2022-2023学年北京市第十四中学高一下学期期中考试数学试题含解析

这是一份2022-2023学年北京市第十四中学高一下学期期中考试数学试题含解析，共14页。试卷主要包含了单选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年北京市第十四中学高一下学期期中考试数学试题 一、单选题1．若角的终边经过点，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由正切三角函数的定义可得答案.【详解】因为角的终边经过点，所以.故选：C.2．（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用两角和差余弦公式直接求解即可.【详解】.故选：B.3．若，则点位于（    ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【分析】由角在第二象限知，余弦小于零，正弦大于零，因此对点来说横坐标小于零纵坐标大于零，故可以确定点位于第二象限【详解】 ∴点在第二象限.故选:.【点睛】本题考查三角函数值的符号,难度容易.4．若正方形的边长为，则（    ）A．8 B． C．4 D．【答案】A【分析】将向量用表示，再根据数量积运算律即可得解.【详解】.故选：A.5．设，且，则（    ）A．或 B．或 C．或 D．或【答案】A【解析】由已知角及范围，结合特殊角的三角函数值即可求解.【详解】因为，且，则或.故选：A【点睛】本小题主要考查特殊角的三角函数值，属于基础题.6．若圆的半径为6cm，则圆心角为的扇形面积是（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】直接利用扇形面积计算公式即可得出．【详解】因为圆的半径为6cm，圆心角为，所以扇形的面积为： ，故选：B.7．如果平面向量，.那么下列结论中正确的是（    ）A． B．C．与的夹角为 D．在上的投影向量的模为【答案】D【分析】由向量模长的坐标公式、向量共线的坐标公式、向量夹角的坐标公式以及向量的投影求解即可.【详解】对于A，，则，A错误；对于B，，则不平行，B错误；对于C，，又，则，C错误；对于D，在上的投影向量的模为，D正确.故选：D.8．下列关于函数的说法错误的是（    ）A．最小正周期是B．函数的定义域为C．图象关于点成中心对称D．在区间上单调递增【答案】C【分析】根据正切函数的周期公式、定义域、对称中心、单调性可判断出答案.【详解】由正切函数的最小正周期公式可得函数的最小正周期为，故A正确；由，，得，，所以函数的定义域为，故B正确；由，，得，，，令，得，故函数的图象不关于点成中心对称，故C不正确；当时，，因为在上单调递增，所以函数在区间上单调递增，故D正确.故选：C9．如图，AB为半圆的直径，点C为的中点，点M为线段AB上的一点（含端点A，B），若，则的取值范围是（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据题意可得出，然后根据向量的运算得出，从而可求出答案.【详解】因为点C为的中点，，所以，所以，因为点M为线段AB上的一点，所以，所以，所以的取值范围是,故选：D.10．如图所示，一个大风车的半径为，每旋转一周，最低点离地面，若风车翼片从最低点按逆时针方向开始旋转，则该翼片的端点离地面的距离与时间之间的函数关系是A． B．C． D．【答案】D【分析】由题意得出的最大值和最小值，以及最小正周期，可求出、、的值，再将点代入函数解析式求出的值，由此可得出与之间的函数关系式.【详解】由题意可得，，，，，，，当时，，得，，可取，所以，故选D.【点睛】本题考查函数的解析式，基本步骤如下：（1）求、：，；（2）求：根据题中信息得出最小正周期，可得出；（3）求初相：将对称中心点、最高点或最低点代入函数解析式可求出的值. 二、填空题11． =_________________．【答案】【分析】利用诱导公式，即可求解.【详解】.故答案为： 三、双空题12．已知向量，，在正方形网格中的位置如图所示.若网格纸上小正方形的边长为1，则______；______.【答案】          【分析】建立平面直角坐标系，利用坐标法计算可得.【详解】如图建立平面直角坐标系，所以，，，所以，，.故答案为：； 四、填空题13．已知，，，则与的夹角为______.【答案】【分析】根据向量的数量积概念及运算律，即可求出结果.【详解】，所以，所以.又，所以.故答案为： 五、双空题14．已知函数，那么函数的最小正周期是_____：若函数在上具有单调性，且，则________.【答案】          【解析】（1）利用周期公式求解即可.（2）对代入化简可求出的正切值，写出表达式，根据范围确定的值.【详解】（1）（2）由可得，利用诱导公式化简可得，展开得，，又，【点睛】求三角函数的解析式时，由即可求出；确定时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标，则令或)，即可求出，否则需要代入点的坐标，利用一些已知点的坐标代入解析式，再结合函数的性质解出和，若对的符号或对的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求. 六、填空题15．