2023年福建省泉州实验中学中考数学适应性试卷（6月份）（含解析）

2023年福建省泉州实验中学中考数学适应性试卷（6月份）

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  实数的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  被誉为“中国天眼”的世界上最大的单口径球面射电望远镜的反射面总面积相当于个标准足球场的总面积．已知每个标准足球场的面积为，则的反射面总面积约为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  如图几何体的主视图为(    )

A.
B.
C.
D.

4.  数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形的是(    )

A.  B.
C.  D.

5.  如图，直线，，交于一点，直线，若，，则的度数为(    )

 

A.  B.  C.  D.

6.  同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则一枚硬币正面向上、一枚硬币反面向上的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图，正五边形内接于，点在弧上若，则的大小为(    )

A.
B.
C.
D.

8.  某区域平面示意图如图，点在河的一侧，和表示两条互相垂直的公路甲侦测员在处测得点位于北偏东，乙勘测员在处测得点位于南偏西，测得，，请求出点到的距离参考数据，，(    )

A.  B.  C.  D.

9.  已知抛物线为常数经过点，，，当时，则的取值范围为
(    )

A.  B.
C.  D.

10.  如图，平面直角坐标系中，矩形的边与函数图象交于，两点，且是的中点，则四边形的面积等于(    )

A.
B.
C.
D. 不能确定

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11.  分解因式：______．

12.  如果二次根式有意义，那么实数的取值范围是          ．

13.  若圆锥的母线长为，底面圆的半径为，则它的侧面展开图的面积为______  保留．

14.  如图，在平面直角坐标系中，点是直线上的一个动点，将点绕点顺时针旋转，得到点，连接，当长度为最小值时，则点的坐标为______ ．

15.  如图，在中，是的中线，垂足为，，，，则线段长为______ ．

16.  现有是关于的二次函数，下列结论正确的是______ 填写正确的序号
当时，函数图象的顶点坐标为；
当时，函数图象总过定点；
当时，函数图象在轴上截得的线段的长度大于；
若函数图象上任取不同的两点、，则当且时一定能使成立．

三、解答题（本大题共9小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：．

18.  本小题分
如图所示，在四边形中，，点在上，且，求证：．

19.  本小题分
先化简，再求值：，其中．

20.  本小题分
作图题：如图：在矩形中，已知，，
用直尺和圆规在上找一点，使平分，不写作法，保留作图痕迹；
求内切圆半径的值．

21.  本小题分
如图，是的直径，点是弦上一动点不与点，重合，过点作，垂足为点，射线交弧于点，交过点的切线于点．
求证：；
若，，是弧的中点，求的长．

22.  本小题分
成语是我国灿烂文化宝库中一颗璀璨的明珠，具有简洁明快、画龙点睛的特点．如：成语“物美价廉”形容东西价钱便宜、质量又好．乐乐无返回依次到甲、乙、丙三地旅游，在途中准备购买一个金边的“冰墩墩”作为纪念．已知甲、乙、丙三地相离较远，都可以买到乐乐心仪的同款金边“冰墩墩”；但市场上这款金边冰墩墩的质量有优、良、合格、不合格，价格有元、元、元、元、元、元等情况．乐乐认为只要买到优良品质、价格不超过元的金边冰墩墩，就达到“物美价廉”．
若乐乐打听到甲地所卖的金边冰墩墩质量为优品，因此乐乐决定在甲地购买．试求出乐乐买到“物美价廉”的金边冰墩墩的概率；
乐乐认为：没有了解三地所销售金边冰墩墩的相关信息，直接选择到了丙地再购买，能买到“物美价廉”的金边冰墩墩的概率与中在甲地买到“物美价廉”的金边冰墩墩的概率是一样的．这个想法是否正确？试说明理由，并列举出乐乐没有了解三地所销售金边冰墩墩的相关信息，直接选择在丙地购买到“物美价廉”金边冰墩墩的情况．

