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    2022-2023学年福建省福州第四中学高一下学期期中检测数学试题含解析

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    这是一份2022-2023学年福建省福州第四中学高一下学期期中检测数学试题含解析,共13页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
    2022-2023学年福建省福州第四中学高一下学期期中检测数学试题 一、单选题1.复数    A B C1 D【答案】C【分析】直接由复数的运算求解即可.【详解】.故选:C.2.如图所示,在正方形中,的中点,的中点,则      A BC D【答案】D【分析】由平面向量的线性运算逐步转化即可得解.【详解】=.故选:D3.如图正方形的边长为,它是水平放置的一个平面图形的直观图,则原图形的周长是(    A B C D【答案】A【分析】由三视图得原图形的形状,结构,得边长后可得周长.【详解】由三视图知原图形是平行四边形,如图,所以平行四边形的周长是8故选:A4.若圆锥的母线长为,底面半径为,则圆锥的体积为(    A B C D【答案】B【分析】由圆锥母线和底面半径可求得圆锥的高,利用圆锥体积公式可求得结果.【详解】圆锥的母线长,底面半径圆锥的高圆锥的体积.故选:B.5.已知ABC的三个内角为ABC,则的(      A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【分析】结合三角函数的性质,利用充分性与必要性的定义,可得出答案.【详解】AABC的三个内角,时,由,可得所以的充分不必要条件.故选:A6.在平行四边形中,已知,对角线,则对角线的长为(    A B C D2【答案】A【分析】根据题意,结合余弦定理即可求解.【详解】根据题意,在中,由余弦定理得,所以故在中,由余弦定理得,计算得.故选:A.7.在梯形中,,且,则的值为(    A1 B C2 D3【答案】B【分析】先利用平面向量的线性运算得到,再结合进行求解.【详解】因为所以又因为所以.故选:B.8.设的边的中点,内一点,且满足,则    A B C D【答案】A【分析】由题意可得,由向量的线性运算可得,即,可得,即可求得比值.【详解】因为的边的中点,所以,又因为内一点,且满足所以,即,即因为所以故选:A. 二、多选题9.已知复数(其中是虚数单位),则下列命题中正确的为(    A B的虚部是C是纯虚数 D在复平面上对应点在第四象限【答案】ACD【分析】由复数的模、复数的定义、复数的几何意义判断各选项.【详解】A正确;的虚部是B错误;是纯虚数,C正确;对应点的坐标是,在第四象限,D正确.故选:ACD10.对于任意两个向量,下列命题中正确的是(    A.若满足||>||,且反向,则<BCD【答案】BD【分析】A. 根据平面向量不能比较大小判断.B. 根据平面向量的三角形法则判断.C.根据 平面向量的数量积定义判断.D. 根据平面向量的三角形法则判断.【详解】A选项.向量不能比较大小,选项A错误.B选项. 根据向量加法运算公式可知,当向量不共线时,两边之和大于第三边,即反向时,,当同向时,所以成立,故B正确;C选项,,选项C错误.D选项.当向量不共线时,根据向量减法法则可知,两边之差小于第三边,即反向时,同向且时,同向且时,,所以选项D正确.故选:BD11.一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等,则下列结论正确的是(    A.圆柱的侧面积为B.圆锥的侧面积为C.圆柱的侧面积与球的表面积相等D.圆柱、圆锥、球的体积之比为【答案】CD【分析】根据圆柱、圆锥的侧面积、表面积、体积等知识求得正确答案.【详解】A选项,圆柱的侧面积为A选项错误.B选项,圆锥的母线长为圆锥的侧面积为B选项错误.C选项,球的表面积为所以圆柱的侧面积与球的表面积相等,C选项正确.D选项,圆柱的体积为圆锥的体积为球的体积为所以圆柱、圆锥、球的体积之比为D选项正确.故选:CD12.对于,有如下判断,其中正确的判断是(    A.