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2021-2022学年江苏省连云港市灌南县、赣榆区八年级（下）期末数学试卷(含解析)
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这是一份2021-2022学年江苏省连云港市灌南县、赣榆区八年级（下）期末数学试卷(含解析)，共27页。试卷主要包含了选择题，四象限，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年江苏省连云港市灌南县、赣榆区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题。（本大题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上。）
1．下列手机手势解锁图案中，属于中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．要使式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＜2 B．x≥2 C．x≤2 D．x≠2
4．在一个不透明的口袋中有白球、黑球共10个，这些球除颜色外均相同，将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球并记下颜色后放回口袋中，多次摸球后发现摸到白球的频率稳定在60%，则估计口袋中的白球数量有（ ）
A．2个 B．4个 C．6个 D．10个
5．如图，在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、AC、BC的中点，要判定四边形DBFE是菱形，下列所添加条件不正确的是（ ）
A．AB＝AC B．AB＝BC C．BE平分∠ABC D．EF＝CF
6．反比例函数y＝﹣，下列说法不正确的是（ ）
A．y随x的增大而增大 B．图象位于第二、四象限
C．图象关于直线y＝x对称 D．图象经过点（﹣1，1）
7．已知关于x的分式方程的解为非负数，则满足条件的所有正整数m的个数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．如图，矩形ABCD中，AB＝9，BC＝12，点F在CD上，且DF＝5，E是BC边上的一动点，M，N分别是AE、EF的中点，则在点E从B向C运动的过程中，线段MN所扫过的图形面积是（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
二、填空题。（本大题共8小题，每小题3分，本大题共24分。不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡相应位置上。）
9．化简二次根式：＝ ．
10．分式和的最简公分母为 ．
11．若分式的值为零，那么x的值为 ．
12．设A，B，C，D是反比例函数y＝图象上的任意四点，现有以下结论：
①四边形ABCD可以是平行四边形；
②四边形ABCD可以是菱形；
③四边形ABCD不可能是矩形；
④四边形ABCD不可能是正方形．
其中正确的是 ．（写出所有正确结论的序号）
13．计算：＝ ．
14．点（a﹣1，y1）、（a+1，y2）在反比例函数y＝（k＜0）的图象上，若y1＞y2，则a的取值范围是 ．
15．如图，在▱ABCD中，∠ABC的平分线BE与AD交于点E，F为CD的中点，且EF平分∠BED．若AB＝4，DE＝1，则BE＝ ．
16．如图，在平面直角坐标系中，点A在函数的图象上，点B在函数的图象上，AB∥x轴，点C是y轴上一点，线段AC与x轴正半轴交于点D．若△ABC的面积为8，，则k的值为 ．
三、解答题。（本大题共10小题，共102分。请在答题卡上指定区域内作答。解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．计算：
（1）；
（2）．
18．解分式方程：
（1）；
（2）．
19．先化简，再求值：，其中．
20．某校为了培养学生对航天知识的学习兴趣，组织全校800名学生进行了“航天知识竞赛”，教务处从中随机抽取了n名学生的竞赛成绩，并得到如下不完整的频数分布表、扇形统计图和频数分布直方图．根据图中信息，解答下列问题：
分组
频数
A：60≤x＜70
a
B：70≤x＜80
18
C：80≤x＜90
24
D：90≤x＜100
b
（1）n的值为 ，a的值为 ，b的值为 ；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）计算扇形统计图中表示“C”的扇形圆心角的度数为 °；
（4）若规定学生竞赛成绩x≥80为优秀，请估算全校竞赛成绩达到优秀的学生人数．
21．如图，等腰△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC交BC于D点，E点是AB的中点，分别过D，E两点作线段AC的垂线，垂足分别为G，F两点．
（1）求证：四边形DEFG为矩形；
（2）若AB＝10，EF＝4，求CG的长．
22．某医药研究所研制了一种新药，在试验药效时发现：成人按规定剂量服用后，检测到从第5分钟起每分钟每毫升血液中含药量增加0.2微克，第100分钟达到最高，接着开始衰退．血液中含药量y（微克）与时间x（分钟）的函数关系如图．并发现衰退时y与x成反比例函数关系．
（1）a＝ ；
（2）当5≤x≤100时，y与x之间的函数关系式为 ；当x＞100时，y与x之间的函数关系式为 ；
（3）如果每毫升血液中含药量不低于10微克时是有效的，求出一次服药后的有效时间多久？
23．2022年北京冬奥会吉祥物冰墩墩深受大家的喜欢．某商家两次购进冰墩墩进行销售，第一次用22000元，很快销售一空，第二次又用48000元购进同款冰墩墩，所购进数量是第一次的2倍，但单价贵了10元．
（1）求该商家第一次购进冰墩墩多少个？
（2）若所有冰墩墩都按相同的标价销售，要求全部销售完后的利润率不低于20%（不考虑其他因素），那么每个冰墩墩的标价至少为多少元？
24．材料一：两个含有二次根式而非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式．
例如：，则的一个有理化因式是．的一个有理化因式是．
材料二：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同时乘以分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化．
例如：．
请你仿照材料中的方法探索并解决下列问题：
（1）的有理化因式为 ，的有理化因式为 ；（均写出一个即可）
（2）计算：；
（3）当2≤a≤4时，求代数式的最大值．
25．在平面直角坐标系中，▱OABC的对角线AC⊥x轴，其顶点A在反比例函数的图象上，点C在一次函数的图象上，若一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点D（m，1），△OCD的面积为9．
（1）m＝ ；k＝ ；
（2）结合图象直接写出不等式的解集；
（3）求点B的坐标，并判断点B是否在反比例函数的图象上；
