2024年新高考数学一轮复习《双曲线》课后巩固练习(含详解)

2024年新高考数学一轮复习

《双曲线》课后巩固练习

一              、选择题

1.若实数k满足0＜k＜9，则曲线－＝1与曲线－＝1的(　　)

A.离心率相等         B.虚半轴长相等

C.实半轴长相等       D.焦距相等

2.已知点A(－1，0)，B(1，0)为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右顶点，点M在双曲线上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则该双曲线的标准方程为(　　)

A.x2－＝1       B.x2－＝1   C.x2－＝1       D.x2－y2＝1

3.双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率为(　　)

A.2sin 40°       B.2cos 40°    C.       D.

4.设F为双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2交于P，Q两点.若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为(　　)

A.        B.         C.2            D.

5.已知△ABC的顶点A(－5，0)，B(5，0)，△ABC内切圆的圆心在直线x＝2上，则顶点C的轨迹方程是(　　)

A.－＝1(x＞2)        B.－＝1(y＞2)

C.－＝1             D.－＝1

二              、填空题

6.已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线为2x＋y＝0，一个焦点为(，0)，则a＝________；b＝________.

7.已知焦点在x轴上的双曲线＋＝1，它的焦点到渐近线的距离的取值范围是________.

8.已知离心率为的双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，M是双曲线C的一条渐近线上的点，且OM⊥MF2，O为坐标原点，若S△OMF2＝16，则双曲线的实轴长是________.

9.已知椭圆M：＋＝1(a>b>0)，双曲线N：－＝1.若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为________；双曲线N的离心率为________.

10.已知椭圆＋＝1与双曲线x2－＝1的离心率分别为e1，e2，且有公共的焦点F1，F2，则4e－e＝________，若P为两曲线的一个交点，则|PF1|·|PF2|＝________.

11.设双曲线x2－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，若点P在双曲线上，且△F1PF2为锐角三角形，则|PF1|＋|PF2|的取值范围是________.

12.已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x﹣3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为________.

三              、解答题

13.求适合下列条件的双曲线的标准方程：

(1)以椭圆＋＝1的长轴端点为焦点，且经过点P(5，)；

(2)过点P1(3，－4)，P2(，5).

14.已知双曲线﹣＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F(c,0).

(1)若双曲线的一条渐近线方程为y＝x且c＝2，求双曲线的方程；

(2)以原点O为圆心，c为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A，过A作圆的切线，斜率为﹣，求双曲线的离心率.

0.答案解析

1.答案为：D.

解析：[由0＜k＜9，易知两曲线均为双曲线且焦点都在x轴上，由＝，得两双曲线的焦距相等.]

2.答案为：D.

解析：[由题意知a＝1.不妨设点M在第一象限，则由题意有|AB|＝|BM|＝2，∠ABM＝120°.过点M作MN⊥x轴于点N，则|BN|＝1，|MN|＝，所以M(2，)，代入双曲线方程得4－＝1，解得b＝1，所以双曲线的方程为x2－y2＝1，故选D.]

3.答案为：D.

解析：[由题意可得－＝tan 130°，

所以e＝＝＝＝＝.

故选D.]

4.答案为：A.

解析：[如图，由题意，知以OF为直径的圆的方程为(x-c)2＋y2＝①，

将x2＋y2＝a2记为②式，①－②得x＝，则以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2的相交弦所在直线的方程为x＝，所以|PQ|＝2.由|PQ|＝|OF|，得2＝c，整理得c4－4a2c2＋4a4＝0，即e4－4e2＋4＝0，解得e＝，故选A.]

5.答案为：A.

解析：[如图，△ABC与内切圆的切点分别为G，E，F.

|AG|＝|AE|＝7，|BF|＝|BG|＝3，|CE|＝|CF|，所以|CA|－|CB|＝7－3＝4.根据双曲线定义，所求轨迹是以A，B为焦点，实轴长为4的双曲线的右支，方程为－＝1(x＞2).]

二              、填空题

6.答案为：1，2.

解析：[由2x＋y＝0，得y＝－2x，所以＝2.又c＝，a2＋b2＝c2，解得a＝1，b＝2.]

7.答案为：(0，2).

解析：[对于焦点在x轴上的双曲线－＝1(a>0，b>0)，它的焦点(c，0)到渐近线bx－ay＝0的距离为＝b.双曲线＋＝1，即－＝1，其焦点在x轴上，则解得4<m<8，则焦点到渐近线的距离d＝∈(0，2).]