若,则为等腰三角形.B.若,则C.若,则是钝角三角形.D.若,则一定是一个钝角三角形.【答案】BD【分析】根据正弦函数的性质可判断A,根据正弦定理及大边对大角的性质可判断哪B,由向量夹角确定三角形内角判断C,根据所给性质及余弦定理判断D.【详解】为等腰或直角三角形,故A错误;,由正弦定理可知,故B正确; 的外角为钝角,为锐角,故C错误;,则解得,因为所以是钝角,故D正确.故选:BD 三、填空题13.已知向量,且,则_______.【答案】2【详解】由题意可得解得.【名师点睛】(1)向量平行:,.2)向量垂直:.3)向量的运算:.14是虚数单位,复数______.【答案】/3i+1【分析】根据复数的运算法则计算即可.【详解】.故答案为:.15.在中,若,则等于________.【答案】.【分析】由正弦定理,求得,得到,分类讨论,即可求得的值.【详解】由正弦定理,可得,所以因为,所以时,,可得时,,此时综上可得.故答案为:.【点睛】本题主要考查了正弦定理的应用,其中解答中利用正弦定理求得的值,得出的大小是解答的关键,着重考查分类讨论,以及运算与求解能力.16.如图,在中,,点P为边BC上的一动点,则的最小值为___________.【答案】【分析】,用表示,再计算的最小值.【详解】由题意,设所以.所以时,取得最小值.故答案为:. 四、解答题17.已知复数(1)z为实数,求m的值;(2)z为纯虚数,求m的值.【答案】(1)(2) 【分析】1)虚部为0列出方程即可;(2)实部为0,虚部不为0列出方程即可【详解】1)由题意得,解得2)由题意得,,解得18.在中,角所对的边分别为且满足1)求角的大小;2)求的最大值,并求取得最大值时角的大小.【答案】1;(2)最大值为2,此时【详解】1)由正弦定理得因为所以2)由(1)知于是取最大值2综上所述,的最大值为2,此时19.如图,在中,,点D在边BC上,且(1)AD(2)的面积.【答案】(1)(2) 【分析】1)先求,然后通过正弦定理即可得结果;2)通过余弦定理解出三角形,再计算面积即可.【详解】1)由题意得中,由正弦定理,得2)由余弦定理,解得因为,所以所以的面积为20.在锐角中,分别是所对的边,已知,向量,且1)求角A的大小2)求周长的取值范围.【答案】1;(2【分析】1)由可得即可得到,由此能求出2)由正弦定理,三角函数恒等变换的应用可求,由题意可求范围,利用正弦函数的性质即可求解其取值范围.【详解】解:(1)因为所以,得又因为,所以2)由正弦定理可得,得是锐角三角形,,解得周长的取值范围为21.函数的定义域为,且存在唯一常数,使得对于任意的x总有,成立.(1),求(2)求证:函数符合题设条件.【答案】(1)(2)证明见解析 【分析】1)利用赋值法令,结合分别求出,即可得解;2)假设存在常数满足,所以,设,判断函数的单调性,结合零点存在性定理即可证明;【详解】1)解:因为,所以,所以,又,所以所以2)解:因为的定义域为假设存在常数满足,即,所以,显然上单调递增,又所以存在唯一的常数使得,即存在唯一的常数使得函数符合题设条件;22.在近年,中国采用吹沙填海的方式,成功将部分小岛礁连成一片,可以进而形成一个大岛礁.已知南海上存在四个小岛礁,它们在一条直线上且满足,若通过吹沙填海的方式建成了如图所示一个矩形区域的大岛礁,其中米.(1)为线段上一点,求最小值;(2)为线段上一点,求的最小值;(3)因特殊原因,划定以圆心,为半径的圆的区域为隔离区,拟建造一条道路,使与该隔离区的边界相切,求四边形面积的最大值.【答案】(1)8000(2)(3) 【分析】(1)中点,将原问题转化为向量求模即可;(2)根据余弦定理及第一问的结果可以求解;(3)由于MNMB都是圆A的切线,连接AM,利用 以及切线之间的几何关系,再利用面积公式求解即可.【详解】1))取中点当且仅当点位于中点时等号成立,最小值为80002)由余弦定理得,当且仅当,即点立位于中点时等号成立,的最小值为3圆切于点,连接,设的面积当且仅当时等号成立时等号成立,四边形CDNM的最大值为:综上,最小值为8000的最小值为,四边形CDNM的最大值为:. 

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