（4）若将▱OABC沿射线CD的方向平移m个单位，在平移的过程中，若反比例函数图象与边CB始终有交点，请你直接写出m的取值范围．
26．如图，点C在线段AB上，分别以AC、BC为边在线段AB的同侧作正方形ACFG和正方形BCDE，连接GE，点M是GE的中点，连接MD、MF．
（1）尝试探究：
结论1：MD、MF的数量关系是 ；
结论2：MD、MF的位置关系是 ；
（2）将图1中的正方形BCDE绕点C按顺时针方向旋转．
①如图2，当点B恰好落在边FC的延长线上，连接GE，点M是GE的中点，连接MD，MF，请问（1）中的两个结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；
②若AC＝2，BC＝2，在旋转过程中，当D，E，F三点在一条直线上时，请直接写出ME的长．
参考答案
一、选择题。（本大题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上。）
1．下列手机手势解锁图案中，属于中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
解：A、不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：C．
【点评】此题主要考查了中心对称图形的概念．要注意，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
解：A．2﹣＝，故此选项不合题意；
B．3÷＝，故此选项符合题意；
C．+无法合并，故此选项不合题意；
D．（2）2＝12，故此选项不合题意；
故选：B．
【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
3．要使式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＜2 B．x≥2 C．x≤2 D．x≠2
解：由题意得2﹣x＞0，
解得x＜2，
故选：A．
【点评】本题考查的是代数式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为0解题的关键．
4．在一个不透明的口袋中有白球、黑球共10个，这些球除颜色外均相同，将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球并记下颜色后放回口袋中，多次摸球后发现摸到白球的频率稳定在60%，则估计口袋中的白球数量有（ ）
A．2个 B．4个 C．6个 D．10个
解：估计口袋中的白球数量有10×60%＝6（个），
故选：C．
【点评】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．
5．如图，在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、AC、BC的中点，要判定四边形DBFE是菱形，下列所添加条件不正确的是（ ）
A．AB＝AC B．AB＝BC C．BE平分∠ABC D．EF＝CF
解：当AB＝BC时，四边形DBFE是菱形；
理由：∵点D、E、F分别是边AB、AC、BC的中点，
∴DE∥BC，EF∥AB，
∴四边形DBFE是平行四边形，
∵DE＝BC，EF＝AB，
∴DE＝EF，
∴四边形DBFE是菱形．
故B正确，不符合题意，
当BE平分∠ABC时，可证BD＝DE，可得四边形DBFE是菱形，
当EF＝FC，可证EF＝BF，可得四边形DBFE是菱形，
故C、D不符合题意，
故选：A．
【点评】本题考查三角形的中位线定理，平行四边形的判定和性质，菱形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握三角形中位线定理，属于中考常考题型．
6．反比例函数y＝﹣，下列说法不正确的是（ ）
A．y随x的增大而增大 B．图象位于第二、四象限
C．图象关于直线y＝x对称 D．图象经过点（﹣1，1）
解：A、k＝﹣1＜0，图象在第二、四象限，在每个象限内y随x的增大而增大，故本选项说法错误；
B、k＝﹣1＜0，∴它的图象在第二、四象限，故本选项说法正确；
C、由反比例函数图象的对称性，可知反比例函数y＝﹣的图象关于y＝x对称，故本选项说法正确；
D、∵﹣＝1，∴点（﹣1，1）在它的图象上，故本选项正确；
故选：A．
【点评】考查反比例函数的性质，当k＜0时，在每个象限内y随x的增大而增大的性质、反比例函数的图象是轴对称图象，y＝x和y＝﹣x是它的对称轴，同时也是中心对称图形；熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征和反比例函数图象和性质是解答此题的基础；多方面、多角度考查反比例函数的图象和性质．
7．已知关于x的分式方程的解为非负数，则满足条件的所有正整数m的个数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
解：由2﹣，
得2（x﹣1）+m＝3，
解得x＝，
∵分式方程的解为非负数，
∴≥0，
∵x﹣1≠0，
即≠1，
∴，
解得m≤5且m≠3，
∴满足条件的所有正整数m为1，2，4，5，共4个．
故选：B．
【点评】本题考查分式方程的解，解分式方程的一般步骤：（1）方程两边同乘最简公分母将分式方程化为整式方程；（2）解整式方程；（3）检验整式方程的解是否为分式方程的解．
8．如图，矩形ABCD中，AB＝9，BC＝12，点F在CD上，且DF＝5，E是BC边上的一动点，M，N分别是AE、EF的中点，则在点E从B向C运动的过程中，线段MN所扫过的图形面积是（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
解：如图所示：当点P与B点重合时，点M位于AB中点，点N位于PG中点；
当点P'与C点重合时，点M'位于AC中点，点N'位于P'G中点；
∵M是AB的中点，M'是AC的中点，N是PG的中点，点N'是P'G中点，
∴MM'、NN'分别是△ABC、△GBC的中位线，
∴MM'∥BC且MM'＝BC，NN'∥BC且NN'＝BC，
∴四边形MM'NN'为平行四边形，
∴MN扫过的区域为平行四边形，
∴S＝BC•（AB﹣GC）＝×12×（×9﹣×4）＝15，
故选：C．
【点评】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，三角形的面积，三角形的中位线定理等知识，解题的关键是熟练运用相关性质和定理．
二、填空题。（本大题共8小题，每小题3分，本大题共24分。不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡相应位置上。）
9．化简二次根式：＝ ．
解：＝＝2．
【点评】化简二次根式的过程，一般按以下步骤：把根号下的带分数或绝对值大于1的小数化成假分数，把绝对值小于1的小数化成分数；被开方数是多项式的要因式分解；使被开方数不含分母；将被开方数中能开的尽方的因数或因式用它的算术平方根代替后移到根号外面；化去分母中的根号；约分．
10．分式和的最简公分母为 6x2y2 ．
解：分式，的最简公分母为6x2y2；
故答案为：6x2y2．
【点评】本题考查了最简公分母，熟练掌握最简公分母的相关知识是解题的关键．