8.答案为：16.

解析：[由题意知F2(c，0)，不妨令点M在渐近线y＝x上，由题意可知|F2M|＝＝b，所以|OM|＝＝a.由S△OMF2＝16，可得ab＝16，即ab＝32，又a2＋b2＝c2，＝，所以a＝8，b＝4，c＝4，所以双曲线C的实轴长为16.]

9.答案为：－1,2.

解析：[设椭圆的右焦点为F(c，0)，双曲线N的渐近线与椭圆M在第一象限内的交点为A，由题意可知A(c,c)，由点A在椭圆M上得，＋＝1，∴b2c2＋3a2c2＝4a2b2，∵b2＝a2－c2，∴(a2－c2)c2＋3a2c2＝4a2(a2－c2)，∴4a4－8a2c2＋c4＝0，∴e－8e＋4＝0，∴e＝4±2，∴e椭＝＋1(舍去)或e椭＝－1，∴椭圆M的离心率为－1.

∵双曲线的渐近线过点A(c,c)，∴渐近线方程为y＝x，∴＝，故双曲线的离心率e双＝＝2.]

10.答案为：0,3.

解析：[由题意得椭圆的半焦距满足c＝4－m，双曲线的半焦距满足c＝1＋n，

又因为两曲线有相同的焦点，所以4－m＝1＋n，即m＋n＝3，

则4e－e＝4×－(1＋n)＝3－(m＋n)＝0.

不妨设F1，F2分别为两曲线的左、右焦点，点P为两曲线在第一象限的交点，

则解得 则|PF1|·|PF2|＝3.]

11.答案为：(2，8).

解析：[如图，由已知可得a＝1，b＝，c＝2，

从而|F1F2|＝4，由对称性不妨设P在右支上，设|PF2|＝m，则|PF1|＝m＋2a＝m＋2，

由于△PF1F2为锐角三角形，结合实际意义需满足

解得－1＋<m<3，又|PF1|＋|PF2|＝2m＋2，∴2<2m＋2<8.]

12.答案为：x2﹣＝1(x≤﹣1).

如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和B.

根据两圆外切的条件，得|MC1|﹣|AC1|＝|MA|，|MC2|﹣|BC2|＝|MB|.因为|MA|＝|MB|，所以|MC1|﹣|AC1|＝|MC2|﹣|BC2|，即|MC2|﹣|MC1|＝|BC2|﹣|AC1|＝2，所以点M到两定点C1，C2的距离的差是常数且小于|C1C2|.根据双曲线的定义，得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大，与C1的距离小)，其中a＝1，c＝3，则b2＝8.故点M的轨迹方程为x2﹣＝1(x≤﹣1).

三              、解答题

13.解：(1)因为椭圆＋＝1的长轴端点为A1(－5,0)，A2(5,0)，

所以所求双曲线的焦点为F1(－5,0)，F2(5,0).由双曲线的定义知，

||PF1|－|PF2||＝错误！未找到引用源。＝＝8，即2a＝8，则a＝4.

又c＝5，所以b2＝c2－a2＝9.

故所求双曲线的标准方程为－＝1.

(2)设双曲线的方程为Ax2＋By2＝1(AB<0)，

分别将点P1(3，－4)，P2(，5)代入，

得，解得，

故所求双曲线的标准方程为－＝1.

14.解：(1)因为双曲线的渐近线方程为y＝±x，所以a＝b，

所以c2＝a2＋b2＝2a2＝4，所以a2＝b2＝2，

所以双曲线的方程为﹣＝1.

(2)设点A的坐标为(x0，y0)，

所以直线AO的斜率满足·(﹣)＝﹣1，所以x0＝y0，①

依题意，圆的方程为x2＋y2＝c2，

将①代入圆的方程得3y＋y＝c2，即y0＝c，

所以x0＝c，所以点A的坐标为，

代入双曲线方程得﹣＝1，即b2c2﹣a2c2＝a2b2，②

又因为a2＋b2＝c2，

所以将b2＝c2﹣a2代入②式，整理得c4﹣2a2c2＋a4＝0，

所以34﹣82＋4＝0，

所以(3e2﹣2)(e2﹣2)＝0，

因为e＞1，所以e＝，

所以双曲线的离心率为.