2022-2023学年北京市人大附中高一下学期期中模拟数学试题含解析

这是一份2022-2023学年北京市人大附中高一下学期期中模拟数学试题含解析，共21页。试卷主要包含了单选题，双空题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年北京市人大附中高一下学期期中模拟数学试题 一、单选题1．= （    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用诱导公式求解.【详解】，故选：A2．已知向量，，且，则    A． B． C． D．【答案】D【分析】根据可得出，解出m即可．【详解】；；．故选D．【点睛】本题考查向量坐标的概念，以及平行向量的坐标关系．3．若角的终边经过点，则下列三角函数值恒为正的是A． B． C． D．【答案】B【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，得出结论．【详解】角的终边经过点，，，，故，而，正负号不确定，，正负号不确定，故选B．【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．4． （   ）A． B． C． D．【答案】A【分析】将代数式变形为，然后再利用两角差的余弦公式可得出结果.【详解】由题意可得，故选A.【点睛】本题考查两角差的余弦公式的应用，解题的关键就是将系数化为特殊角的三角函数值，考查计算能力，属于基础题.5．如图，在矩形中，是的中点，若，则（    ）A． B．1 C． D．2【答案】C【分析】由向量的平行四边形法则以及三角形法则得出，进而得出.【详解】，∴，，∴，故选：C．6．若（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据反正切函数的值域及特殊角的三角函数值判断即可.【详解】因为，，，，又反正切函数的值域为，所以.故选：B7．已知，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】在所求代数式上除以，利用弦化切可求得所求代数式的值.【详解】因为，则，原式.故选：A.8．要得到函数的图象，只需将函数的图象（    ）A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度【答案】B【分析】根据三角函数平移变换原则直接判断即可.【详解】，只需将的图象向右平移个单位长度即可.故选：B.9．如图，在平面直角坐标系中，角以为始边，终边与单位圆相交于点.过点的圆的切线交轴于点，点的横坐标关于角的函数记为. 则下列关于函数的说法正确的A．的定义域是B．的图象的对称中心是C．的单调递增区间是D．对定义域内的均满足【答案】B【分析】由三角函数的定义可知：P（cosα，sinα），则以点P为切点的圆的切线方程为：xcosα+ysinα=1，得：函数f（α）=，结合三角函数的性质得解．【详解】由三角函数的定义可知：P（cosα，sinα），则以点P为切点的圆的切线方程为：xcosα+ysinα=1，由已知有cosα≠0，令y=0，得：x=，即函数f（α）=，由cosα≠0，得：α≠2kπ±，即函数f（α）的定义域为：±，k∈z}，故A错误，由复合函数的单调性可知：函数f（α）的增区间为：[2kπ，2k），（2k2kπ+π]，k∈Z，故C错误， f（α）,故D错误，函数f（α）的对称中心为（k，0），k∈Z，故B正确．故选B．【点睛】本题考查了三角函数的定义、圆的切线方程、及三角函数的性质，属中档题．10．已知单位向量､､，满足.若常数､､的取值集合为，则的最大值为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由条件，化简为，再根据条件判断和的取值，再根据，求的最大值.【详解】由条件得，和的取值只有三种可能，分别为､､，但二者不可能同时一个取，另一个取，∴的化简结果只有四种形式：､､､，而，故所有可能取值只有或两种结果，∴的最大值为.故选：B【点睛】关键点点睛：本题的关键是判断和的取值，从而利用，求的最大值. 二、双空题11．已知，则__________；__________．【答案】     11     【分析】根据向量数量积的坐标运算以及模长公式即可求值.【详解】,，所以，故答案为：11； 三、填空题12．已知向量,与向量垂直的单位向量的坐标是__________．【答案】或【分析】设向量为与向量垂直的单位向量，依题意可得且，得到方程组，解得即可.【详解】设向量为与向量垂直的单位向量，则且，所以，解得或，即或.故答案为：或 四、双空题13．已知扇形的半径为，扇形的弧长为，则该扇形的圆心角为__________，扇形的面积为__________．【答案】     3     54【分析】根据弧长以及扇形面积公式即可代入求值.【详解】设扇形的半径，弧长以,圆心角以及扇形面积分别为，且，故rad,.故答案为： 五、填空题14．计算的结果为__________．【答案】/【分析】利用诱导公式化简，结合特殊角的三角函数值可得结论.