11．若分式的值为零，那么x的值为 2 ．
解：∵分式的值为零，
∴x﹣2＝0且2x﹣3≠0，
解得x＝2，
故答案为：2．
【点评】此题主要考查了分式的值为零的条件，正确把握定义是解题关键．
12．设A，B，C，D是反比例函数y＝图象上的任意四点，现有以下结论：
①四边形ABCD可以是平行四边形；
②四边形ABCD可以是菱形；
③四边形ABCD不可能是矩形；
④四边形ABCD不可能是正方形．
其中正确的是 ①④ ．（写出所有正确结论的序号）
解：如图，过点O任意作两条直线分别交反比例函数的图象于A，C，B，D，得到四边形ABCD．
由对称性可知，OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
当直线AC和直线BD关于直线y＝x对称时，此时OA＝OC＝OB＝OD，即四边形ABCD是矩形．
∵反比例函数的图象在一，三象限，
∴直线AC与直线BD不可能垂直，
∴四边形ABCD不可能是菱形或正方形，
故选项①④正确，
故答案为：①④．
【点评】本题考查反比例函数的性质，平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
13．计算：＝ 2﹣ ．
解：原式＝（2﹣）2021×（2+）2021×（2﹣）
＝[（2﹣）×（2+）]2021×（2﹣）
＝1×（2﹣）
＝2﹣．
故答案为：2﹣．
【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确将原式变形是解题关键．
14．点（a﹣1，y1）、（a+1，y2）在反比例函数y＝（k＜0）的图象上，若y1＞y2，则a的取值范围是 ﹣1＜a＜1 ．
解：∵k＜0，
∴在图象的每一支上，y随x的增大而增大，
①当点（a﹣1，y1）、（a+1，y2）在图象的同一支上，
∵y1＞y2，
∴a﹣1＞a+1，
解得：无解；
②当点（a﹣1，y1）、（a+1，y2）在图象的两支上，
∵y1＞y2，
∴a﹣1＜0，a+1＞0，
解得：﹣1＜a＜1，
故答案为：﹣1＜a＜1．
【点评】此题主要考查了反比例函数的性质，关键是掌握当k＜0时，在图象的每一支上，y随x的增大而增大．
15．如图，在▱ABCD中，∠ABC的平分线BE与AD交于点E，F为CD的中点，且EF平分∠BED．若AB＝4，DE＝1，则BE＝ 6 ．
解：延长EF和BC，交于点G，如图所示，
在▱ABCD中，∠ABC的平分线BE与AD交于点E，
∴∠ABE＝∠CBE，AD∥BC，AD＝BC，
∴∠AEB＝∠EBC，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AB＝AE＝4，
∴AD＝BC＝4+1＝5，
又∵∠BED的平分线EF与DC交于点F，
∴∠BEG＝∠DEG，
∵AD∥BC，
∴∠G＝∠DEF，
∴∠BEG＝∠G，
∴BG＝BE，
∵F为CD的中点，
∴CF＝DF，
∵∠G＝∠DEF，∠GFC＝∠DFE，CF＝DF，
∴△CGF≌△DEF（AAS），
∴CG＝DE＝1，
∴BE＝BG＝5+1＝6．
故答案为：6．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定，解决问题的关键是掌握平行四边形的性质．
16．如图，在平面直角坐标系中，点A在函数的图象上，点B在函数的图象上，AB∥x轴，点C是y轴上一点，线段AC与x轴正半轴交于点D．若△ABC的面积为8，，则k的值为 ﹣4 ．
解：∵△ABC的面积为8，，
∴△ABD的面积为×8＝5，
如图，连接OA，OB，设AB与y轴交于点P，
∵△AOB与△ADB同底等高，
∴S△AOB＝S△ADB，
∵AB∥x轴，
∴AB⊥y轴，
∵点A在函数的图象上，点B在函数的图象上，
∴S△AOP＝3，S△BOP＝|k|，
∴S△ABD＝S△AOB＝S△AOP+S△BOP＝3+|k|＝5．
解得k＝﹣4，（正值舍去）
故答案为：﹣4．
【点评】本题考查的是反比例函数系数k的几何意义，即在反比例函数y＝的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变．也考查了三角形的面积．
三、解答题。（本大题共10小题，共102分。请在答题卡上指定区域内作答。解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．计算：
（1）；
（2）．
解：（1）
＝3﹣4+2
＝；
（2）
＝﹣（3﹣2）
＝4﹣3+2
＝1+2．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
18．解分式方程：
（1）；
（2）．
解：（1），
﹣＝4，
方程两边都乘2x﹣3，得x﹣5＝4（2x﹣3），
解得：x＝1，
检验：当x＝1时，2x﹣3≠0，
所以x＝1是原方程的解，
即原方程的解是x＝1；
（2），
﹣＝，
方程两边都乘3（3x﹣1），得1﹣3x＝2（3x﹣1），
解得：x＝，
检验：当x＝时，3（3x﹣1）＝0，
所以x＝增根，
即原方程无解．
【点评】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．
19．先化简，再求值：，其中．
解：原式＝÷
＝•
＝，
当x＝+1时，
原式＝
＝．
【点评】本题考查分式化简求值，解题的关键是掌握分式的基本性质，将分式通分和约分，进行化简．
20．某校为了培养学生对航天知识的学习兴趣，组织全校800名学生进行了“航天知识竞赛”，教务处从中随机抽取了n名学生的竞赛成绩，并得到如下不完整的频数分布表、扇形统计图和频数分布直方图．根据图中信息，解答下列问题：
分组
频数
A：60≤x＜70
a
B：70≤x＜80
18
C：80≤x＜90
24
D：90≤x＜100
b
（1）n的值为 60 ，a的值为 6 ，b的值为 12 ；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）计算扇形统计图中表示“C”的扇形圆心角的度数为 144 °；
（4）若规定学生竞赛成绩x≥80为优秀，请估算全校竞赛成绩达到优秀的学生人数．
解：（1）n＝18÷30%＝60，
∴a＝60×10%＝6，
∴b＝60﹣6﹣18﹣24＝12，
故答案为：60，6，12；
（2）补全频数分布直方图如下：
（3）扇形统计图中表示“C”的扇形圆心角的度数为：360°×＝144°，
故答案为：144；
（3）估算全校竞赛成绩达到优秀的学生人数为：800×＝480（人）．
【点评】本题考查频数分布直方图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确统计图的特点和中位数的含义，利用数形结合的思想解答．
21．如图，等腰△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC交BC于D点，E点是AB的中点，分别过D，E两点作线段AC的垂线，垂足分别为G，F两点．
（1）求证：四边形DEFG为矩形；
（2）若AB＝10，EF＝4，求CG的长．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴点D是BC的中点．
∵E点是AB的中点，
∴DE是△ABC的中位线．
∴DE∥AC.
