相加得，．

［方法二］： 利用方程思想直接解出

，两式两边平方相加得，则．

又或，所以．

［方法三］： 诱导公式＋二倍角公式

由，可得，则或．

若，代入得，即．

若，代入得，与题设矛盾．

综上所述，．

［方法四］：平方关系＋诱导公式

由，得．

又，，即，则．从而．

［方法五］：和差化积公式的应用

由已知得

，则或．

若，则，即．

当k为偶数时，，由，得，又，所以．

当k为奇数时，，得，这与已知矛盾．

若，则．则，得，这与已知矛盾．

综上所述，．

【整体点评】方法一：结合两角和的正弦公式，将两式两边平方相加解出，是该题的最优解；

方法二：通过平方关系利用方程思想直接求出四个三角函数值，进而解出；

方法三：利用诱导公式寻求角度之间的关系，从而解出；

方法四：基本原理同方法三，只是寻找角度关系的方式不同；

方法五：将两式相乘，利用和差化积公式找出角度关系，再一一验证即可解出，该法稍显麻烦．

14．的值为____________.

【答案】2

【分析】由变形求解.

【详解】解：因为，

所以，

所以，

，

，

，

故答案为：2

15．已知，，，若关于α的方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是____________.

【答案】

【分析】由，结合两角和的正弦公式得到，再根据，，得到，将，转化为，利用数形结合法求解.

【详解】解： 由，得，

所以，即，

因为，，

所以或，

解得或（舍去），

则，即为，

即，即，

所以，

因为，，

所以，则，

在同一坐标系中作出的图象，

因为关于α的方程有两个不相等的实数根，

由图象知：.

三、解答题

16．已知.

（1）化简，并求的值；

（2）若，求的值；

（3）若，，求的值.

【答案】（1），；（2）；（3）.

【分析】（1）利用诱导公式化简表达式，并求得的值.

（2）利用齐次式的方法，将的表达式化为只含的形式，由此求得的值.

（3）利用同角三角函数的基本关系式，先求得的值，根据的符号，求得的值.

【详解】（1）由，

所以；

（2）；

（3）由得，，

又，所以，所以，

又，

所以.

【点睛】本小题主要考查利用诱导公式进行化简，考查同角三角函数的基本关系式，考查齐次方程的运用，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.

17．已知，，，，求的值.

【答案】

【分析】根据题意，分别求得和，结合，即可求解.

【详解】由且，可得，

又由且，可得，

因为，可得，

又因为

.

故答案为：.

18．如图，在四边形中，，，，且.

（Ⅰ）用表示；

（Ⅱ）点在线段上，且，求的值.

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

【分析】Ⅰ直接利用向量的线性运算即可．

Ⅱ以O为坐标原点，OA所在的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系可得代入各值即可．

【详解】（Ⅰ）因为 ，

所以  .因为 ，

所以

（Ⅱ）因为 ，

所以 .因为 ，

所以点共线.

因为，

所以.

以为坐标原点，所在的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系.

因为 ，，，

所以 .

所以 ，.

因为 点在线段上，且，

所以

所以 .

因为 ，

所以 .

【点睛】本题考查了向量的线性运算，向量夹角的计算，属于中档题．

19．在△ABC中，a＝3，，B＝2A．

（Ⅰ）求cosA的值；

（Ⅱ）试比较∠B与∠C的大小．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）∠B＜∠C

【分析】（Ⅰ）由已知利用正弦定理，二倍角的正弦函数公式即可求得cosA的值．（Ⅱ）利用同角三角函数基本关系式可求sinA，利用二倍角公式可求cosB，进而可求sinB的值，根据三角形内角和定理，两角和的余弦函数公式可求cosC的值，由于cosB＞cosC，根据余弦函数的图象和性质可求∠B＜∠C．

【详解】（Ⅰ）∵a＝3，，B＝2A．

∴由正弦定理可得：，

∴cosA；

（Ⅱ）∵A∈（0，π），可得：sinA，∵B＝2A，

∴cosB＝cos2A＝2cos2A﹣1，∴sinB，

∵A+B+C＝π，∴cosC＝﹣cos（A+B）＝sinAsinB﹣cosAcosB，∴cosB＞cosC，

又∵函数y＝cosx在（0，π）上单调递减，且B，C∈（0，π），∴∠B＜∠C

【点睛】本题主要考查了正弦定理，二倍角的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式，三角形内角和定理，两角和的余弦函数公式，余弦函数的图象和性质在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．

20．已知数的相邻两对称轴间的距离为.

(1)求的解析式；

(2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把各点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求函数的值域；

(3)对于第（2）问中的函数，记方程在上的根从小到大依次为，若，试求与的值.

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）先整理化简得，利用周期求得，即可得到；

（2）利用图像变换得到，用换元法求出函数的值域；

（3）由方程，得到，借助于正弦函数的图象，求出与的值.

【详解】（1）由题意，函数

因为函数图象的相邻两对称轴间的距离为，所以，可得.

故

（2）将函数的图象向右平移个单位长度，可得的图象.

再把横坐标缩小为原来的，得到函数的图象.

当时，，

当时，函数取得最小值，最小值为，

当时，函数取得最大值，最大值为，

故函数的值域.

（3）由方程，即，即，

因为，可得，

设，其中，即，结合正弦函数的图象，

可得方程在区间有5个解，即，  

其中，

即

解得

所以.

综上，

【点睛】（1）三角函数问题通常需要把它化为“一角一名一次”的结构，借助于或的性质解题；

（2）求y=Asin(ωx+φ)+B的值域通常用换元法；

21．已知函数（，，）的部分图像如图所示，点为与轴的交点，点分别为的最高点和最低点，若将其图像向右平移个单位后得到函数的图像，而函数的最小正周期为4，且在处取得最小值．

（1）求参数和的值；

（2）若点为函数的图像上的动点，当点在之间（包含）运动时，恒成立，求实数的取值范围；

（3）若，是函数图像上的两点，满足与共线，且的中点不在函数的图像上，求的值．

【答案】（1），；（2）；（3）．

【分析】（1）根据题意求出表达式，根据题中相关条件即可求得和的值；（2）利用向量基底法的运算法则得出，将恒成立转化为，利用数形结合的手段求出其最小值代入计算即可；（3）由与共线得出，结合表达式计算得到或，，代入检验舍去，的情况，再代入所求式计算即可.

【详解】（1）依题意得，，

∵函数的最小正周期为4，

∴，则．

又∵函数在处取得最小值，

∴，，

即，，

又∵，∴取，得．

（2），

由图像易知，当点与点或点重合时，取到最大值，此时，取到最小值，∵恒成立，∴，解得．

（3）由与共线易得，的中点在轴上，

∴，即，

则或，，

化简得或，．当时，的中点，在函数的图像上，不符合题意，舍去，

∴，，

则.