江苏省淮安市2020-2021学年高二下学期期末数学试题（教师版含解析）

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2020-2021学年江苏省淮安市高二(下)期末数学试卷
一、选择题(共8小题，每小题5分，共40分).
1. 已知复数z满足(为虚数单位)，则复数z的共轭复数为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】把已知的等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简可得，然后由共轭复数的定义得出答案即可．
【详解】因为，
所以，
所以，所以.
故选：B.
2. (x2+2)(x﹣1)10的展开式中的常数项为( )
A. 8 B. 4 C. 3 D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】(x2+2)(x﹣1)10的展开式中的常数项等于(x﹣1)10的展开式的常数项的2倍，所以先求出(x﹣1)10的展开式的通项公式，再求其常数项即可得答案
【详解】解：因为二项式(x﹣1)10的展开式的通项公式为，
令10﹣r＝0，解得r＝10，
故(x2+2)(x﹣1)10的展开式常数项为2×1＝2，
故选：D.
3. 设随机变量X，Y满足：Y＝3X﹣1，X～B，则V(Y)＝()
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
【答案】A
【解析】
【分析】根据二项分布的性质及方差的运算规则计算得出结果.
【详解】解：因为X～B(2，)，
则V(X)＝2××＝，
又Y＝3X﹣1，
所以V(Y)＝V(3X﹣1)＝，所以选项A正确，选项BCD错误
故选：A.
4. 袋中装有4个红球和2个蓝球，不放回地依次摸出两球，在第一次摸到红球的条件下，第二次摸到蓝球的概率是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由条件概率可计算得到答案.
【详解】因为第一次摸到红球，
所以还剩下3个红球和2个篮球，
所以在第一次摸到红球的条件下，第二次摸到蓝球的概率是.
故选：D
5. 6名同学和1名老师去参观“伟大征程——庆祝中国共产党成立100周年特展”，参观结束后他们排成一排照相留念.若老师站在正中间，甲、乙两同学相邻，则不同的排法共有( )
A. 240 B. 192 C. 120 D. 96
【答案】B
【解析】
【分析】分步，老师站正中间，甲乙二人相邻在老师的两侧有4种可能站法，然后其余4人全排列．
【详解】解：共有7个人，老师在正中间，则老师左右各3人，
所以甲乙相邻在老师左右共有4种情况满足，剩下4人全排即可，
所以不同的排法共有4×＝192种，
故选：B.
6. 函数f(x)＝的图象大致为( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数解析式及奇偶性的定义判断的奇偶性，再由上知的大致图象.
【详解】根据题意， ，其定义域为且，
∴，则为奇函数，排除A、D，
在区间上，，必有，排除B，
故选：C.
7. 如图，洛书(古称龟书)，是阴阳五行术数之源，在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上有此图象，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数.若从四个阴数和五个阳数中随机选取3个数，则选取的3个数之和为偶数的概率为( )

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用组合计数原理可求得从九个数中随机选三个数的取法种数，并求出所取的三个数之和为偶数的取法种数，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.
【详解】由题意，四个阴数为4个偶数，2，4，6，8，
五个阳数为5个奇数，1，3，5，7，9，
所以基本事件的个数共有个，
选取的3个数之和为偶数，则有个，
故所求的概率为＝.
故选：C.
8. 已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，，则( )
A. f(4)＞ef(3) B. f(﹣4)＞e2f(﹣2)
C. e2f(4)＜f(2) D. ef(﹣4)＞f(﹣3)
【答案】B
【解析】
【分析】引入新函数F(x)＝，由导数确定单调性后，利用单调性比较．
【详解】解：f(x)是定义在R上的奇函数，
令F(x)＝，F′(x)＝，
因为当x＞0时，f′(x)＜f(x)，所以F′(x)＜0，函数F(x)是减函数，
所以F(4)＜F(3)，可得f(4)＜ef(3)，所以A不正确；
F(4)＜F(2)，可得f(4)＜e2f(2)，所以C不正确；
则﹣f(4)＞﹣e2f(2)，即f(﹣4)＞e2f(﹣2)，所以B正确；
f(4)＜ef(3)，﹣f(4)＞﹣ef(3)，可得f(﹣4)＞ef(﹣3)，所以D不正确；
故选：B.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0.
