江苏省宿迁中学2021-2022学年高二下学期期末数学试题（原卷版）

2021-2022学年度第二学期高二年级期终考试

数学试题

试卷满分（150分）考试时间（120分钟）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

2. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线和平面的位置关系是（    ）

A.  B.

C. 或 D.

3. 设定义在上奇函数，满足对任意的都有，且当时，，则的值等于（    ）

A.  B.  C.  D.

4. 已知实数满足，则的最小值为（    ）

A.  B.  C.  D.

5. 某射手每次射击击中目标的概率固定，他准备进行次射击，设击中目标的次数为X，已知，且，则（    ）

A.  B.  C.  D.

6. 已知函数，若对于任意的实数，不等式恒成立，则实数a的取值范围为（    ）

A.  B.

C.  D.

7. 函数在上有且仅有一个极值点，则实数的取值范围是（    ）

A.  B.

C.  D.

8. 设，，，则（    ）

A  B.

C.  D.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有项选错得0分.

9. 下列命题为真命题的是（    ）

A. 若，则

B. 若，则

C. 若关于的不等式的解集为，则

D. 若，则“”是“”的必要不充分条件

10. 已知的展开式中只有第6项的二项式系数最大，若展开式中所有项的系数和为1，则正确的命题是（    ）

A.

B.

C. 展开式中常数项为

D. 展开式中含的项为

11. 下列说法正确的是（    ）

A. 6个不同的小球放入到5个不同的盒子中，要求每个盒子里至少有一个球，则不同的放法共有

B. 甲、乙、丙、丁、戊五人并排站成一排，其中甲只能排在乙的左边，丁只能排在乙的右边，则不同的排法有20种

C. 已知随机变量满足，，．若，则

D. 已知，那么

12. 如图，在边长为3的正方体中，为边的中点，下列结论正确的有（    ）

A. 与所成角的余弦值为

B. 过三点的正方体的截面面积为

C. 在线段上运动，则三棱锥的体积不变

D. 为正方体表面上一个动点，分别为的三等分点，则的最小值为

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.

13. 已知5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中抽取一道题，抽出的题不再放回，在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率为________.

14. 已知函数有唯一零点，则________

15. 已知是函数的导函数，，对任意实数都有，则的解集为______.

16. 已知，则

（1）被3除的余数是___；

（2）_______.

四、解答题：本题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 使不等式对一切实数恒成立的的取值范围记为集合，集合.

（1）求集合；

（2）若是的充分条件，求实数的取值范围．

18. 为了丰富学生的课余生活，高三年级举行乒乓球比赛，选手每赢一局就会获得一个纪念品，小明和小华进行比赛，小明每局获胜的概率均为，不存在平局，两人约定先胜4局者赢得比赛.

（1）求比赛5局小明获胜的概率；

（2）若在前3局中小明胜两局，小华胜一局，记比赛结束时，小明获得的纪念品的个数为随机变量，求的分布列和数学期望.

19. 已知函数为偶函数.

（1）求实数的值；

（2）解关于的不等式；

（3）设，函数与图象有2个公共点，求实数的取值范围.

20. 国家加大了对全民体育锻炼的重视程度，推行全民体育锻炼工作，全民体育锻炼活动在全国各地蓬勃发展，活动规模不断扩大，内容不断充实，方式不断创新，影响日益扩大，使我国国民身体素质得到了大幅度提高.某高中为响应政府号召，在寒假中对某校高二400名学生（其中男生240名）按性别采用分层抽样的方法抽取100名学生进行调查，了解他们每天的体育锻炼情况如下表：

（1）根据统计数据完成以上2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过的条件下，认为该校女生和男生在每天体育锻炼时间方面存在差异？

（2）若从抽出的100名学生中按“每天体育锻炼时间是否低于1”采用分层随机抽样抽取10名学生准备进行身体素质测试，在这10名学生中随机抽取3名学生，记这3名学生每天体育锻炼时间不低于1的人数为，求的分布列和数学期望.

（3）若将频率视作概率，从该校所有在校学生中随机抽取10人进行调查，记10人中每天体育锻炼时间不低于1人数为的概率为，当取得最大值时，求的值.

附参考数据及公式：，其中.

21. 如图所示，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，分别为线段上的动点.

（1）若为线段的中点，证明：平面平面；

（2）若，且，求二面角的余弦值.

22. 已知函数，.

（1）若不等式对于恒成立，求实数的取值范围；

（2）若方程有且仅有两个实根，

①求实数的取值范围；

②证明：.