正的边长为，中心为点，过的动直线与边、分别相交于点、，，，，，给出下列四个结论：①；②若，则；③不是定值，与直线的位置有关；④的最小值为.其中所有正确结论的序号是______.【答案】①④【分析】对于①：根据等边三角形得性质结合平面向量得线性运算可得，，运算判断；对于②：根据题意可得，代入结合数量积的定义和运算律处理运算；对于③：根据三点共线结论可判断③；利用③中的结论以及平面向量数量积的运算性质、基本不等式求出的最小值，可判断④.【详解】因为为的中点，则，因为为正的中心，则，①正确；若，则，，所以，，②错误；因为、、三点共线，设，即，所以，，因为，因为、不共线，则，所以，，所以，，③错误；因为过的动直线与边、分别相交于点、，，，所以，，，由基本不等式可得，可得，当且仅当时，等号成立，，当且仅当时，等号成立，故的最小值为，④正确.故答案为：①④. 七、解答题16．已知.(1)化简；(2)若是第三象限角，且，求的值.【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用诱导公式化简即可；（2）先利用诱导公式求出，再根据平方关系求出即可得解.【详解】（1）；（2），则,因为是第三象限角，所以，所以.17．已知，且(1)求的值；(2)求的值.【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据同角三角函数平方和商数关系直接求解即可；（2）利用二倍角余弦公式和两角和差的正弦公式直接求解即可.【详解】（1），，，.（2），，.18．已知向量，.(1)求向量，的夹角的余弦值；(2)求；(3)当为何值时，与平行？平行时它们是同向还是反向？【答案】(1)(2)(3)，反向 【分析】（1）根据数量积的坐标表示求出，，，再由夹角公式计算可得；（2）求出的坐标，即可求出其模；（3）求出的坐标表示，再利用共线向量的坐标表示求解作答.【详解】（1）因为，，所以，，，所以（2）因为，，所以，所以（3）依题意，，由（1）知，由，解得，于是当时，与共线，且，即有与方向相反，所以当时，与共线，并且它们反向共线.19．已知.(1)求的周期和单调递增区间；(2)若，求的最大值和最小值.【答案】(1)，单调递增区间为(2)最大值为，最小值为 【分析】（1）对化简得，则，，，解出即可；（2）由范围有，结合正弦函数的最值即可得到答案.【详解】（1）依题意得：，则，由，，得，所以的单调递增区间为．（2）由（1）知，，当时，，则当，即时，，当，即时，，所以在时的最大值和最小值分别为：，．20．如图所示，B，C两点是函数图象上相邻的两个最高点，且B点的横坐标为，点为函数图象与x轴的一个交点．（I）求的值；（II）函数的图像可以看作由的图像如何变换得到；（III）若BD⊥CD，求A的值．【答案】（I），；（II）见解析；（III）.【分析】（I）根据图象可得周期及最高点的横坐标，可求的值.（II）根据两个解析式的特征可得两者之间的平移关系.（III）根据可得关于的方程，求解后可得的值.【详解】（I）由图象可得，故，故.又最高点的横坐标为，故，解得，而，故.（II）由（I）得，该函数的图象可以由先保持纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到的图象，再把该函数的图象向左平移单位，从而可得的图象.（III）由题设可得，故，，因为，故即，故.21．定义向量的“相伴函数”为，函数的“相伴向量”为，其中O为坐标原点，记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为S．（I）设函数，求证：；（II）记向量的相伴函数为，当且时，求的值；（III）将（I）中函数的图像向右平移个单位长度，再把横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）得到的图像．已知，问在的图像上是否存在一点，使得．若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由．【答案】（I）证明见解析；（II）；（III）存在，.【分析】（I）利用正弦的和角公式展开，再结合定义即可证明；（II）由题知，进而根据题意得，，解方程即可得答案；（III）由三角平移变换得，再假设存在，并设，进而得方程，进而分析得当且仅当是时等号成立，即可得答案.【详解】解：（I）因为，所以根据“相伴函数”与“相伴向量”的定义得是“相伴向量”的“相伴函数”，因为记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为S．所以（II）因为向量的相伴函数为，所以，因为当且，所以，，联立方程解得（III）由函数图像向右平移得，再把横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）得到的图像，所以假设的图像上是否存在一点，使得，则设，因为，所以，所以，即，因为，所以，所以，另一方面，所以方程成立，当且仅当是时等号成立，此时，的图像上是否存在一点，使得.【点睛】本题考查三角函数图象的平移变换，正弦的和角公式，向量垂直的坐标表示等，考查运算求解能力，逻辑推理能力，是中档题.本题解题的关键在于根据题意，正确理解“相伴函数”与“相伴向量”的定义，结合三角函数的知识求解.