∵DG⊥AC，EF⊥AC，
∴EF∥DG．
∴四边形DEFG是平行四边形．
又∵∠EFG＝90°，
∴四边形DEFG为矩形；
（2）∵AD⊥BC交BC于D点，E点是AB的中点，AB＝10，
∴DE＝AE＝BC＝5．
由（1）知，四边形DEFG为矩形，则GF＝DE＝5．
在直角△AEF中，EF＝4，AE＝5，由勾股定理得：AF＝＝＝3．
∵AB＝AC＝10，FG＝ED＝5，
∴GC＝AC﹣FG﹣AF＝10﹣5﹣3＝2．
【点评】本题主要考查了矩形的判定与性质，等腰三角形的性质以及直角三角形斜边上的中线，根据题意找到长度相等的线段是解题的关键．
22．某医药研究所研制了一种新药，在试验药效时发现：成人按规定剂量服用后，检测到从第5分钟起每分钟每毫升血液中含药量增加0.2微克，第100分钟达到最高，接着开始衰退．血液中含药量y（微克）与时间x（分钟）的函数关系如图．并发现衰退时y与x成反比例函数关系．
（1）a＝ 19 ；
（2）当5≤x≤100时，y与x之间的函数关系式为 y＝0.2x﹣1 ；当x＞100时，y与x之间的函数关系式为 y＝ ；
（3）如果每毫升血液中含药量不低于10微克时是有效的，求出一次服药后的有效时间多久？
解：（1）a＝0.2×（100﹣5）＝19；
（2）当5≤x≤100时，设y与x之间的函数关系式为y＝k1x+b
∵经过点（5，0），（100，19）
∴
解得：，
∴解析式为y＝0.2x﹣1；
当x＞100时，y与x之间的函数关系式为y＝，
∵经过点（100，19），
∴＝19
解得：k＝1900，
∴函数的解析式为y＝；
（3）令y＝0.2x﹣1＝10解得：x＝55，
令y＝＝10，解得：x＝190
∴190﹣55＝135分钟，
∴服药后能持续135分钟；
【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数的实际应用，根据已知点得出函数的解析式是解题关键．
23．2022年北京冬奥会吉祥物冰墩墩深受大家的喜欢．某商家两次购进冰墩墩进行销售，第一次用22000元，很快销售一空，第二次又用48000元购进同款冰墩墩，所购进数量是第一次的2倍，但单价贵了10元．
（1）求该商家第一次购进冰墩墩多少个？
（2）若所有冰墩墩都按相同的标价销售，要求全部销售完后的利润率不低于20%（不考虑其他因素），那么每个冰墩墩的标价至少为多少元？
解：（1）设第一次购进冰墩墩x个，则第二次购进冰墩墩2x个，
根据题意得：＝﹣10，
解得：x＝200，
经检验，x＝200是原方程的解，且符合题意，
答：该商家第一次购进冰墩墩200个．
（2）由（1）知，第二次购进冰墩墩的数量为400个．
设每个冰墩墩的标价为a元，
由题意得：（200+400）a≥（1+20%）（22000+48000），
解得：a≥140，
答：每个冰墩墩的标价至少为140元．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式．
24．材料一：两个含有二次根式而非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式．
例如：，则的一个有理化因式是．的一个有理化因式是．
材料二：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同时乘以分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化．
例如：．
请你仿照材料中的方法探索并解决下列问题：
（1）的有理化因式为 （答案不唯一） ，的有理化因式为 （答案不唯一） ；（均写出一个即可）
（2）计算：；
（3）当2≤a≤4时，求代数式的最大值．
解：（1）的有理化因式为，的有理化因式为，
故答案为：，（答案不唯一）；
（2）
＝++﹣+...+
＝；
（3）
＝
＝
＝，
∵2≤a≤4，
∴要使代数式有最大值，则a＝2，
∴
＝
＝2﹣．
【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握与运用．
25．在平面直角坐标系中，▱OABC的对角线AC⊥x轴，其顶点A在反比例函数的图象上，点C在一次函数的图象上，若一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点D（m，1），△OCD的面积为9．
（1）m＝ 8 ；k＝ 8 ；
（2）结合图象直接写出不等式的解集；
（3）求点B的坐标，并判断点B是否在反比例函数的图象上；
（4）若将▱OABC沿射线CD的方向平移m个单位，在平移的过程中，若反比例函数图象与边CB始终有交点，请你直接写出m的取值范围．
解：（1）∵y1＝，y，
将D（m，1）代入得：，
∴m＝8，k＝8，
故答案为：8；8；
（2）∵y1＝，y，
根据图象y1＞y2的部分为0＜x＜8，
∴不等式的解集为0＜x＜8；
（3）对于y，当x＝0时，y＝﹣3，
∴OE＝3，
∵△OCD的面积为9且S△OCD＝S△OED﹣S△OEC，
∵C在y2上，设点C的横坐标为x，
∴9＝x，
∴x＝2，
∴y＝﹣2，
∴C（2，﹣2），
∵AC⊥x轴，
∴点A的横坐标为2，
∴A（2，4），
由平移知，B（4，2），
当x＝4时，y＝，
∴点B在反比例函数y＝上；
（4）当平行四边形OABC在平移过程中，平移时的四个顶点O'，A'，B'，C'，
当C'在CD上移动时，B'C'始终与y1有交点，
当C与D重合时，B'C'与y1刚好有最后一个交点，若继续平移，则B'，C'与y1没有交点，
∴m＝3，
∴0．
【点评】本题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数与一次函数图象的交点问题，函数与不等式的关系，三角形的面积，平移的性质等知识，运用数形结合思想是解题的关键．
26．如图，点C在线段AB上，分别以AC、BC为边在线段AB的同侧作正方形ACFG和正方形BCDE，连接GE，点M是GE的中点，连接MD、MF．
（1）尝试探究：
结论1：MD、MF的数量关系是 MD＝MF ；
结论2：MD、MF的位置关系是 MD⊥MF ；
（2）将图1中的正方形BCDE绕点C按顺时针方向旋转．
①如图2，当点B恰好落在边FC的延长线上，连接GE，点M是GE的中点，连接MD，MF，请问（1）中的两个结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；
②若AC＝2，BC＝2，在旋转过程中，当D，E，F三点在一条直线上时，请直接写出ME的长．
解：（1）延长DM交GF于点H，
∵GF∥DE，
∴∠GHM＝∠MDE，∠HGM＝∠MED，
∵M是GE的中点，
∴GM＝ME，
∴△GMH≌△EMD（ASA），
∴MH＝MD，DE＝GH，
∵∠HFM＝90°，
∴MF＝MD；
∵GF＝CF，DE＝CD，
∴GF﹣GH＝CF﹣CD，即HF＝DF，
∴△HFD是等腰直角三角形，
∴MF⊥MD；
故答案为：MF＝MD，MF⊥MD；
（2）①仍然成立，如图2，延长DM交AG的延长线于N，连接NF，DF，
在正方形BCDE中，DE∥BC，CD＝DE，
在正方形ACFG中，AG∥BF，CF＝GF
∴AG∥DE，
∴∠MED＝∠MGN，
∵点M是线段GE的中点，
∴GM＝EM，
∵∠DME＝∠NMG，
∴△DME≌△NMG（ASA），
∴NG＝DE，MN＝MD，
∵CD＝DE，
∴NG＝CD，
∴△GFN≌△CFD（SAS），