9. 若直线是函数图像的一条切线，则函数可以是( )
A. B. C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】求得已知直线的斜率，对选项中的函数分别求导，可令导数为，解方程即可判断结论
【详解】解：直线的斜率为，
由的导数为，即切线的斜率小于0，故A不正确；
由的导数为，而，解得，故B正确；
由的导数为，而有解，故C正确；
由的导数为，而，解得，故D正确，
故选：BCD
【点睛】此题考查导数的几何意义，正确求导是解题的关键，考查运算能力，属于基础题
10. 设、为复数，则下列说法正确的是( )
A. 若，则 B.
C. D. 若，则
【答案】BC
【解析】
【分析】利用特殊值法可判断AD选项的正误；利用复数的乘法运算以及复数的模长公式可判断B选项的正误；利用复数的加减运算以及共轭复数的定义可判断C选项的正误.
【详解】对于A选项，取，，则，A错；
对于B选项，设，，
则，
所以，，B对；
对于C选项，设，，则，，
，则，
，则，
故，C对；
对于D选项，取，，则，但，D错.
故选：BC.
11. 在一次满分为150分的数学测试中，某校共有800名学生参加，学生的成绩X服从正态分布N(110，100)，其中90分为及格线，120分为优秀线，则下列说法正确的是 ( )
附：随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ﹣σ＜ξ＜μ+σ)＝0.6826，P(μ﹣2σ＜ξ＜μ+2σ)＝0.9544，P(μ﹣3σ＜ξ＜μ+3σ)＝0.9974.
A. 该校学生数学成绩的期望为110
B. 该校学生数学成绩的标准差为100
C. 该校数学成绩140分以上的人数大于5
D. 该校数学成绩及格率超过0.97
【答案】AD
【解析】
【分析】根据正态分布概念及其特殊区间的概率公式计算概率可得．
【详解】解：因为生的成绩X服从正态分布N(110，100)，
则该校学生数学成绩的期望为110，故选项A正确；
该校学生数学成绩的标准差为10，故选项B错误；
该校数学成绩140分以上的概率为P＝，
所以该校数学成绩140分以上的人数为0.0013×800≈1，故选项C错误；
该校数学成绩及格率为，故选项D正确.
故选：AD.
12. 中国古代中“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”主要指德育；“乐”主要指美育；“射”和“御”就是体育和劳动；“书”指各种历史文化知识；“数”指数学.某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，一天内连续安排六节课，则下列说法正确的是( )
A. 某学生从中选3门学习，共有20种选法
B. “礼”和“射”不相邻，共有400种选法
C. “乐”不能排在第一节，且“数”不能排在最后，共有504种选法
D. “书”必须排在前三节，且“射”和“御”相邻，共有108种选法
【答案】AC
【解析】
【分析】对于A，从6个中选3个，则有种；对于B，利用插空法求解；对于C，分两类求解，一是若“数”排在第一节，二是若“数”不排在第一节，也不排在最后一节；对于D，分三类，利用捆绑法，①若“书”排在第一节，且“射”和“御”相邻，②若“书”排在第二节，且“射”和“御”相邻，③若“书”排在第三节，且“射”和“御”相邻，然后利用分类加法原理求解
【详解】解：对于A，某学生从中选3门学习，共有种选法，
故选项A正确；
对于B，“礼”和“射”不相邻，则有种，
故选项B错误；
对于C，①若“数”排在第一节，则排法有种；
②若“数”不排在第一节，也不排在最后一节，则排法有种，
所以“乐”不能排在第一节，且“数”不能排在最后，共有120+384＝504种选法，
故选项C正确；
对于D，①若“书”排在第一节，且“射”和“御”相邻，则有种；
②若“书”排在第二节，且“射”和“御”相邻，则有种；
③若“书”排在第三节，且“射”和“御”相邻，则有种.
所以“书”必须排在前三节，且“射”和“御”相邻，共有48+36+36＝120种选法，
故选项D错误；
故选：AC.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13. 写出一个使得z﹣z4＝0成立的虚数z＝__________________.
【答案】或
【解析】
【分析】直接解方程可得虚数z满足z3＝1(z≠1)，从而可求出答案
【详解】解：要使z﹣z4＝0，需z＝z4，∴z＝0(舍去)，或z3＝1(z≠1)，
∴z＝cos+isin＝，
或z＝cos+isin＝
故答案为：或
14. 甲乙两人射击，中靶的概率分别为0.9，08.若两人同时独立射击，则恰有一人不中靶的概率为 _______.
【答案】026
【解析】
【分析】两人同时独立射击，则恰有一人不中靶包括：甲中乙不中和甲不中乙中，利用独立事件的概率公式求解
【详解】解：因为甲乙两人射击，中靶的概率分别为0.9，08，
所以恰有一人不中靶的概率为P＝0.9×(1﹣0.8)+(1﹣0.9)×0.8＝0.18+0.08＝0.26.
