江苏省南京市秦淮区2021-2022学年八年级下学期期末数学试卷(含解析)

这是一份江苏省南京市秦淮区2021-2022学年八年级下学期期末数学试卷(含解析)，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021-2022学年江苏省南京市秦淮区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卷相应位置上）
1．（2分）下面四个图形分别是不可回收垃圾、可回收垃圾、有害垃圾、其它垃圾的标志，这四个标志中是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2分）下列成语描述的事件为随机事件的是（　　）
A．瓮中捉鳖 B．水中捞月 C．守株待兔 D．水涨船高
3．（2分）下列运算中，正确的是（　　）
A．+＝ B．2﹣＝
C．＝× D．÷＝
4．（2分）将分式中x、y的值都变为原来的2倍，则该分式的值（　　）
A．不变 B．变为原来的2倍
C．变为原来的4倍 D．变为原来的一半
5．（2分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，若点P是AD边上的一个动点，则点P到矩形的对角线AC、BD的距离之和为（　　）

A．2.4 B．2.5 C．3 D．3.6
6．（2分）如图，点A是函数图象上的任意一点，点B、C在反比例函数的图象上．若AB∥x轴，AC∥y轴，阴影部分的面积为4，则k的值是（　　）

A．2 B．3 C．4 D．6
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卷相应位置上）
7．（2分）调查一批电视机的使用寿命，适合采用的调查方式是　 　．（填“普查”或“抽样调查”）
8．（2分）代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是 　 　．
9．（2分）小明要把一篇27000字的调查报告录入电脑，则其录入的时间t（分）与录入文字的平均速度v（字/分）之间的函数表达式应为t＝　 　（v＞0）．
10．（2分）反比例函数y＝的图象位于第二、四象限，则k的取值范围是　 　．
11．（2分）一个不透明的盒子里装有黑、白两种球共40个（除颜色外其它均相同），小明将盒子里的球搅匀后，从中随机摸出一个记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是实验中的一组统计数据：请估计摸到白球的概率为 　 　（精确到0.01）．
摸球的次数n
100
200
300
500
800
1000
3000
摸到白球的次数m
65
124
178
302
481
599
1803
摸到白球的频率
0.65
0.62
0.593
0.604
0.601
0.599
0.601
12．（2分）如图，任意转动转盘1次，当转盘停止运动时，有下列事件：①指针落在标有5的区域内；②指针落在标有10的区域内；③指针落在标有奇数的区域内．请将这些事件的序号按事件发生的可能性从小到大的顺序依次排列为　 　．

13．（2分）在制作拉面的过程中，用一定体积的面团做拉面，面条的总长度y（单位：cm）与面条的横截面积x（单位：cm2）成反比例函数关系，其图象如图所示，当面条的横截面积小于1cm2时，面条总长度大于 　 　cm．

14．（2分）如图，矩形ABCD中AC交BD于点O，∠AOB＝60°，AD＝3．则BD的长为 　 　．

15．（2分）如图，反比例函数y1＝（x＞0）与正比例函数y2＝mx和y3＝nx象分别交于点A（2，2）和B（b，3），则关于x的不等式组的解集为　 　．

16．（2分）如图，正方形ABCD与正方形AEFG边长分别为1和，一开始边AB与边AG重合，将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，旋转角为α（30°＜α＜180°）．在旋转过程中，连接BG、GE、ED、DB，四边形BGED面积的最大值是 　 　．

三、解答题（本大题共10小题，共68分．请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（8分）解方程：
（1）＝；
（2）＝﹣3．
18．（8分）计算：
（1）；
（2）．
19．（6分）先化简，再求值：÷，其中x＝6．
20．（6分）某校计划成立下列学生社团：A．合唱团；B．英语俱乐部；C．动漫创作社；D．文学社；E．航模工作室．为了解同学们对上述学生社团的喜爱情况，某课题小组在全校学生中随机抽取了部分同学，进行“你最喜爱的一个学生社团”的调查，根据调查结果绘制了如下尚不完整的统计图．

请根据以上信息，解决下列问题：
（1）本次接受调查的学生共有 　 　人；
（2）补全条形统计图，扇形统计图中D选项所对应扇形的圆心角为 　 　°．
（3）若该学校共有学生3000人，估计该学校学生中喜爱合唱团和动漫创作社的总人数．
21．（6分）甲、乙两位同学同时为校文化艺术节制作彩旗．已知甲每小时比乙多做5面彩旗，甲做60面彩旗与乙做50面彩旗所用时间相等，问：甲、乙每小时各做多少面彩旗？
22．（6分）如图，四边形ABCD是菱形，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，连接EF、FG、GH、HE．求证：四边形EFGH是矩形．

23．（7分）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象交于点A（﹣3，n），B（2，3）．
（1）求反比例函数与一次函数的函数表达式；
（2）请结合图象直接写出不等式kx+b≥的解集；
（3）若点P为x轴上一点，△ABP的面积为10，求点P的坐标．

24．（6分）如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AB∥DC，AB＝BC，BD平分∠ABC，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AB＝2，BD＝4，求OE的长．

