2022-2023学年北京市海淀区八一学校高一下学期中考试数学试题含解析

2022-2023学年北京市海淀区八一学校高一下学期中考试数学试题

一、单选题

1．在平面直角坐标系中，点位于第（    ）象限.

A．一 B．二 C．三 D．四

【答案】D

【分析】由钝角的正弦值大于0，再由诱导公式得，即可得到答案.

【详解】，

∴点位于第四象限．

故选：D．

【点睛】本题考查三角函数值的符号、诱导公式的应用，考查转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于基础题．

2．在中，“”是“”的(    )

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】根据正弦函数的性质和充分和必要条件的概念即可判断．

【详解】在中，，则或，

∴在中，“”是“”的必要不充分条件，

故选：B．

3．下列函数中最小正周期为，且为偶函数的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】化简并判断的奇偶性，判断A；利用图像可判断B；根据函数奇偶性判断C；根据函数的最小正周期可判断D.

【详解】对于A，为奇函数，不符合题意；

对于B，作出的图象如图：

可知函数最小正周期为，且为偶函数，符合题意；

对于C，为奇函数，不符合题意；

对于D，的最小正周期为，不符合题意，

故选：B

4．一个扇形的圆心角为150°，面积为，则该扇形半径为（    ）

A．4 B．1 C． D．2

【答案】D

【分析】利用扇形的面积公式：，即可求解.

【详解】圆心角为，设扇形的半径为，

，

解得.

故选：D

【点睛】本题考查了扇形的面积公式，需熟记公式，属于基础题.

5．已知，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】利用同角三角函数的基本关系求解即可.

【详解】由，

得.

故选：A.

【点睛】本题主要考查了同角三角函数的基本关系.属于容易题.

6．将函数的图象向右平移个单位长度得到图象，则函数的解析式是（　　）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】由题意利用三角函数的图象变换原则，即可得出结论．

【详解】由题意，将函数的图象向右平移个单位长度，

可得.

故选C．

【点睛】本题主要考查三角函数的图像变换，熟记图像变换原则即可，属于常考题型.

7．已知向量，，，则向量与的夹角为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】将平方，求得，再根据向量的夹角公式即可求得答案.

【详解】由题意向量，，，

则，即，

所以，

故，而，

故，

故选：C

8．如图所示，一个大风车的半径为，每旋转一周，最低点离地面，若风车翼片从最低点按逆时针方向开始旋转，则该翼片的端点离地面的距离与时间之间的函数关系是

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】由题意得出的最大值和最小值，以及最小正周期，可求出、、的值，再将点代入函数解析式求出的值，由此可得出与之间的函数关系式.

【详解】由题意可得，，，，，，，当时，，得，

，可取，所以，故选D.

【点睛】本题考查函数的解析式，基本步骤如下：

（1）求、：，；

（2）求：根据题中信息得出最小正周期，可得出；

（3）求初相：将对称中心点、最高点或最低点代入函数解析式可求出的值.

9．在中， ，，为线段的三等分点，则＝(      )

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据题意得出⊥，建立平面直角坐标系，表示出、，求出数量积的值．

【详解】中，||＝||，

∴22，

∴0，

∴⊥，

建立如图所示的平面直角坐标系，

由E，F为BC边的三等分点，

则A（0，0），B（0，4），C（2，0），E（，），F（，），

∴（，），（，），

∴+．

故选：C

10．已知动点，，O为坐标原点，则当时，下列说法正确的是（    ）

A．有最小值1 B．有最小值，且最小值小于1

C．恒成立 D．存在，使得

【答案】A

【分析】根据题意，由平面向量的数量积运算，结合三角函数的性质，代入计算即可得到结果.

【详解】由题意知，当时，

，

因为函数为偶函数，所以只考虑的情形即可，

又因为，所以，

即有最小值1，所以A正确，B错误；

又因为，

当时，，所以C错误；

又因为，，但与不可能同时为，

而，所以，所以D错误；

故选:A

二、填空题

11．______．

【答案】/0.5

【分析】用诱导公式变形后由两角和的正弦公式计算．

【详解】，

故答案为：．

12．已知角的终边与单位圆交于点，则________．

【答案】

【分析】根据题意，由条件可得，再由三角函数的定义即可得到结果.

【详解】由题意可得，，则，

由三角函数的定义可得.

故答案为：

13．若实数，满足方程组，则的一个值是________．

【答案】（答案不唯一）

【分析】结合题意利用同角三角函数的平方关系可求得，即可求得答案.

【详解】由可得，

故，即得，

故的一个值可以取，

故答案为：（答案不唯一）

14．已知，，，则________

【答案】

【分析】由诱导公式将化为，再由，根据两角差的正弦公式，即可求出结果.

