湖南省长沙市长郡中学2020-2021学年高二下学期期末数学试题（学生版）

长郡中学2020-2021学年高二下学期期末考试

一、单项选择题(本题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1. 排列数(    )

A. 6 B. 8 C. 12 D. 24

2. 抛物线的焦点坐标是(          )

A.  B.  C.  D.

3. 已知数据 方差为 4 ， 若 ， 则新数据 的方差为(    )

A. 2 B. 4 C. 8 D. 16

4. 已知正方体的棱长为，直线与直线的夹角等于(    )

A.  B.  C.  D.

5. 已知向量 ， 如果 ，那么 等于(    )

A.  B. 1 C.  D. 5

6. “ "是“方程 表示焦点在 轴上的椭圆”的(    )

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

7. 把一枚骰子连续抛掷两次，记事件为“两次所得点数均为奇数”，为“至少有一次点数是5”，则等于(    )

A.  B.  C.  D.

8. 曲线在点处的切线方程为(    )

A.  B.  C.  D.

9. 正三棱柱各棱长均为1，为中点，则点到面的距离为(    )

A.  B.  C.  D.

10. 函数的图像大致是(    )

A.  B.

C.  D.

11. 过双曲线：的右顶点作轴的垂线与的一条渐近线相交于，若以双曲线的右焦点为圆心、半径为2的圆经过，两点(为坐标原点)，则双曲线的离心率为(    )

A.  B. 2 C.  D. 3

12. 过点P(2,2)作抛物线的弦AB,恰好被P平分，则弦AB所在的直线方程是(    )

A. x-y=0 B. 2x-y-2=0 C. x+y-4=0 D. x+2y-6=0

二、多项选择题(本题共3小题，每小题3分，共9分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得3分，有选错的得0分，部分选对得2分)

13. 已知复数，，则(    )

A.

B.

C. 对应的点在复平面的虚轴上

D. 在复平面内，满足方程的复数对应的点的轨迹为椭圆

14. 4月23日为世界读书日，已知某高校学生每周阅读时间服从正态分布，则(    )

(附：，，，.)

A. 该校学生每周平均阅读时间为9小时；

B. 该校学生每周阅读时间的标准差为4；

C. 该校学生每周阅读时间不超过3小时的人数占0.3%；

D. 若该校有10000名学生，则每周阅读时间在3-5小时的人数约为210.

15. 若函数，则下述正确的是(    )

A. 在单调递增 B. 的值域为

C. 的图象关于直线对称 D. 的图象关于点对称

三、填空题(本题共5小题，每小题3分，共15分.)

16. 某储蓄卡密码共有6位数字，每位数字都可从0-9中任选一个，则可设置的银行卡密码共有______种.

17. 展开式中的系数为______.

18. 如图，正三棱柱的底面边长为，侧棱长为，则与面所成的角为______.

19. 一动圆截直线和所得弦长分别为8，4，则该动圆圆心轨迹方程为______．

20. 已知函数，，若对任意，存在，满足，则实数的取值范围为______．

四、解答题(本题共5小题，每小题8分，共40分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)

21. 已知()时有极值0.

(1)求常数，的值；

(2)求函数在区间上的值域.

22. 某学校组织一次自然科学夏令营活动，有10名同学参加，其中有6名男生、4名女生，为了活动的需要，要从这10名同学中随机抽取3名同学去采集自然标本.

(1)已知10名同学中有2名共青团员，求抽取的3人中至少有1名共青团员的概率；

(2)设表示抽取的3名同学中女生的人数，求的分布列及数学期望.

23. 在几何体中，点、、在平面内的正投影分别为、、，且，，，为的中点.

(1)求证：平面；

(2)求二面角的大小.

24. 椭圆：()的离心率为，其左焦点到点的距离为.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)若直线：与椭圆相交于，两点(，不是左右顶点)，且以为直径的圆过椭圆的右顶点.求证：直线过定点，并求出该定点的坐标.

25. 设函数，其导函数.

(1)求函数的单调区间；

(2)若，为整数，且当时，，求的最大值.