2022-2023学年北京市房山区高一下学期期中学业水平调研数学试题含解析

2022-2023学年北京市房山区高一下学期期中学业水平调研数学试题

一、单选题

1．已知角的终边经过点，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据给定条件，利用正弦的定义直接计算作答.

【详解】角的终边经过点，则，

所以.

故选：B.

2．角是（    ）

A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角

【答案】C

【分析】根据角的终边所在象限进行转化即可.

【详解】，故角的终边与角的终边重合，

因为角是第三象限角，故角是第三象限角.

故选：C.

3．下列函数中，奇函数是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用奇函数的定义，结合正余弦函数性质判断ABD，由函数定义域关于数0不对称判断C.

【详解】对于A，函数的定义域为R，，则函数是奇函数，A正确；

对于B，函数的定义域为R，而，即函数不是奇函数，B错误；

对于C，因为当时，函数有意义，而当时，函数无意义，

因此该函数定义域关于数0不对称，函数不具奇偶性，C错误；

对于D，函数的定义域为R，而，即函数不是奇函数，D错误.

故选：A

4．要得到函数的图象，只要将函数的图象（　　）

A．向左平移单位 B．向右平移单位

C．向右平移单位 D．向左平移单位

【答案】D

【分析】根据三角函数图象变换规律分析判断即可

【详解】因为函数，

所以只要将函数的图象向左平移个单位，即可得到函数的图象，

故选：D．

5．在半径为3的扇形中，圆心角为2rad，则扇形的面积为（    ）

A．3 B．6 C．9 D．18

【答案】C

【分析】根据给定条件，利用扇形面积公式求解作答.

【详解】半径为3的扇形圆心角为2rad，则扇形弧长，

所以扇形的面积为.

故选：C

二、多选题

6．已知，，为的三个内角，则下列四个结论中不一定成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】利用三角函数诱导公式，结合三角形的内角和为，逐个去分析即可选出答案．

【详解】由题意知，在三角形中，，

对A选项，，故A选项正确；

对B选项，，故B选项错误；

对C选项，，故C选项正确；

对D选项，，故D选项正确．

故选：B

三、单选题

7．已知向量，，则下列结论正确的是（    ）

A．与的夹角是钝角 B．

C．在上的投影的数量为 D．在上的投影的数量为

【答案】C

【分析】利用数量积的坐标表示判断A；利用垂直的坐标表示判断B；求出投影的数量判断CD作答.

【详解】向量，，

对于A，由，有，则与的夹角不是钝角，故A错误；

对于B，，，即与不垂直，故B错误；

对于CD，在上的投影的数量为，故C正确，D错误.

故选：C

8．已知非零向量，，，那么“”是“”的（   ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据充分条件和必要条件的定义分别判断是否成立，从而得到结论.

【详解】由得：        

可知“”是“”的充分条件；

当时，时， 不一定相等

可知“”是“”的不必要条件

本题正确选项：

【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判定，属于基础题.

9．函数的最小正周期记为．若，且的图象关于点中心对称，则（    ）

A．1 B． C．0 D．

【答案】D

【分析】由三角函数的图象与性质可求得参数，进而可得函数解析式，代入即可得解.

【详解】由函数的最小正周期T满足，得，解得，

又因为函数图象关于点对称，所以，

所以，所以，，

所以.

故选：D.

10．在梯形中，，，，若，则（    ）

A．12 B．16 C．20 D．

【答案】A

【分析】利用向量的数量积，结合向量的基本定理转化求解即可.

【详解】因为，

所以，

,

所以，可得，

.

故选：A.

四、填空题

11．函数的定义域为______．

【答案】

【分析】定义域满足 .

【详解】的定义域满足 ，即 .

故答案为：.

五、双空题

12．已知向量，．则________；________．

【答案】     5    

【分析】直接根据向量的数量积的坐标化运算以及向量夹角公式即可得到答案.

【详解】， ，

，.

故答案为：5；.

13．函数的部分图象如图所示，其中，，，则________；__________．

【答案】     2     /

【分析】根据图象最值得到值，再利用其周期求出，最后代入零点求出即可.

【详解】由图象知的最大值为2，因为，所以，

，

根据图象知的最小正周期为，

因为，则，则，

，

因为函数图象过点，，则，

，，

，所以当时，，

.

故答案为：2；.

六、填空题

14．能使“”成立的一组，的值可以为___________．

【答案】（答案不唯一）

【分析】根据给定的等式，写出一组，的值并代入验证作答.

【详解】取，则，，

因此成立.

故答案为：

15．已知函数，给出下列四个结论

①是的一个零点；

②在上单调递增；

③在上有最大值；

④存在常数，使对一切实数都成立．

其中所有正确结论的序号是___________．

【答案】①③④

【分析】利用零点的意义判断①；举例说明判断②；分析函数的性质判断③；利用正弦函数值的有界性推理判断④作答.