23.  本小题分
为了振兴乡村经济，我市某镇鼓励广大农户种植山药，并精加工成甲、乙两种产品、某经销商购进甲、乙两种产品，甲种产品进价为元；乙种产品的进货总金额单位：元与乙种产品进货量单位：之间的关系如图所示．已知甲、乙两种产品的售价分别为元和元．
求出和时，与之间的函数关系式；
若该经销商购进甲、乙两种产品共，并能全部售出．其中乙种产品的进货量不低于，且不高于，设销售完甲、乙两种产品所获总利润为元利润销售额成本，请求出单位：元与乙种产品进货量单位：之间的函数关系式，并为该经销商设计出获得最大利润的进货方案；
为回馈广大客户，该经销商决定对两种产品进行让利销售．在中获得最大利润的进货方案下，甲、乙两种产品售价分别降低元和元，全部售出后所获总利润不低于元，求的最大值．

24.  本小题分
问题提出
如图，为的直径，点在弧上不与、重合，连接、，则______填“”“”或“”．
问题探究
如图，在等边中，、为边和上的两动点，且，连接、，与相交于，求度数．
问题解决
如图，在矩形中，，，、分别为边和上的两个动点，且：：，连接、，与相交于点，连接，求四边形面积的最大值．

 

25.  本小题分
已知抛物线：和：．
如何将抛物线平移得到抛物线？
如图，抛物线分别交轴于、两点点在点的左边交轴负半轴于点，点为第二象限内抛物线上的一动点，设的面积为，的面积为，若，求点的横坐标；
如图，过点的直线交抛物线于，两点点在点的右边，过点的另一条直线与抛物线的另一个交点为，连，直线轴且过点，直线与、分别交于点、点点在点的右边，求线段的长．用含的式子表达

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：实数的相反数是．
故选：．
根据相反数的定义，即可解答．
本题考查了相反数，熟练掌握相反数的定义是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
直接利用有理数乘法运算法则计算，进而利用科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

3.【答案】 

【解析】解：从正面看图形为：．
故选：．
根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，熟知从正面看得到的图形是主视图是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】
根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断即可．
【解答】
解：是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B.是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C.既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；
D.是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：．
【点评】
本题考查轴对称图形与中心对称图形的知识，关键是掌握轴对称图形与中心对称图形的概念．判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，沿对称轴折叠后图形两部分可重合；判断中心对称图形的关键是寻找对称中心，图形旋转后与原图重合．  

5.【答案】 

【解析】

【分析】
如图，首先运用平行线的性质求出的大小，然后借助平角的定义求出即可解决问题．
该题主要考查了平行线的性质及其应用问题；应牢固掌握平行线的性质，这是灵活运用、解题的基础和关键．
【解答】
解：如图，

直线，
，而，
，


，
故选：．  

6.【答案】 

【解析】解：画树形图得：

由树形图可知共种等可能的结果，一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上的有种结果，
一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上的的概率为，
故选：．
画树状图，共种等可能的结果，一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上的有种结果，再由概率公式求解即可．
本题考查了求随机事件的概率，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．得到所求的情况数是解决本题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：如图，连接，，，
五边形是正五边形，
，
，
，
，
正五边形内接于，
，
，
，
故选：．
连接，，，根据正五边形的性质得出的度数，从而得出的度数即的度数，再根据正五边形内接于，得出的度数即可求解．
本题考查了正多边形的性质，圆周角定理，根据正五边形的性质得出与的度数是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：作于，于，
则四边形为矩形，
，，
设，则，，
在中，，
，则，
在中，，
由题意得，，
解得，，
答：点到的距离为．
故选：．
作于，于，设，根据矩形的性质用表示出、，根据正切的定义用表示出，根据题意列式计算即可．
本题考查的是解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数的定义、正确标注方向角是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：抛物线为常数经过点，，
抛物线的对称轴为直线，
，
抛物线为，
抛物线为常数经过点，，
，
，
，
，
，
，
，
故选：．
根据题意求得抛物线的对称轴为直线，进而得到抛物线为，根据抛物线的对称性得出，即可得到，代入得到，根据图象上点的坐标特征即可求得．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的图象和性质，熟知二次函数的对称性是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：连接、、．