∴NF＝DF，∠GFN＝∠CFD，
∴∠GFN+∠CFN＝∠CFD+∠CFN，
即：∠CFG＝∠DFN，
∵∠CFG＝90°，
∴△DFN是等腰直角三角形，
∵MN＝MD，
∴MF＝MD，MF⊥MD；
②如图3，当D点在EF上时，
过点E作EP⊥MD交延长线于P，
∵FM＝FD，FM⊥MD，
∴FD＝MD，∠MDF＝45°，
∵AC＝2，BC＝2，
在Rt△FCD中，FD＝6，
∴MD＝3，
在Rt△DEP中，DP＝，
∴MP＝MD+DP＝4，
在Rt△MPE中，ME＝；
如图4，当E点在DF上时，
过M作MQ⊥DF交于Q，
∵MD＝MF，MD⊥MF，
∴MQ＝DF，
在Rt△CDF中，DF＝6，
∴DF＝DQ＝MQ＝3，
∴EQ＝3﹣2＝1，
在Rt△MEQ中，ME＝；
综上所述：ME＝或．
【点评】本题是四边形的综合题，熟练掌握正方形的性质，三角形全等的判定及性质，直角三角形勾股定理，分类讨论，数形结合是解题的关键．
2021-2022学年江苏省连云港市灌南县、赣榆区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题。（本大题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上。）
1．下列手机手势解锁图案中，属于中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．要使式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＜2 B．x≥2 C．x≤2 D．x≠2
4．在一个不透明的口袋中有白球、黑球共10个，这些球除颜色外均相同，将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球并记下颜色后放回口袋中，多次摸球后发现摸到白球的频率稳定在60%，则估计口袋中的白球数量有（ ）
A．2个 B．4个 C．6个 D．10个
5．如图，在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、AC、BC的中点，要判定四边形DBFE是菱形，下列所添加条件不正确的是（ ）
A．AB＝AC B．AB＝BC C．BE平分∠ABC D．EF＝CF
6．反比例函数y＝﹣，下列说法不正确的是（ ）
A．y随x的增大而增大 B．图象位于第二、四象限
C．图象关于直线y＝x对称 D．图象经过点（﹣1，1）
7．已知关于x的分式方程的解为非负数，则满足条件的所有正整数m的个数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．如图，矩形ABCD中，AB＝9，BC＝12，点F在CD上，且DF＝5，E是BC边上的一动点，M，N分别是AE、EF的中点，则在点E从B向C运动的过程中，线段MN所扫过的图形面积是（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
二、填空题。（本大题共8小题，每小题3分，本大题共24分。不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡相应位置上。）
9．化简二次根式：＝ ．
10．分式和的最简公分母为 ．
11．若分式的值为零，那么x的值为 ．
12．设A，B，C，D是反比例函数y＝图象上的任意四点，现有以下结论：
①四边形ABCD可以是平行四边形；
②四边形ABCD可以是菱形；
③四边形ABCD不可能是矩形；
④四边形ABCD不可能是正方形．
其中正确的是 ．（写出所有正确结论的序号）
13．计算：＝ ．
14．点（a﹣1，y1）、（a+1，y2）在反比例函数y＝（k＜0）的图象上，若y1＞y2，则a的取值范围是 ．
15．如图，在▱ABCD中，∠ABC的平分线BE与AD交于点E，F为CD的中点，且EF平分∠BED．若AB＝4，DE＝1，则BE＝ ．
16．如图，在平面直角坐标系中，点A在函数的图象上，点B在函数的图象上，AB∥x轴，点C是y轴上一点，线段AC与x轴正半轴交于点D．若△ABC的面积为8，，则k的值为 ．
三、解答题。（本大题共10小题，共102分。请在答题卡上指定区域内作答。解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．计算：
（1）；
（2）．
18．解分式方程：
（1）；
（2）．
19．先化简，再求值：，其中．
20．某校为了培养学生对航天知识的学习兴趣，组织全校800名学生进行了“航天知识竞赛”，教务处从中随机抽取了n名学生的竞赛成绩，并得到如下不完整的频数分布表、扇形统计图和频数分布直方图．根据图中信息，解答下列问题：
分组
频数
A：60≤x＜70
a
B：70≤x＜80
18
C：80≤x＜90
24
D：90≤x＜100
b
（1）n的值为 ，a的值为 ，b的值为 ；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）计算扇形统计图中表示“C”的扇形圆心角的度数为 °；
（4）若规定学生竞赛成绩x≥80为优秀，请估算全校竞赛成绩达到优秀的学生人数．
21．如图，等腰△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC交BC于D点，E点是AB的中点，分别过D，E两点作线段AC的垂线，垂足分别为G，F两点．
（1）求证：四边形DEFG为矩形；
（2）若AB＝10，EF＝4，求CG的长．
22．某医药研究所研制了一种新药，在试验药效时发现：成人按规定剂量服用后，检测到从第5分钟起每分钟每毫升血液中含药量增加0.2微克，第100分钟达到最高，接着开始衰退．血液中含药量y（微克）与时间x（分钟）的函数关系如图．并发现衰退时y与x成反比例函数关系．
（1）a＝ ；
（2）当5≤x≤100时，y与x之间的函数关系式为 ；当x＞100时，y与x之间的函数关系式为 ；
（3）如果每毫升血液中含药量不低于10微克时是有效的，求出一次服药后的有效时间多久？
23．2022年北京冬奥会吉祥物冰墩墩深受大家的喜欢．某商家两次购进冰墩墩进行销售，第一次用22000元，很快销售一空，第二次又用48000元购进同款冰墩墩，所购进数量是第一次的2倍，但单价贵了10元．
（1）求该商家第一次购进冰墩墩多少个？
（2）若所有冰墩墩都按相同的标价销售，要求全部销售完后的利润率不低于20%（不考虑其他因素），那么每个冰墩墩的标价至少为多少元？
24．材料一：两个含有二次根式而非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式．
例如：，则的一个有理化因式是．的一个有理化因式是．
材料二：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同时乘以分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化．
例如：．
请你仿照材料中的方法探索并解决下列问题：
（1）的有理化因式为 ，的有理化因式为 ；（均写出一个即可）
（2）计算：；
（3）当2≤a≤4时，求代数式的最大值．
25．在平面直角坐标系中，▱OABC的对角线AC⊥x轴，其顶点A在反比例函数的图象上，点C在一次函数的图象上，若一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点D（m，1），△OCD的面积为9．