故答案为：0.26.
15. 设a∈Z，且0≤a≤16，若42021+a能被17整除，则a的值为 _____.
【答案】13
【解析】
【分析】化简得42021+a＝4×(×171010﹣×171009+×171008﹣×171007+…+×(﹣17)+1)+a，它除以17的余数为4×1+a，即得解.
【详解】解：a∈Z，且0≤a≤16，
若42021+a＝4×161010+a＝4×(17﹣1)1010+a
＝4×(×171010﹣×171009+×171008﹣×171007+…+×(﹣17)+1)+a，
故它除以17的余数为4×1+a，
由于它能被能被17整除，则a＝13，
故答案为：13.
16. 在18世纪，法国著名数学家拉格日在他的《解析函数论》中，第一次提到拉格朗日中值定理，其定理陈述如下，如果函数f(x)区间[a，b]上连续不断，在开区间(a，b)内可导(存在导函数)，在区间(a，b)内至少存在一个点x0∈(a，b)，使得f(b)﹣f(a)＝(b﹣a)，则x＝x0称为函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的中值点，则关于x的f(x)＝ex+mx在区间[﹣1，1]上的中值点x0的值为 __________________.
【答案】
【解析】
【分析】由拉格朗日中值定理可得,求导函数，代入计算即可得出结果.
【详解】解：当x∈[﹣1，1]时，由拉格朗日中值定理可得＝，
∵f'(x)＝ex+m，
∴+m，即，
∴.
故答案为：.
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.
17. 在的二项展开式中，二项式系数之和为64.
(1)求正整数n的值；
(2)求的二项展开式中二项式系数最大的项.
【答案】(1)6；(2).
【解析】
【分析】(1)由二项式系数的性质求得；
(2)根据二项式系数性质得二项式系数最大的项的项数，再由二项式定理得结论．
【详解】解：(1)∵在(x+)n的二项展开式中，二项式系数之和为2n＝64，∴n＝6.
(2)(x+)2n＝(x+)12的二项展开式中共13项，第7项的二项式系数最大，
故二项式系数最大的项为T7＝•36.
18. 在①曲线y＝f(x)在点处的切线与y轴垂直，②f(x)的导数的最小值为﹣，③函数f(x)在区间上是减函数，在区间上是增函数.这三个条件中任选一个补充在横线上，并回答下面问题.
已知函数f(x)＝x3+ax+b，且满足 ____.
(1)求a值；
(2)若函数y＝f(x)在区间[﹣1，2]上的最大值与最小值的和为7，求b值.
【答案】答案见解析.
【解析】
【分析】(1)选条件①，求出函数导数，由已知得，即可求出；
选条件②：可得最小值为a，即可求出；
选条件③：可得是的根，即可求出；
(2)根据函数单调性得出最值，即可建立关系求出.
【详解】解：选条件①：
(1)，所以切线斜率为，
因为曲线在点处的切线与y轴垂直，
所以切线斜率为，即，解得，
(2)，则
所以在上，，单调递增，
在上，，单调递减，
上，，单调递增，
，，
，，
所以，
若函数在区间上的最大值与最小值的和为7，
则，解得；
选条件②：
(1)，所以最小值为a，
的导数的最小值为，所以，
(2)同①；
选条件③：
(1)，
因为函数在区间上是减函数，在区间上是增函数，
所以是的根，所以，解得，
(2)同①.
19. 为了调查某地区中学生是否喜欢踢足球，用简单随机抽样的方法从该地区调查了500名学生，调查结果如下：
性别
是否喜欢踢足球
男
女
总计
喜欢踢足球
40
y
70
不喜欢踢足球
x
270
z
总计


500
(1)求x，y，z的值；
(2)能否有99%的把握认为该地区的中学生是否喜欢踢足球与性别有关？
附：X2＝.
P(X2≥x0)
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
x0
2.072
2.076
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828

【答案】(1)x＝160，y＝30，z＝430；(2)有.
【解析】
【分析】(1)根据列联表直接计算x，y，z的值；
(2)利用列联表中的数据和公式直接求X2，然后根据临界值表中数据得出结论即可
【详解】解：(1)由列联表可得，y＝70﹣40＝30，z＝500﹣70＝430，所以x＝430﹣270＝160；
(2)由列联表中的数据可得，X2＝，
所以有99%的把握认为该地区的中学生是否喜欢踢足球与性别有关.
