2023年吉林省白山市抚松县三校中考数学二模试卷（含解析）

2023年吉林省白山市抚松县三校中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共6小题，共12.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  若等式成立，则“”内的运算符号是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  如图所示的几何体的主视图是(    )

A.
B.
C.
D.

3.  不等式的解集在数轴上表示为(    )

A.  B.
C.  D.

4.  如图，斑马线的作用是为了引导行人安全地通过马路．小丽觉得行人沿垂直马路的方向走过斑马线更为合理，这一想法体现的数学依据是(    )

A. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B. 垂线段最短
C. 两点之间，线段最短 D. 两点确定一条直线

5.  将一副三角板按如图所示放置，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

6.  如图，在中，圆周角，为上的一点，若，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

7.  分解因式： ______ ．

8.  某粒子的直径约为米，数据用科学记数法表示为______ ．

9.  如图所示的图形绕其中心至少旋转______度就可以与原图形完全重合．

10.  某电子产品的进价为元，超市将价格提高作为零售价销售，则该商品的零售价为______ 元用含的代数式表示．

11.  如图，若，，则的值是______ ．

12.  数学家斐波那契编写的算经中有如下问题，一组人平分元钱，每人分得若干，若再加上人，平分元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求第二次分钱的人数设第二次分钱的人数为，则可列方程为______ ．

13.  如图，在中，按以下步骤作图：分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和；作直线交边于点若，，，则的长为        ．

14.  如图，正方形的边长为，连接，先以为圆心，的长为半径作，再以为圆心，的长为半径作，若、、三点共线，则途中两个阴影部分的面积之和是______结果保留．

三、解答题（本大题共12小题，共84.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15.  本小题分
先化简，再求值：，其中，．

16.  本小题分
为积极响应政府提出的“绿色发展低碳出行”号召，某社区决定购置一批共享单车．经市场调查得知，购买辆男式单车与辆女式单车费用相同，购买辆男式单车与辆女式单车共需元，求男式单车和女式单车的单价．

17.  本小题分
如图，点、、在一条直线上，点是的中点，，，求证：．

18.  本小题分
从一副扑克牌中取出四张牌，它们的牌面数字分别为、、、，将这四张扑克牌背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，不放回；再从剩余的三张牌中随机抽取一张请用画树状图或列表的方法，求抽取的这两张牌的牌面数字之和为偶数的概率．

19.  本小题分
如图、图均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点称为格点，点、均在格点上在图，图中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求作图，所画图形的顶点均在格点上．
在图中，画等腰直角三角形，使其面积为；
在图中，画平行四边形，使其面积为．

 

20.  本小题分
如图，小刚同学从楼顶处看楼下公园的湖边处的俯角为，看另一边处的俯角为，楼高为米，求楼下公园的湖宽结果精确到米，参考数据：，，，

21.  本小题分
如图，点和点在反比例函数的图象上，过点作轴交轴于点，过点作轴交直线于点，．
若，求的值．
连结，若四边形的面积为，求点的坐标．

22.  本小题分
为了解甲、乙两省的旅游公司月份收入情况，从这两省的旅游公司中，各随机抽取了家旅游公司，获得了它们月份收入单位：百万元的数据，并对数据进行整理，描述和分析下面给出了部分信息．
Ⅰ甲省旅游公司月份收入所得数据的频数分布直方图如图数据分成组：，，，，
Ⅱ甲省旅游公司月份收入的数据在这一组的数据如下：，，，，，，，
Ⅲ甲、乙两省旅游公司月份收入的数据的平均数、中位数如下表．
表中 ______ ；
在甲省抽取的旅游公司中，记月份收入高于它们的平均收入的旅游公司的个数为，在乙省抽取的旅游公司中，记月份收入高于它们的平均收入的旅游公司的个数为，问与的大小关系，并说明理由；
已知乙省共有家旅游公司，根据以上信息估计乙省旅游公司月份的总收入约为______ 百万元．