（1）m＝ ；k＝ ；
（2）结合图象直接写出不等式的解集；
（3）求点B的坐标，并判断点B是否在反比例函数的图象上；
（4）若将▱OABC沿射线CD的方向平移m个单位，在平移的过程中，若反比例函数图象与边CB始终有交点，请你直接写出m的取值范围．
26．如图，点C在线段AB上，分别以AC、BC为边在线段AB的同侧作正方形ACFG和正方形BCDE，连接GE，点M是GE的中点，连接MD、MF．
（1）尝试探究：
结论1：MD、MF的数量关系是 ；
结论2：MD、MF的位置关系是 ；
（2）将图1中的正方形BCDE绕点C按顺时针方向旋转．
①如图2，当点B恰好落在边FC的延长线上，连接GE，点M是GE的中点，连接MD，MF，请问（1）中的两个结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；
②若AC＝2，BC＝2，在旋转过程中，当D，E，F三点在一条直线上时，请直接写出ME的长．
参考答案
一、选择题。（本大题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上。）
1．下列手机手势解锁图案中，属于中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
解：A、不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：C．
【点评】此题主要考查了中心对称图形的概念．要注意，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
解：A．2﹣＝，故此选项不合题意；
B．3÷＝，故此选项符合题意；
C．+无法合并，故此选项不合题意；
D．（2）2＝12，故此选项不合题意；
故选：B．
【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
3．要使式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＜2 B．x≥2 C．x≤2 D．x≠2
解：由题意得2﹣x＞0，
解得x＜2，
故选：A．
【点评】本题考查的是代数式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为0解题的关键．
4．在一个不透明的口袋中有白球、黑球共10个，这些球除颜色外均相同，将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球并记下颜色后放回口袋中，多次摸球后发现摸到白球的频率稳定在60%，则估计口袋中的白球数量有（ ）
A．2个 B．4个 C．6个 D．10个
解：估计口袋中的白球数量有10×60%＝6（个），
故选：C．
【点评】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．
5．如图，在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、AC、BC的中点，要判定四边形DBFE是菱形，下列所添加条件不正确的是（ ）
A．AB＝AC B．AB＝BC C．BE平分∠ABC D．EF＝CF
解：当AB＝BC时，四边形DBFE是菱形；
理由：∵点D、E、F分别是边AB、AC、BC的中点，
∴DE∥BC，EF∥AB，
∴四边形DBFE是平行四边形，
∵DE＝BC，EF＝AB，
∴DE＝EF，
∴四边形DBFE是菱形．
故B正确，不符合题意，
当BE平分∠ABC时，可证BD＝DE，可得四边形DBFE是菱形，
当EF＝FC，可证EF＝BF，可得四边形DBFE是菱形，
故C、D不符合题意，
故选：A．
【点评】本题考查三角形的中位线定理，平行四边形的判定和性质，菱形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握三角形中位线定理，属于中考常考题型．
6．反比例函数y＝﹣，下列说法不正确的是（ ）
A．y随x的增大而增大 B．图象位于第二、四象限
C．图象关于直线y＝x对称 D．图象经过点（﹣1，1）
解：A、k＝﹣1＜0，图象在第二、四象限，在每个象限内y随x的增大而增大，故本选项说法错误；
B、k＝﹣1＜0，∴它的图象在第二、四象限，故本选项说法正确；
C、由反比例函数图象的对称性，可知反比例函数y＝﹣的图象关于y＝x对称，故本选项说法正确；
D、∵﹣＝1，∴点（﹣1，1）在它的图象上，故本选项正确；
故选：A．
【点评】考查反比例函数的性质，当k＜0时，在每个象限内y随x的增大而增大的性质、反比例函数的图象是轴对称图象，y＝x和y＝﹣x是它的对称轴，同时也是中心对称图形；熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征和反比例函数图象和性质是解答此题的基础；多方面、多角度考查反比例函数的图象和性质．
7．已知关于x的分式方程的解为非负数，则满足条件的所有正整数m的个数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
解：由2﹣，
得2（x﹣1）+m＝3，
解得x＝，
∵分式方程的解为非负数，
∴≥0，
∵x﹣1≠0，
即≠1，
∴，
解得m≤5且m≠3，
∴满足条件的所有正整数m为1，2，4，5，共4个．
故选：B．
【点评】本题考查分式方程的解，解分式方程的一般步骤：（1）方程两边同乘最简公分母将分式方程化为整式方程；（2）解整式方程；（3）检验整式方程的解是否为分式方程的解．
8．如图，矩形ABCD中，AB＝9，BC＝12，点F在CD上，且DF＝5，E是BC边上的一动点，M，N分别是AE、EF的中点，则在点E从B向C运动的过程中，线段MN所扫过的图形面积是（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
解：如图所示：当点P与B点重合时，点M位于AB中点，点N位于PG中点；
当点P'与C点重合时，点M'位于AC中点，点N'位于P'G中点；
∵M是AB的中点，M'是AC的中点，N是PG的中点，点N'是P'G中点，
∴MM'、NN'分别是△ABC、△GBC的中位线，
∴MM'∥BC且MM'＝BC，NN'∥BC且NN'＝BC，
∴四边形MM'NN'为平行四边形，
∴MN扫过的区域为平行四边形，
∴S＝BC•（AB﹣GC）＝×12×（×9﹣×4）＝15，
故选：C．
【点评】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，三角形的面积，三角形的中位线定理等知识，解题的关键是熟练运用相关性质和定理．
二、填空题。（本大题共8小题，每小题3分，本大题共24分。不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡相应位置上。）
9．化简二次根式：＝ ．
解：＝＝2．
【点评】化简二次根式的过程，一般按以下步骤：把根号下的带分数或绝对值大于1的小数化成假分数，把绝对值小于1的小数化成分数；被开方数是多项式的要因式分解；使被开方数不含分母；将被开方数中能开的尽方的因数或因式用它的算术平方根代替后移到根号外面；化去分母中的根号；约分．
10．分式和的最简公分母为 6x2y2 ．
解：分式，的最简公分母为6x2y2；