【详解】因为，所以，，

又，，所以，，

所以，，所以

.

故答案为

【点睛】本题主要考查简单的三角恒等变换，熟记两角差的正弦公式以及诱导公式，即可求解，属于常考题型.

三、双空题

15．已知函数，任取，定义集合：

，点，满足

设，分别表示集合中元素的最大值和最小值，记， 则

（1）函数的最大值是______；

（2）函数的单调递增区间为______．

【答案】     2    

【解析】作出函数的图象，分当点P在A点时，当点P在曲线上从A接近B时，当点P在B点时，当点P在曲线上从B接近C时，当点P在C点时，当点P在曲线上从C接近D时，当点P在D点时，当点P在曲线上从D接近E时，分析的值和变化，从而得出的值和变化，可得答案.

【详解】函数，函数的最小正周期为T=4，点P(),Q()，如图所示：

当点P在A点时，点Q在曲线OAB上，,；

当点P在曲线上从A接近B时，减小，所以逐渐增大；

当点P在B点时，,，

当点P在曲线上从B接近C时，减小，所以逐渐减小；

当点P在C点时，，；

当点P在曲线上从C接近D时，增大，所以逐渐增大；

当点P在D点时，，；

当点P在曲线上从D接近E时，增大,逐渐减小，

依次类推，得函数的最大值是， 的单调递增区间为，

故答案为：2；.

【点睛】本题考查正弦函数的周期性，最值，单调性，关键在于理解题目所给的条件，属于较难题.

四、解答题

16．已知函数．

(1)当时，求函数的值；

(2)求不等式的解集．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用同角三角函数关系式化简可得，代入求值可得答案；

（2）利用（1）中结论，由不等式可得，结合正弦函数性质即可求得答案.

【详解】（1）由题意可得

，

故当时，；

（2）由可得，

即，故,

故不等式的解集为.

17．在平面直角坐标系中,已知三点为坐标原点，

(1)若是为直角的直角三角形，求的值；

(2)若四边形是平行四边形，求的最小值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用向量垂直解得即可；

（2）由题意得，求得的坐标，利用模长公式即可得出结论.

【详解】（1）由题意得，

若，则，即，

解得或，

当，则，不合题意；

当，则，符合题意；

综上所述：.

（2）设点的坐标为，可得，

若四边形是平行四边形，则，

所以，则，即，

可得，

则，

所以当时，取得最小值.

18．已知函数，．

(1)请化简为正弦型函数，并求函数的单调递增区间；

(2)求函数在区间上的最值，及取得最值时x的值．

(3)若，都有恒成立，求实数m的取值范围．

【答案】(1)；

(2)最大值为1，此时；最小值为，此时；

(3)

【分析】（1）根据三角函数的二倍角公式结合辅助角公式化简可得，结合正弦函数的单调性即可求得答案；

（2）根据时，确定的范围，结合正弦函数的性质即可求得答案；

（3）由，都有恒成立，可得，结合（2）的结论，即可求得答案.

【详解】（1）因为

,

令，则，

故函数的单调递增区间为.

（2）当时，，

由于在单调递减，在单调递增，

当，即时，,取得最小值；

当时，；

当，即时，取得最大值；

（3）若，都有恒成立，

即，

由（2）可知，

故，即实数m的取值范围为.

19．对于定义域R上的函数，如果存在非零常数T，对任意，都有成立，则称为“T函数”．

(1)设函数，判断是否为“T函数”，说明理由；

(2)若函数（且）的图象与函数的图象有公共点，证明：为“T函数”；

(3)若函数为“T函数”，求实数m的取值范围．

【答案】(1)不是“T函数”，理由见解析；

(2)证明见解析

(3)

【分析】（1）根据“T函数”的定义判断是否满足该定义，即可得结论；

（2）只需证明满足“T函数”定义，即可得结论；

（3）根据函数为“T函数”，可得恒成立，即可推得，即可求得答案.

【详解】（1）若函数是“T函数”，则对于，恒有,

即恒成立，故恒成立，

由于，上式不可能恒成立，

故不是“T函数”；

（2）证明：函数（且）的图象与函数的图象有公共点，显然，

即存在非零常数T，使得，

所以恒成立，

故为“T函数”.

（3）若函数是“T函数”，则,

即恒成立，

故恒成立，

即恒成立，

即有，

故，

即实数m的取值范围是.

【点睛】关键点睛：本题是给出函数的新定义，由此去判断求解问题，解答本题的关键就是要理解函数的新定义，明确其含义，依此去判断解决问题.