23.  本小题分
甲、乙两地的路程为千米，一辆汽车早上：从甲地出发，匀速向乙地行驶，途中休息一段时间后，继续按原速前进，当离甲地路程为千米时接到通知，要求中午：准时到达乙地设汽车离甲地的路程为千米，汽车出发时间为时，图中折线表示接到通知前与之间的函数图象．
根据图象可知，休息前汽车行驶的速度为______ 千米时．
求线段所表示的与之间的函数关系式．
汽车要想：准时到达乙地，求汽车接到通知后需匀速行驶的速度．

24.  本小题分
【感知】如图，在中，，是斜边上的中线，求证：．
小明的思路如下：证明：如图，延长至点，使，连结，结合图，补全证明过程；
【拓展】
如图，在中，，，点，分别是，的中点，连结，，且，，则的长为______ ．
如图，和中，，，，点在边的延长线上，连结，若，分别是，的中点，，，则 ______ ．

 

25.  本小题分
如图，在▱中，，，，点从点出发，沿折线向终点运动，点在边、边上的运动速度分别为、，当点不与点、、重合时，过点作边所在直线的垂线，交边或边于点，以为一边作矩形，且，与在的同侧设点的运动时间为秒，矩形与▱重叠部分的面积为
的长为______ ；
当时， ______ ；当时， ______ 用含的代数式表示；
当点落在上时，求的值；
当矩形与▱重叠部分的图形为四边形时，求与的函数关系式．

26.  本小题分
如图，抛物线的图象与轴交于点，直线：与抛物线交于、，点是抛物线上一点，且，将点向下平移个单位长度得到点，轴交直线于点，轴，且，以、为边作矩形．
______ ， ______ ；
求、的值；
若，矩形的周长为，求的最小值及此时点的坐标；
在点运动的过程中，当抛物线在矩形内部的点的纵坐标随的增大而减小时，直接写出的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
等式成立，“”内的运算符号是．
故选：．
把运算符合放入“”内检验即可．
此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：从正面看，可得选项D的图形．
故选：．
找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
本题考查了简单组合体的三视图，解答本题的关键是掌握三视图的概念．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
，
，
故选：．
根据解一元一次不等式基本步骤：移项、系数化为可得．
本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
 

4.【答案】 

【解析】解：、垂线的一条性质，故A不符合题意；
B、直线外一点到这条直线上各点的连线中，垂线段最短，故B符合题意；
C、连接两点的所有线中，线段最短，故C不符合题意；
D、两点确定一条直线，是直线的性质，故D不符合题意．
故选：．
由垂线的性质，可选择．
本题考查垂线的性质，关键是掌握垂线的两条性质，明白垂线段最短．
 

5.【答案】 

【解析】解：由题意可得，，
是的一个外角，
，
．
故选：．
由题意可得，，利用三角形的外角性质可得，从而可求的度数．
本题主要考查三角形的外角性质，解答的关键是熟记三角形的外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和．
 

6.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
故选：．
根据圆周角定理可得，然后利用角的和差关系进行计算，即可解答．
本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：，
故答案为：．
提取公因式进行分解因式即可．
本题主要考查了分解因式，正确找到公因式是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：，
故答案为：．
将一个数表示为的形式，其中，为整数，这种表示数的方法叫做科学记数法，根据其定义即可得出答案．
本题考查科学记数法表示较小的数，此考点为重要知识点，必须熟练掌握．
 

9.【答案】 

【解析】解：把图形中的每个阴影部分与相邻的一个部分当作一个部分，因而整个圆周被分成个完全相同的部分，
每个部分对应的圆心角是度，因而最少旋转的度数是度．
故答案为：．
根据旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．
此题主要考查了旋转对称图形，理解旋转对称图形的定义是解决本题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：根据题意可得：商品的零售价为元．
故答案为：．
由于进价为元，所以价格提高，则零售价为元，由此可得结果．
此题主要是考查了列代数式，能够正确理解提高是在进价为的基础上进行的是解答此题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
故答案为：．
利用平行线分线段成比例定理求解即可．
本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是理解三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
 