四边形是矩形，
，
，
，
、在上，
，
，，
，
∽，
，
，
，
，
故选：．
连接、、首先证明是的中位线，利用相似三角形的性质即可解决问题．
本题考查反比例函数系数的几何意义、反比例函数图象上的点的特征、矩形的性质、三角形中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用三角形中位线定理解决问题．
 

11.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
首先找出多项式的公因式，然后提取公因式法因式分解即可．
此题主要考查了提取公因式法因式分解，根据题意找出公因式是解决问题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：根据题意知，
解得，
故答案为：．
根据二次根式中的被开方数是非负数求解可得．
本题主要考查二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握二次根式的双重非负性．
 

13.【答案】 

【解析】

【分析】根据圆锥侧面积底面周长母线长计算．
本题考查圆锥的计算，解题的关键是牢记圆锥的侧面积表达公式，较为简单．
【解答】解：圆锥的侧面面积．
故本题答案为：．  

14.【答案】 

【解析】解：如图，作轴于，轴于，
，
，
，
又，
≌，
，，
设，
，，
，
，
，
当时，的长度最小，
，
故答案为
利用等腰直角三角形构造全等三角形，求出旋转后点的坐标，然后根据勾股定理并利用二次函数的性质即可解决问题．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，三角形全等，图形旋转变换，二次函数的性质，勾股定理等知识，综合性较强，把各个知识点合理串联起来是解题关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：过点作于点，如图，
是的中线，
，
，，
，
在和中，
，
≌，
，，，
在中，，
，
，
，
∽，
：：，即：：，
解得，
，
，
在中，．
故答案为：．
过点作于点，如图，先证明≌得到，，，再利用勾股定理计算出，接着证明∽，利用相似比可求出，所以，则，然后利用在中利用勾股定理可计算出的长．
本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．在应用相似三角形的性质时利用相似比进行几何计算．也考查了全等三角形的判定与性质．
 

16.【答案】 

【解析】解：当时，，
顶点坐标为，
故正确；
当时，，
当时，的值与无关，
此时，，
当，；当时，，
函数图象总经过两个定点，，
故正确；
当时，由得：，
，
，，
，
函数图象截轴所得的线段长度大于，
故正确；
时，抛物线的对称轴：，抛物线开口向下，
故时，只有当对称轴在右侧时，才随的增大而减小，即成立，
故错误．
故答案为：．
把代入，再化为顶点式即可；
由，可知当时，的值与无关，然后求出，的对应值即可；
求得与轴的交点，进而求得的值，即可判断；
时，抛物线的对称轴：，抛物线开口向下，只有当对称轴在右侧时，才随的增大而减小，即可求解．
本题考查的是抛物线与轴的交点，掌握函数图象上点的坐标特征，函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征是解题的关键．
 

17.【答案】解：原式
． 

【解析】原式第一项利用零指数幂法则计算，第二项利用乘方的意义计算，第三项利用特殊角的三角函数值计算，最后一项利用负整数指数幂法则计算即可得到结果．
此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

18.【答案】证明：，
，
在和中，
，
≌，
． 

【解析】根据，可得，根据可证≌，根据全等三角形的性质即可得证．
本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
 

19.【答案】解：原式

，
当时，
原式
． 

【解析】先通分算括号内的，把除化为乘，化简后将的值代入计算即可．
本题考查分式化简求值，解题的关键是掌握分式的基本性质，把所求式子化简．
 

20.【答案】解：如图，以为圆心，长为半径画弧交于点，点即为所求；

由可得：，
在中，由勾股定理得：，
，
在中，，，，
，
内切圆半径为，
，
． 

【解析】以为圆心，长为半径画弧交于点即可；
根据勾股定理求出，的长，然后利用三角形内切圆的性质列式计算即可．
本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了矩形的性质．
 

21.【答案】证明：连接，
切圆于，
半径，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
解：连接，，
，
，
，
是的中点，
，
，
是等边三角形，