故答案为：6x2y2．
【点评】本题考查了最简公分母，熟练掌握最简公分母的相关知识是解题的关键．
11．若分式的值为零，那么x的值为 2 ．
解：∵分式的值为零，
∴x﹣2＝0且2x﹣3≠0，
解得x＝2，
故答案为：2．
【点评】此题主要考查了分式的值为零的条件，正确把握定义是解题关键．
12．设A，B，C，D是反比例函数y＝图象上的任意四点，现有以下结论：
①四边形ABCD可以是平行四边形；
②四边形ABCD可以是菱形；
③四边形ABCD不可能是矩形；
④四边形ABCD不可能是正方形．
其中正确的是 ①④ ．（写出所有正确结论的序号）
解：如图，过点O任意作两条直线分别交反比例函数的图象于A，C，B，D，得到四边形ABCD．
由对称性可知，OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
当直线AC和直线BD关于直线y＝x对称时，此时OA＝OC＝OB＝OD，即四边形ABCD是矩形．
∵反比例函数的图象在一，三象限，
∴直线AC与直线BD不可能垂直，
∴四边形ABCD不可能是菱形或正方形，
故选项①④正确，
故答案为：①④．
【点评】本题考查反比例函数的性质，平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
13．计算：＝ 2﹣ ．
解：原式＝（2﹣）2021×（2+）2021×（2﹣）
＝[（2﹣）×（2+）]2021×（2﹣）
＝1×（2﹣）
＝2﹣．
故答案为：2﹣．
【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确将原式变形是解题关键．
14．点（a﹣1，y1）、（a+1，y2）在反比例函数y＝（k＜0）的图象上，若y1＞y2，则a的取值范围是 ﹣1＜a＜1 ．
解：∵k＜0，
∴在图象的每一支上，y随x的增大而增大，
①当点（a﹣1，y1）、（a+1，y2）在图象的同一支上，
∵y1＞y2，
∴a﹣1＞a+1，
解得：无解；
②当点（a﹣1，y1）、（a+1，y2）在图象的两支上，
∵y1＞y2，
∴a﹣1＜0，a+1＞0，
解得：﹣1＜a＜1，
故答案为：﹣1＜a＜1．
【点评】此题主要考查了反比例函数的性质，关键是掌握当k＜0时，在图象的每一支上，y随x的增大而增大．
15．如图，在▱ABCD中，∠ABC的平分线BE与AD交于点E，F为CD的中点，且EF平分∠BED．若AB＝4，DE＝1，则BE＝ 6 ．
解：延长EF和BC，交于点G，如图所示，
在▱ABCD中，∠ABC的平分线BE与AD交于点E，
∴∠ABE＝∠CBE，AD∥BC，AD＝BC，
∴∠AEB＝∠EBC，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AB＝AE＝4，
∴AD＝BC＝4+1＝5，
又∵∠BED的平分线EF与DC交于点F，
∴∠BEG＝∠DEG，
∵AD∥BC，
∴∠G＝∠DEF，
∴∠BEG＝∠G，
∴BG＝BE，
∵F为CD的中点，
∴CF＝DF，
∵∠G＝∠DEF，∠GFC＝∠DFE，CF＝DF，
∴△CGF≌△DEF（AAS），
∴CG＝DE＝1，
∴BE＝BG＝5+1＝6．
故答案为：6．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定，解决问题的关键是掌握平行四边形的性质．
16．如图，在平面直角坐标系中，点A在函数的图象上，点B在函数的图象上，AB∥x轴，点C是y轴上一点，线段AC与x轴正半轴交于点D．若△ABC的面积为8，，则k的值为 ﹣4 ．
解：∵△ABC的面积为8，，
∴△ABD的面积为×8＝5，
如图，连接OA，OB，设AB与y轴交于点P，
∵△AOB与△ADB同底等高，
∴S△AOB＝S△ADB，
∵AB∥x轴，
∴AB⊥y轴，
∵点A在函数的图象上，点B在函数的图象上，
∴S△AOP＝3，S△BOP＝|k|，
∴S△ABD＝S△AOB＝S△AOP+S△BOP＝3+|k|＝5．
解得k＝﹣4，（正值舍去）
故答案为：﹣4．
【点评】本题考查的是反比例函数系数k的几何意义，即在反比例函数y＝的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变．也考查了三角形的面积．
三、解答题。（本大题共10小题，共102分。请在答题卡上指定区域内作答。解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．计算：
（1）；
（2）．
解：（1）
＝3﹣4+2
＝；
（2）
＝﹣（3﹣2）
＝4﹣3+2
＝1+2．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
18．解分式方程：
（1）；
（2）．
解：（1），
﹣＝4，
方程两边都乘2x﹣3，得x﹣5＝4（2x﹣3），
解得：x＝1，
检验：当x＝1时，2x﹣3≠0，
所以x＝1是原方程的解，
即原方程的解是x＝1；
（2），
﹣＝，
方程两边都乘3（3x﹣1），得1﹣3x＝2（3x﹣1），
解得：x＝，
检验：当x＝时，3（3x﹣1）＝0，
所以x＝增根，
即原方程无解．
【点评】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．
19．先化简，再求值：，其中．
解：原式＝÷
＝•
＝，
当x＝+1时，
原式＝
＝．
【点评】本题考查分式化简求值，解题的关键是掌握分式的基本性质，将分式通分和约分，进行化简．
20．某校为了培养学生对航天知识的学习兴趣，组织全校800名学生进行了“航天知识竞赛”，教务处从中随机抽取了n名学生的竞赛成绩，并得到如下不完整的频数分布表、扇形统计图和频数分布直方图．根据图中信息，解答下列问题：
分组
频数
A：60≤x＜70
a
B：70≤x＜80
18
C：80≤x＜90
24
D：90≤x＜100
b
（1）n的值为 60 ，a的值为 6 ，b的值为 12 ；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）计算扇形统计图中表示“C”的扇形圆心角的度数为 144 °；
（4）若规定学生竞赛成绩x≥80为优秀，请估算全校竞赛成绩达到优秀的学生人数．
解：（1）n＝18÷30%＝60，
∴a＝60×10%＝6，
∴b＝60﹣6﹣18﹣24＝12，
故答案为：60，6，12；
（2）补全频数分布直方图如下：
（3）扇形统计图中表示“C”的扇形圆心角的度数为：360°×＝144°，
故答案为：144；
（3）估算全校竞赛成绩达到优秀的学生人数为：800×＝480（人）．
【点评】本题考查频数分布直方图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确统计图的特点和中位数的含义，利用数形结合的思想解答．
21．如图，等腰△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC交BC于D点，E点是AB的中点，分别过D，E两点作线段AC的垂线，垂足分别为G，F两点．
（1）求证：四边形DEFG为矩形；
（2）若AB＝10，EF＝4，求CG的长．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴点D是BC的中点．
∵E点是AB的中点，
∴DE是△ABC的中位线．
∴DE∥AC.