12.【答案】 

【解析】解：根据题意得，，
故答案为：．
根据“第二次每人所得与第一次相同，”列方程即可得到结论．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，正确的理解题意是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：设交于，连接，如图：

由作图可知：是线段的垂直平分线，
，
，
，
在中，
，
，
故答案为：．
设交于，连接，由作图可知：是线段的垂直平分线，即得，有，从而，由勾股定理得，故AB．
本题考查作图基本作图，掌握尺规作线段垂直平分线的方法是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：正方形的边长为，
，，
，，
图中阴影部分的面积是：，
故答案为：．
根据题意和正方形的性质，可以得到和的长，然后利用勾股定理可以得到的长，再根据图形，可知阴影部分的面积是扇形的面积减的面积与以为半径，圆心角为的扇形的面积之和．
本题考查正方形的性质、扇形面积的计算、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

15.【答案】解：原式

，
当，时，
原式
． 

【解析】先通分算括号内的，把除化为乘，化简后将，的值代入计算即可．
本题考查分式化简求值，解题的关键是掌握分式基本性质，把所求式子化简．
 

16.【答案】解：设男式单车的单价为元，女式单车的单价为元，
依题意得：，
解得：．
答：男式单车的单价为元，女式单车的单价为元． 

【解析】设男式单车的单价为元，女式单车的单价为元，利用总价单价数量，结合“购买辆男式单车与辆女式单车费用相同，购买辆男式单车与辆女式单车共需元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
 

17.【答案】证明：点是的中点，
，
在和中，
，
≌，
，即． 

【解析】由点是的中点，得，而，，即可根据全等三角形的判定定理“”证明≌，得．
此题重点考查线段中点的定义、全等三角形的判定与性质等知识，证明及≌是解题的关键．
 

18.【答案】解：由题意得：

由树状图可知，共有种等可能的情况，其中抽取的这两张牌的牌面数字之和为偶数的有种情况，
抽取的这两张牌的牌面数字之和为偶数． 

【解析】画树状图，得出共有种等可能的情况，其中抽取的这两张牌的牌面数字之和为偶数的有种情况，再由概率公式求解即可．
此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

19.【答案】解：如图所示，三角形即为所求作．

如图所示，四边形即为所求作． 

【解析】根据等腰直角三角形的定义画出图形即可；
画一个底为，高为的平行四边形即可．
本题考查作图应用由设计作图，勾股定理，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

20.【答案】解：在中，米，
，
米，
在中，
，
米，
米．
答：湖宽约为米． 

【解析】根据题意得到，，解直角三角形即可得到结论．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握仰角俯角的定义和锐角三角函数定义是解题的关键．
 

21.【答案】解：如图，过点作轴于，
点，
，，
又．
，
，
点，
，
解得，
点，
点在反比例函数的图象上，
，
由可知点，点，即，，则，
由于四边形的面积为，
，
解得，
点． 

【解析】根据点的坐标可得进而得出，由可得点与点的横坐标的差，进而求出的值，确定点的坐标即可；
表示出点的坐标，利用含有的代数式表示四边形的面积求出即可．
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数的几何意义，理解反比例函数系数的几何意义，掌握反比例函数图象上点的坐标特征是正确解答的前提．
 

22.【答案】   

【解析】解：将甲省抽取的家旅游公司月份的营业额从小到大排列，处在中间位置的一个数是，
因此中位数是，即；
故答案为：；
由题意得家，
由于乙省抽取的家旅游公司月份的营业额的平均数是，中位数是，
因此所抽取的家旅游公司月份营业额在及以上的占一半，
也就是的值至少为，
；
百万元，
答：乙省家旅游公司月份的总收入约为百万元．
故答案为：．
根据中位数的意义，求出甲省抽样家旅游公司月份的营业额从小到大排列，得出处在第位的数据即可；
根据，所表示的意义，结合两个省抽取的旅游公司月份的营业额的具体数据，得出答案；
根据乙省邮旅游公司月份营业额的平均数以及旅游公司的数量进行计算即可．
本题考查频数分布直方图、平均数、中位数，掌握平均数、中位数的意义是正确解答的前提．
 