【详解】因为，，，所以，故答案为：. 六、双空题15．已知函数（Ⅰ）若函数没有零点，则实数的取值范围是________；（Ⅱ）称实数为函数的包容数，如果函数满足对任意，都存在，使得.在①； ②；③；④；⑤中，函数的包容数是________．（填出所有正确答案的序号）【答案】     Ⅰ或     Ⅱ②③【分析】Ⅰ考虑指数函数的值域和二次函数的单调性，即可得到所求范围；Ⅱ由题意可得的值域为的值域的子集，分别讨论五种情况，由指数函数的单调性和二次函数的单调性，求得值域，即可判断．【详解】Ⅰ函数，由时，，无零点；若时，，当时，，无零点；当时，由，即，由时，递增，可得，由，可得，无零点；综上可得或；Ⅱ由题意可得的值域为的值域的子集，当时，由时，；由时，，，，不满足题意；当时，由时，；由时，，，满足题意；当时，由时，；由时，，，满足题意；当时，由时，；由时，，，不满足题意；当时，由时，；由时，，，不满足题意．综上可得函数的包容数是②③．故答案为或；②③．【点睛】本题考查函数的零点问题和函数的任意性、存在性问题解法，注意运用转化思想和函数的单调性，考查化简运算能力，属于中档题． 七、解答题16．已知函数．(1)求的最小正周期T；(2)求的单调递增区间；(3)在给定的坐标系中用五点法作出函数的简图．【答案】(1)(2),．(3)见解析 【分析】（1）由周期的计算公式即可求值，（2）利用整体法即可列不等式求解，（3）由五点作图法即可求解.【详解】（1）的最小正周期（2）由，解得：，．所以函数的单调递增区间为,．（3）列对应值表如下：00200通过描出五个关键点，再用光滑曲线顺次连接作出函数，的简图如图所示：17．已知函数，是函数的对称轴，且在区间上单调．(1)从条件①、条件②、条件③中选一个作为已知，使得的解析式存在，并求出其解析式；条件①：函数的图象经过点；条件②：是的对称中心；条件③：是的对称中心．(2)根据（1）中确定，若的值域为，求的取值范围．【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据题意得到和，再根据选择的条件得到第三个方程，分析方程组即可求解；（2）先求出所在的范围，正弦函数的性质得到，解得即可.【详解】（1）因为在区间上单调，所以，因为，且，解得；又因为是函数的对称轴，所以；若选条件①：因为函数的图象经过点，所以，因为，所以， 所以，，即，当时，，满足题意，故.若选条件②：因为是的对称中心，所以，所以，，此方程无解，故条件②无法解出满足题意得函数解析式.若条件③：因为是的对称中心，所以，所以，，解得，所以.（2）由（1）知，因为，所以，又在上的值域为，所以，解得，即.18．如图，在四边形中，，，，且.（Ⅰ）用表示；（Ⅱ）点在线段上，且，求的值.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【分析】Ⅰ直接利用向量的线性运算即可．Ⅱ以O为坐标原点，OA所在的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系可得代入各值即可．【详解】（Ⅰ）因为 ，所以  .因为 ，所以 （Ⅱ）因为 ，所以 .因为 ，所以点共线.因为，所以.以为坐标原点，所在的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系. 因为 ，，，所以 .所以 ，.因为 点在线段上，且，所以 所以 .因为 ，所以 .【点睛】本题考查了向量的线性运算，向量夹角的计算，属于中档题． 八、单选题19．函数的部分图象大致为（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用函数的奇偶性和代入特殊值即可求解.【详解】由已知条件得函数的定义域关于原点对称，∵，∴为偶函数，函数的图象关于轴对称，则排除选项、,又∵，∴排除选项，故选：.20．已知集合且且，O为坐标原点，当时，定义：，若，则“存在使”是“”的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】由存在使得 ，根据绝对值的运算性质有：，同理对纵坐标也如此运算可证得充分性成立；必要性可举例说明不成立.【详解】充分性：若存在，使，即，则，故.故充分性成立；必要性：取，则，则，但是，所以，则不共线，所以必要性不成立.故选：A.21．在同一平面内，已知A为动点，B，C为定点，且∠BAC=，，BC=1，P为BC中点．过点P作PQ⊥BC交AC所在直线于Q，则在方向上投影的最大值是（　　）A． B． C． D．【答案】C【分析】先建系，由三点共圆得点A的轨迹方程为，则，则，再由在方向上投影的几何意义可得解．【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，则B（-，0），C（，0），P（0，0），由可知，ABC三点在一个定圆上，且弦BC所对的圆周角为，所以圆心角为.圆心在BC的中垂线即轴上，且圆心到直线BC的距离为，即圆心为，半径为.所以点A的轨迹方程为：，则 ，则 ，由在方向上投影的几何意义可得：在方向上投影为|DP|=|x|，则在方向上投影的最大值是，故选C．