，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，，
． 

【解析】连接由切线的性质得到，由直角三角形的性质得到，由等腰三角形的性质，对顶角的性质即可得到，因此；
连接，，由圆周角定理可以证明、是等边三角形，得到的长，由锐角的正弦即可求出的长．
本题考查切线的性质，圆周角定理，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，余角的性质，关键是掌握证明是等边三角形，得到的长，从而求出的长．
 

22.【答案】解：买到元、元、元、元、元、元的冰墩墩是等可能的，且元、元、元的有三种情况，
甲；
这个相法不正确．列表为：

为买到“物美价廉”冰墩墩的情况，根据概率公式丙． 

【解析】甲地均为优品，买到每种价格的冰墩墩是等可能的，根据概率公式解答即可；
丙地冰墩墩的相关信息不明，根据列举法求出所有情况，进行计算．
本题考查概率公式，解答本题的关键是明确题意，求出相应的概率．
 

23.【答案】解：当时，设，根据题意可得，，
解得，
；
当时，设，
根据题意可得，，
解得，
．
．
根据题意可知，购进甲种产品千克，
，
当时，，
，
当时，的最大值为元；
当时，，
，
当时，的最大值为元，
综上，；当购进甲产品千克，乙产品千克时，利润最大为元．

根据题意可知，降价后，
，
当时，取得最大值，
，解得．
的最大值为． 

【解析】分当时，当时，利用待定系数法求解即可；
根据题意可知，分当时，当时，分别列出与的函数关系式，根据一次函数的性质可得出结论；
根据题意可知，降价后，与的关系式，并根据利润不低于，可得出的取值范围．
本题考查了一次函数的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出函数关系式．
 

24.【答案】 

【解析】解：为的直径，点在弧上不与、重合，
、、、四点都在上，
，
故答案为：；
是等边三角形，
，，
在和中，，
≌，
，
，
；
四边形是矩形，
，，
，
：：，
，
，
∽，
，
，
，
，
，
连接，如图所示：
在中，由勾股定理得：，
，，
四边形面积的最大，则点到的距离最大，
，
点在以为直径的圆弧上，
设的中点为，
，
则时，点到的距离最大，
设交于，
，，
∽，
，
，
，
，
四边形面积的最大值为．
由圆周角定理即可得出结论；
证≌，得出，求出，即可得出答案；
证∽，得出，证，连接，由勾股定理求出，由，，得四边形面积的最大，则点到的距离最大，由圆周角定理得出点在以为直径的圆弧上，设的中点为，则时，点到的距离最大，证∽，得出，则，得出，即可得出答案．
本题是圆的综合题目，考查了圆周角定理、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、相似三角形的判定与性质、矩形的性质、勾股定理、三角形面积等知识；本题综合性强，熟练掌握圆周角定理和等边三角形的性质，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键．
 

25.【答案】解：将抛物线向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度即可得到抛物线；
令，则，
解得或，
，，
如图，过点作于点，过点作于点，交轴于点，

，
，
，，
∽，
，
，
，
设的解析式为：，
把点代入得：，
，
设的解析式为：，
，
解得：舍，，
点的横坐标为；
直线轴且过点，
点的纵坐标为，
当时，，
，
，
点和是直线与二次函数的交点，
，
解得：，，
，，
，，
设的解析式为，
将和代入得：，
解得：，
的解析式为：，
点是直线和抛物线的交点，
，
，
，
，
设，，则，，
设的解析式为：，
则，
得：，
，
，
的解析式为：，
当时，，
，
即点的横坐标为：，
． 

【解析】根据左加右减，上加下减的原则可得结论；
作辅助线，构建相似三角形，根据，利用同底边三角形面积的比等于对应高的比可知：，证明∽，可得的坐标，利用待定系数法可得的解析式，联立直线和二次函数的解析式可得结论；
令可得点的坐标，利用待定系数法计算和的解析式，可得点的横坐标，利用点和点的横坐标的差可得结论．
本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，平移的规律，利用方程计算两函数的交点，相似三角形的性质和判定，三角形的面积等知识．此题综合性很强，难度较大，注意运用参数表示点的坐标和一次函数的解析式．