20. 欧拉(1707﹣1783)，他是数学史上最多产的数学家之一，他发现并证明了欧拉公式eiθ＝cosθ+isinθ，从而建立了三角函数和指数函数的关系，若将其中的θ取作π就得到了欧拉恒等式eπi+1＝0，它是令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个量联系起来，两个超越数——自然对数的底数e，圆周率π，两个单位——虚数单位i和自然数单位1，以及被称为人类伟大发现之一的0，数学家评价它是“上帝创造的公式”，请你根据欧拉公式：eiθ＝cosθ+isinθ，解决以下问题：
(1)将复数写成a+bi(a，b∈R，i为虚数单位)的形式；
(2)求(θ∈R)的最大值.
【答案】(1)；(2)2.
【解析】
【分析】(1)利用欧拉公式将化为三角形式，进而根据特殊角的函数值写出其代数形式即可；
(2)由欧拉公式及复数模的求法，可得，进而可求其最大值.
【详解】(1)；
(2)＝，
∴当cosθ＝1，即θ＝2kπ，k∈Z时，(θ∈R)的最大值为2.
21. 甲乙丙三人进行兵兵球练习赛，约定练习赛规则如下：比赛前抽签决定先比赛的两个人，另一个人做裁判，每场比赛结束时，胜的一方在下一局与裁判进行比赛，负的一方在下一局做裁判，每局比赛的结果都相互独立，每场比赛双方获胜的概率都是，第一局通过抽签确定甲先当裁判.
(1)求丙前4局都不做裁判的概率；
(2)求第3局甲当裁判的概率；
(3)记前4局乙当裁判的次数为X，求X的概率分布和数学期望.
【答案】(1)；(2)；(3)分布列见解析，
【解析】
【分析】(1)计算丙前三局全部取胜，即丙前4局都不做裁判的概率可得答案；
(2)计算出乙当裁判的概率、丙当裁判的概率，由相互独立事件的概率乘法公式可得答案；
(3)算出X的可能取值和对应的概率可得答案.
【详解】(1)当丙前三局全部取胜，即丙前4局都不做裁判，
∵每场比赛双方获胜概率都是，
∴丙前4局都不做裁判的概率为.
(2)∵第二局中可能是乙当裁判，其概率为，也可能是丙当裁判，其概率为，
∴第三局甲当裁判的概率为.
(3)由题意X的可能的取值为0，1，2，
，
，
，
∴.
22. 函数f(x)＝ex﹣2sinx﹣1，设函数.证明：
(1)m(x)在区间上存在唯一的极小值点；
(2)f(x)在上有且仅有两个零点.
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.
【解析】
【分析】(1)对函数求导得到，对求导得到，根据“增+增=增”的原则判断出是增函数，然后对的零点进行讨论，进而得出的单调性，最后确定出极值点；
(2)根据(1)的提示，将区间分为两部分分别讨论，进而通过导数对的单调性进行讨论，结合零点存在定理得到答案.
【详解】证明：(1)当时，f(x)＝ex﹣2sinx﹣1，＝ex﹣2cosx，
＝ex+2sinx，在上单调递增(增+增)，
又，
所以在上存在唯一零点x0，
且当时，＜0；当x0＜x＜0 时，＞0，
故m(x)在上单调递减，在(x0，0)上单调递增，
故m(x)在区间上存在唯一的极小值点x0.
(2)当﹣时，
由(1)可知m(x)在上单调递减，在(x0，0)上单调递增，
又，
所以m(x)在上存在唯一的零点x1，其中，
当时，m(x)＞0；当x1＜x＜0时，m(x)＜0，
所以f(x)在上单调递增，在(x1，0)上单调递减，
又，
所以f(x)＞0在上恒成立，即f(x)在上不存在零点.
∵f(0)＝0，所以x＝0是f(x)的一个零点.
当0＜x＜π时，
＝ex+2sinx＞0，所以m(x)在(0，π)上单调递增，
又m(0)＝﹣1＜0，m(π)＝eπ+2＞0，
所以m(x)在(0，π)上存在唯一零点x2，
当0＜x＜x2时，m(x)＜0，当x2＜x＜π时，m(x)＞0，
所以f(x)在(0，x2) 上单调递减，在(x2，π)上单调递增，
又f(0)＝0，f(π)＝eπ﹣1＞0，f(x2)＜f(0)＝0，
所以f(x)在(x2，π)上存在唯一零点.
综上所述，f(x)在上有且仅有两个零点.
【点睛】本题难度很大，需要注意以下两个方面：①二次求导是为了确定导函数的单调性，再结合零点存在定理，进而得到导函数的符号，最后得到原函数的单调性；②特殊零点的作用有时候很大，因为我们无法求解超越函数的零点，于是需要代值验证，常见的有1，0，e等等.