23.【答案】 

【解析】解：由图象可知，休息前汽车行驶的速度为千米小时；
故答案为：；
休息后按原速继续前进行驶的时间为：小时，
点的坐标为，
设线段所表示的与之间的函数表达式为，则：
得，，
线段所表示的与之间的函数表达式为：；
接到通知后，汽车距离乙地还有千米，
此时距离点还有小时，
汽车要想按时到达速度为：千米小时，
答：汽车接到通知后的速度为千米小时．
观察图象即可得出休息前汽车行驶的速度；
根据题意求出点的横坐标，再利用待定系数法解答即可；
由汽车距乙地的距离和时间，求出速度即可．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．
 

24.【答案】  

【解析】感知：证明：如图，延长至点，使，连接，，

是中边上的中线，
，
又，
四边形是平行四边形，
又，
平行四边形是矩形，
，
，
；
拓展：解如图所示，连接，，


于点，
，
，分别为，的中点，
，，
，，
，
，
，，
中，由勾股定理可知，，
中，为中线，
，
，
故AB的长为；

如图所示，连接，，


，即，
，
又，，
≌，
，
，，
，
，
，
为的中点，
中，
，同理在中，，
，
，
是的中点，
，
，是的中点，
，
，且，
，
，
在中，．
故答案为：．
感知：如图，延长至点，使，连接，，由是中边上的中线可知，结合，可知四边形是平行四边形，进而可知平行四边形是矩形，则，根据，可知；
拓展：如图所示，连接，，由于点，可知，结合，分别为，的中点，可得，，根据等边对等角可知，，由此可知，则可知，根据，，则中，由勾股定理可知，，根据中，为中线，则，则，故AB的长为；
如图所示，连接，，根据，即，可知，根据，，可证≌，进而知，则，，则，所以，所以，由直角三角形的性质可知，则是的中点，可知，则，是的中点，则，根据，且结合勾股定理可知，则，进而可知．
本题属于三角形综合题，考查平行四边形，矩形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，能够添加合适的辅助线是解决本题的关键．
 

25.【答案】     

【解析】解：，，，
；
故答案为：；
当时，边上，如图：

，
，即，
；
当时，在边上，如图：

由已知得：，
，
，
，
，即，
，
故答案为：，；
当在上时，

，
，
，
解得，
当在上时，如图：

；
，
，
，
，
解得，
总上所述，为或；
当时，如图：

，，
，
；
当时，如图：

四边形是平行四边形，
，
，，
，
落在上时，，当时，如图：

四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
当时，如图：

，，
，
，
综上所述，．
由，，，直接可得；
当时，边上，可得，即得，故；当时，在边上，由，得，根据，有，故；
当在上时，可得，即可解得，当在上时，由得，可解得；
当时，；当时，，当时，当时，
本题考查四边形综合应用，涉及动点问题、分类思想的应用，解题的关键是分类画出图形，数形结合解决问题．
 

26.【答案】  

【解析】解：抛物线经过，两点，
，
解得：，
故答案为：，；
直线：与经过，两点，
，
，；
抛物线的解析式为，直线的解析式为，点的横坐标为，
，，，
点的横坐标为，
，，
，
，且，
随的增大而减小，
当时最小，最小值为，此时；
，
抛物线的对称轴为直线，
抛物线在矩形内部的点的纵坐标随的增大而减小，
或，
解得：或，
即且，
的取值范围是且．
运用待定系数法将，代入，即可求得答案；
运用待定系数法将，代入，即可求得答案；
由题意得，，，，根据二次函数的性质即可求得答案；
由抛物线在矩形内部的点的纵坐标随的增大而减小，可得或，即可求得且．
本题属于二次函数的综合题，涉及考查待定系数法求函数解析式，一次函数上点的坐标特征和抛物线上点的坐标特征，二次函数的性质等相关知识，题目比较简单，关键是得出对应的函数关系式．