【详解】函数，因为，则是的一个零点，①正确；

因为，，因此函数在上不单调，②错误；

因为函数在上单调递增，函数值从0增大到1，在上单调递减，函数值从1减小到0，

而函数在上单调递增，又，因此函数先递增然后递减，

并且，所以函数在上有最大值，③正确；

因为函数在R上有最大值1，最小值，即恒成立，

因此，取正数，则对一切实数都有成立，④正确，

所以所有正确结论的序号是①③④.

故答案为：①③④

【点睛】结论点睛：对于恒成立问题，常用到以下两个结论：(1)恒成立；(2)恒成立.

七、解答题

16．已知向量，满足，，．

(1)求；

(2)求；

(3)若，求实数的值．

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）直接根据向量数量积定义即可得到答案；

（2）利用向量数量积的运算律展开代入即可.

（3）根据向量垂直，则点乘为0，展开代入得到关于的方程，解出即可.

【详解】（1）.

（2）.

（3）由题意得，即，即，.

17．已知，且是第二象限角．

(1)求的值；

(2)求的值．

【答案】(1)

(2)7

【分析】（1）由二倍角公式,已知条件代入即可得出答案;

（2）利用三角函数的平方关系和商数关系求出，将展开代入即可.

【详解】（1）

（2）为第二象限角,，

.

18．已知函数．

(1)求的最小正周期；

(2)求的单调递减区间．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用周期公式直接代入求解即可；

（2）利用整体代换法求单调递减区间即可.

【详解】（1）

；

（2）∵函数的单调递减区间为，

令，，

解得：，，

∴函数的单调递减区间为．

19．已知函数，．

(1)求的最大值及取得最大值时的值；

(2)直接写出方程的所有根的和．

【答案】(1)当时，.

(2).

【分析】（1）化简得，求出的范围，即可得到最值.

（2）求出两根关于对称，则得到两根之和.

【详解】（1）

当时，，

则当，即，此时.

（2）令，解得，

当时，，在上递增，函数值从增大到2，在上递减，函数值从2减小到1，

根据对称性知的所有根的和为.

20．将图（1）所示的摩天轮抽象成图（2）所示的平面图形．已知摩天轮的半径为40米，其中心点距地面45米，摩天轮按逆时针方向匀速转动，每24分钟转一圈．摩天轮上一点距离地面的高度为（单位：米），若从摩天轮的最低点处开始转动，则与转动时间（单位：分钟）之间的关系为．

(1)求，，，的值；

(2)摩天轮转动8分钟后，求点距离地面的高度；

(3)在摩天轮转动一圈内，求点距离地面的高度超过65米的时长．

【答案】(1)；

(2)65米；

(3)8分钟.

【分析】（1）利用函数的最大值与最小值求出，利用周期求出，利用旋转起始位置求出作答.

（2）把代入函数式中计算作答.

（3）解的不等式作答.

【详解】（1）依题意，，于是，

函数的周期，解得，则，而时，，

即有，而，解得，

所以.

（2）由（1）知，，，

当时，（米）.

（3）由，得，即，解得，

即有，，

所以在摩天轮转动一圈内，有8分钟的时间，点距离地面的高度超过65米.

21．对于分别定义在、上的函数，以及实数，若存在，，使得，则称函数与具有关系．

(1)若，；，，判断与是否具有关系，并说明理由；

(2)若与具有关系，求的取值范围；

(3)已知，为定义在上的奇函数，且满足：

①在上，当且仅当时，取得最大值1；

②对任意，有．

判断与是否具有关系，并说明理由．

【答案】(1)具有关系，理由见解析；

(2)；

(3)不具有关系，理由见解析.

【分析】（1）根据具有关系的定义判断即可；

（2）求解的值域即可得出结果；

（3）根据的性质求出其值域，结合三角函数的值域得出的范围，即可证明.

【详解】（1）与具有关系，

理由如下：时，，

，，当，，

当时，，此时，

则与具有关系.

（2），

，

，则当时，，

则，

所以，则.

（3）不具有关系，理由如下：

因为在上，当且仅当时，取得最大值1；

又为定义在R上的奇函数，故在上，当且仅当时，取得最小值，

由对任意，有，所以关于点对称，

又，所以的周期为，

故的值域为；，

当时，；时，

若，则，，此时有；

当时，；时，

若，则，时有；

由于，所以

故不存在，，使得，

所以与不具有关系.

【点睛】关键点睛：本题第三问的关键是通过函数的对称性，周期性，奇偶性得到的值域为，然后再求出和取得最值时的值，综合得到，以及，，根据两者无法同时取到即可证明其不具有关系.