【点睛】本题考查了轨迹问题及平面向量数量积的运算，属中档题．22．高斯是德国著名数学家，近代数学莫基者之一，享有“数学王子”称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如，．已知函数，函数，则下列4个命题中，真命题的个数为（    ）．①函数是周期函数                     ②函数的值域是③函数的图象关于对称           ④方程只有一个实数根A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】先研究函数的奇偶性，作出函数的图象，作出函数的图象判断①②的正确性，由特值判断③的正确性，再分类讨论判断方程的根的个数得解.【详解】由题得函数的定义域为,，所以函数为偶函数，当时，；当时，；当时，；所以函数的图象如图所示，所以函数的图象如图所示，由函数的图象得到不是周期函数，故选项①不正确；所以函数的值域是，故选项②正确；由，所以函数的图象不关于对称，故选项③不正确；对于方程，当时，，方程有一个实数根；当时，，此时，此时方程没有实数根；当时，，此时，此时方程没有实数根；故方程只有一个实数根，故选项④正确.故选：B. 九、双空题23．如图，圆O的半径为2，l为圆O外一条直线，圆心O到直线l的距离，为圆周上一点，且，点P从处开始以2秒一周的速度绕点O在圆周上按逆时针方向作匀速圆周运动．①1秒钟后，点P的横坐标为__________；②t秒钟后，点P到直线l的距离用t可以表示为__________．【答案】          .【分析】设1秒钟后点运动到的位置，证明三点共线，再求点的坐标，并由此确定的坐标，设t秒钟后点的横坐标为，由条件求函数解析式，由此求出t秒钟后，点P到直线l的距离.【详解】因为点P从处开始以2秒一周的速度绕点O在圆周上按逆时针方向作匀速圆周运动．设秒后点转到如图的位置，则，所以三点共线，所以关于原点对称，又，，所以点的坐标为，所以点的坐标为，所以1秒钟后，点P的横坐标为,不妨设t秒钟后，点的横坐标为，由已知函数为周期函数，周期为，最小值为，最大值为，故可设，所以，，所以，由已知点逆时针旋转后，点的横坐标为，所以秒时，点的横坐标为，所以，所以，，所以，所以，所以t秒钟后，点P到直线l的距离用t可以表示为.故答案为：；. 十、填空题24．若关于x的方程恰有三个解，则__________．【答案】【分析】设，证明及的图象关于对称，结合条件证明，，由此可得结论.【详解】设，由已知有个零点，且为其零点，因为，，所以，故函数为奇函数，所以函数的图象关于点对称，又，因为有个零点，且为其零点，，所以，且，所以.故答案为：.25．定义一种向量运算“”：＝（与不共线），＝（与共线） (，是任意的两个向量)．对于同一平面内的向量，，，，给出下列结论：①＝；②()＝() ；③(＋)＝＋；④若是单位向量，则||||＋1.以上结论一定正确的是________．(填上所有正确结论的序号)【答案】①④【分析】一般，有符号“”的地方，需要分别讨论共线、不共线的情况；只要找到不成立的特例即可判断不正确；另外有参数时，参数为0一般是特例.【详解】对①，当，共线时，；当，不共线时，，故①正确；对②，当时，，故②错误；对③，当与共线时，则存在，与不共线，，显然，故③错误；对④，当与不共线时，；当与共线时，设，故④正确，故答案为：①④. 十一、解答题26．给定正整数，设集合．对于集合中的任意元素和，记．设，且集合，对于中任意元素，若则称具有性质．(1)判断集合是否具有性质？说明理由；(2)判断是否存在具有性质的集合，并加以证明；(3)若集合具有性质，证明：．【答案】(1)具有，理由见解析(2)不存在，证明见解析(3)证明见解析 【分析】（1）根据集合具有性质的特征，即可根据集合中的元素进行检验求解，（2）假设集合具有性质，分别考虑时，集合中的元素，即可根据的定义求解.（3）根据假设存在使得，考虑当时以及时，分量为1的个数即可讨论求解.【详解】（1）因为，同理．又，同理．所以集合具有性质．（2）当时，集合中的元素个数为．由题设．    假设集合具有性质，则①当时，，矛盾．②当时，，不具有性质，矛盾．③当时，．因为和至多一个在中；和至多一个在中；和至多一个在中，故集合中的元素个数小于，矛盾．④当时，，不具有性质，矛盾．⑤当时，，矛盾．综上，不存在具有性质的集合．（3）记，则．若，则，矛盾．若，则，矛盾．故．假设存在使得，不妨设，即．当时，有或成立．所以中分量为的个数至多有．当时，不妨设．因为，所以的各分量有个，不妨设．由时，可知，，中至多有个，即的前个分量中，至多含有个．又，则的前个分量中，含有个，矛盾．                            所以．    因为，所以．所以．【点睛】求解新定义运算有关的题目，关键是理解和运用新定义的概念以及元算，利用化归和转化的数学思想方法，将不熟悉的数学问题，转化成熟悉的问题进行求解.对于新型集合，首先要了解集合的特性，抽象特性和计算特性，抽象特性是将集合可近似的当作数列或者函数分析.计算特性，将复杂的关系通过找规律即可利用已学相关知识求解.