∵DG⊥AC，EF⊥AC，
∴EF∥DG．
∴四边形DEFG是平行四边形．
又∵∠EFG＝90°，
∴四边形DEFG为矩形；
（2）∵AD⊥BC交BC于D点，E点是AB的中点，AB＝10，
∴DE＝AE＝BC＝5．
由（1）知，四边形DEFG为矩形，则GF＝DE＝5．
在直角△AEF中，EF＝4，AE＝5，由勾股定理得：AF＝＝＝3．
∵AB＝AC＝10，FG＝ED＝5，
∴GC＝AC﹣FG﹣AF＝10﹣5﹣3＝2．
【点评】本题主要考查了矩形的判定与性质，等腰三角形的性质以及直角三角形斜边上的中线，根据题意找到长度相等的线段是解题的关键．
22．某医药研究所研制了一种新药，在试验药效时发现：成人按规定剂量服用后，检测到从第5分钟起每分钟每毫升血液中含药量增加0.2微克，第100分钟达到最高，接着开始衰退．血液中含药量y（微克）与时间x（分钟）的函数关系如图．并发现衰退时y与x成反比例函数关系．
（1）a＝ 19 ；
（2）当5≤x≤100时，y与x之间的函数关系式为 y＝0.2x﹣1 ；当x＞100时，y与x之间的函数关系式为 y＝ ；
（3）如果每毫升血液中含药量不低于10微克时是有效的，求出一次服药后的有效时间多久？
解：（1）a＝0.2×（100﹣5）＝19；
（2）当5≤x≤100时，设y与x之间的函数关系式为y＝k1x+b
∵经过点（5，0），（100，19）
∴
解得：，
∴解析式为y＝0.2x﹣1；
当x＞100时，y与x之间的函数关系式为y＝，
∵经过点（100，19），
∴＝19
解得：k＝1900，
∴函数的解析式为y＝；
（3）令y＝0.2x﹣1＝10解得：x＝55，
令y＝＝10，解得：x＝190
∴190﹣55＝135分钟，
∴服药后能持续135分钟；
【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数的实际应用，根据已知点得出函数的解析式是解题关键．
23．2022年北京冬奥会吉祥物冰墩墩深受大家的喜欢．某商家两次购进冰墩墩进行销售，第一次用22000元，很快销售一空，第二次又用48000元购进同款冰墩墩，所购进数量是第一次的2倍，但单价贵了10元．
（1）求该商家第一次购进冰墩墩多少个？
（2）若所有冰墩墩都按相同的标价销售，要求全部销售完后的利润率不低于20%（不考虑其他因素），那么每个冰墩墩的标价至少为多少元？
解：（1）设第一次购进冰墩墩x个，则第二次购进冰墩墩2x个，
根据题意得：＝﹣10，
解得：x＝200，
经检验，x＝200是原方程的解，且符合题意，
答：该商家第一次购进冰墩墩200个．
（2）由（1）知，第二次购进冰墩墩的数量为400个．
设每个冰墩墩的标价为a元，
由题意得：（200+400）a≥（1+20%）（22000+48000），
解得：a≥140，
答：每个冰墩墩的标价至少为140元．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式．
24．材料一：两个含有二次根式而非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式．
例如：，则的一个有理化因式是．的一个有理化因式是．
材料二：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同时乘以分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化．
例如：．
请你仿照材料中的方法探索并解决下列问题：
（1）的有理化因式为 （答案不唯一） ，的有理化因式为 （答案不唯一） ；（均写出一个即可）
（2）计算：；
（3）当2≤a≤4时，求代数式的最大值．
解：（1）的有理化因式为，的有理化因式为，
故答案为：，（答案不唯一）；
（2）
＝++﹣+...+
＝；
（3）
＝
＝
＝，
∵2≤a≤4，
∴要使代数式有最大值，则a＝2，
∴
＝
＝2﹣．
【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握与运用．
25．在平面直角坐标系中，▱OABC的对角线AC⊥x轴，其顶点A在反比例函数的图象上，点C在一次函数的图象上，若一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点D（m，1），△OCD的面积为9．
（1）m＝ 8 ；k＝ 8 ；
（2）结合图象直接写出不等式的解集；
（3）求点B的坐标，并判断点B是否在反比例函数的图象上；
（4）若将▱OABC沿射线CD的方向平移m个单位，在平移的过程中，若反比例函数图象与边CB始终有交点，请你直接写出m的取值范围．
解：（1）∵y1＝，y，
将D（m，1）代入得：，
∴m＝8，k＝8，
故答案为：8；8；
（2）∵y1＝，y，
根据图象y1＞y2的部分为0＜x＜8，
∴不等式的解集为0＜x＜8；
（3）对于y，当x＝0时，y＝﹣3，
∴OE＝3，
∵△OCD的面积为9且S△OCD＝S△OED﹣S△OEC，
∵C在y2上，设点C的横坐标为x，
∴9＝x，
∴x＝2，
∴y＝﹣2，
∴C（2，﹣2），
∵AC⊥x轴，
∴点A的横坐标为2，
∴A（2，4），
由平移知，B（4，2），
当x＝4时，y＝，
∴点B在反比例函数y＝上；
（4）当平行四边形OABC在平移过程中，平移时的四个顶点O'，A'，B'，C'，
当C'在CD上移动时，B'C'始终与y1有交点，
当C与D重合时，B'C'与y1刚好有最后一个交点，若继续平移，则B'，C'与y1没有交点，
∴m＝3，
∴0．
【点评】本题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数与一次函数图象的交点问题，函数与不等式的关系，三角形的面积，平移的性质等知识，运用数形结合思想是解题的关键．
26．如图，点C在线段AB上，分别以AC、BC为边在线段AB的同侧作正方形ACFG和正方形BCDE，连接GE，点M是GE的中点，连接MD、MF．
（1）尝试探究：
结论1：MD、MF的数量关系是 MD＝MF ；
结论2：MD、MF的位置关系是 MD⊥MF ；
（2）将图1中的正方形BCDE绕点C按顺时针方向旋转．
①如图2，当点B恰好落在边FC的延长线上，连接GE，点M是GE的中点，连接MD，MF，请问（1）中的两个结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；
②若AC＝2，BC＝2，在旋转过程中，当D，E，F三点在一条直线上时，请直接写出ME的长．
解：（1）延长DM交GF于点H，
∵GF∥DE，
∴∠GHM＝∠MDE，∠HGM＝∠MED，
∵M是GE的中点，
∴GM＝ME，
∴△GMH≌△EMD（ASA），
∴MH＝MD，DE＝GH，
∵∠HFM＝90°，
∴MF＝MD；
∵GF＝CF，DE＝CD，
∴GF﹣GH＝CF﹣CD，即HF＝DF，
∴△HFD是等腰直角三角形，
∴MF⊥MD；
故答案为：MF＝MD，MF⊥MD；
（2）①仍然成立，如图2，延长DM交AG的延长线于N，连接NF，DF，
在正方形BCDE中，DE∥BC，CD＝DE，
在正方形ACFG中，AG∥BF，CF＝GF
∴AG∥DE，
∴∠MED＝∠MGN，
∵点M是线段GE的中点，
∴GM＝EM，
∵∠DME＝∠NMG，
∴△DME≌△NMG（ASA），
∴NG＝DE，MN＝MD，
∵CD＝DE，
∴NG＝CD，
∴△GFN≌△CFD（SAS），
∴NF＝DF，∠GFN＝∠CFD，
∴∠GFN+∠CFN＝∠CFD+∠CFN，
即：∠CFG＝∠DFN，
∵∠CFG＝90°，
∴△DFN是等腰直角三角形，
∵MN＝MD，
∴MF＝MD，MF⊥MD；
②如图3，当D点在EF上时，
过点E作EP⊥MD交延长线于P，
∵FM＝FD，FM⊥MD，
∴FD＝MD，∠MDF＝45°，
∵AC＝2，BC＝2，
在Rt△FCD中，FD＝6，
∴MD＝3，
在Rt△DEP中，DP＝，
∴MP＝MD+DP＝4，
在Rt△MPE中，ME＝；
如图4，当E点在DF上时，
过M作MQ⊥DF交于Q，
∵MD＝MF，MD⊥MF，
∴MQ＝DF，
在Rt△CDF中，DF＝6，
∴DF＝DQ＝MQ＝3，
∴EQ＝3﹣2＝1，
在Rt△MEQ中，ME＝；
综上所述：ME＝或．
【点评】本题是四边形的综合题，熟练掌握正方形的性质，三角形全等的判定及性质，直角三角形勾股定理，分类讨论，数形结合是解题的关键．
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