25．（6分）两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，称这两个代数式互为有理化因式．
例如：与、与等都是互为有理化因式．
在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．
例如：；……
（1）请仿照上述过程，化去下式分母中的根号：（n为正整数）；
（2）利用有理化因式比较与的大小，并说明理由．
26．（9分）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为正方形，已知点A（﹣6，0），D（﹣7，3），点B、C在第二象限内．
（1）求点B的坐标．
（2）将正方形ABCD以每秒1个单位的速度沿x轴向右平移t秒，若存在某一时刻t，使在第一象限内点B、D两点的对应点B′、D′正好落在某反比例函数的图象上，请求出此时t的值以及这个反比例函数的解析式；
（3）在（2）的情况下，问是否存在x轴上的点P和反比例函数图象上的点Q，使得以P、Q、B′、D′四个点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合题意的点P、Q的坐标；若不存在，请说明理由．


2021-2022学年江苏省南京市秦淮区八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卷相应位置上）
1．（2分）下面四个图形分别是不可回收垃圾、可回收垃圾、有害垃圾、其它垃圾的标志，这四个标志中是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形的定义进行判断，即可得出答案．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
【解答】解：选项A、B、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形，
选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形，
故选：C．
2．（2分）下列成语描述的事件为随机事件的是（　　）
A．瓮中捉鳖 B．水中捞月 C．守株待兔 D．水涨船高
【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可．
【解答】解：A、瓮中捉鳖，是必然事件，本选项不符合题意；
B、水中捞月，是不可能事件，本选项不符合题意；
C、守株待兔，是随机事件，本选项符合题意；
D、水涨船高，是必然事件，本选项不符合题意；
故选：C．
3．（2分）下列运算中，正确的是（　　）
A．+＝ B．2﹣＝
C．＝× D．÷＝
【分析】根据各个选项中的式子可以计算出正确的结果，从而可以解答本题．
【解答】解：不能合并成一项，故选项A错误，
∵，故选项B正确，
∵负数没有算术平方根，故选项C错误，
∵，故选项D错误，
故选：B．
4．（2分）将分式中x、y的值都变为原来的2倍，则该分式的值（　　）
A．不变 B．变为原来的2倍
C．变为原来的4倍 D．变为原来的一半
【分析】根据分式的基本性质，进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：
＝，
∴将分式中x、y的值都变为原来的2倍，则该分式的值不变，
故选：A．
5．（2分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，若点P是AD边上的一个动点，则点P到矩形的对角线AC、BD的距离之和为（　　）

A．2.4 B．2.5 C．3 D．3.6
【分析】首先连接OP，由矩形的两条边AB、BC的长分别为3和4，可求得OA＝OD＝2.5，△AOD的面积，然后由S△AOD＝S△AOP+S△DOP＝OA•PE+OD•PF求得答案．
【解答】解：连接OP，
∵AB＝3，BC＝4，
∴S矩形ABCD＝AB•BC＝12，OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD＝5，
∴OA＝OD＝2.5，
∴S△ACD＝S矩形ABCD＝6，
∴S△AOD＝△ACD＝3，
∵S△AOD＝S△AOP+S△DOP＝OA•PE+OD•PF＝×2.5×PE+×2.5×PF＝（PE+PF）＝3，
解得：PE+PF＝2.4．
故选：A．

6．（2分）如图，点A是函数图象上的任意一点，点B、C在反比例函数的图象上．若AB∥x轴，AC∥y轴，阴影部分的面积为4，则k的值是（　　）

A．2 B．3 C．4 D．6
【分析】由反比例函数系数k的几何意义可得S阴影部分＝S矩形ABMN＝4，利用反比例函数图象上点的坐标特征，设点A的横坐标为a，用代数式表示MN、AM，列方程求解即可．
【解答】解：如图，延长CA交x轴于点N，过点B作BM⊥x轴，垂足为M，
∵S阴影部分＝S△CON+S矩形ABMN﹣S△BOM，而S△CON＝S△BOM＝|k|，
∴S阴影部分＝S矩形ABMN＝4，
设ON＝a，
∵点A在反比例函数y＝的图象上，
∴AN＝＝BM，
又∵点B在反比例函数y＝的图象上，
∴OM＝，
∴MN＝﹣a，
由S阴影部分＝S矩形ABMN＝4得，
（﹣a）×＝4，
即k﹣2＝4，
∴k＝6，
故选：D．

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卷相应位置上）
7．（2分）调查一批电视机的使用寿命，适合采用的调查方式是　抽样调查　．（填“普查”或“抽样调查”）
【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似判断即可．
【解答】解：调查一批电视机的使用寿命，调查具有破坏性，适合采用的调查方式是抽样调查，
故答案为：抽样调查
8．（2分）代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是 　x≥1　．
【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
【解答】解：∵在实数范围内有意义，
∴x﹣1≥0，
解得x≥1．
故答案为：x≥1．
9．（2分）小明要把一篇27000字的调查报告录入电脑，则其录入的时间t（分）与录入文字的平均速度v（字/分）之间的函数表达式应为t＝　　（v＞0）．
【分析】根据录入的时间＝录入总量÷录入速度即可得出函数关系式．
【解答】解：由录入的时间＝录入总量÷录入速度，
可得t＝（v＞0）．
故答案为：．
10．（2分）反比例函数y＝的图象位于第二、四象限，则k的取值范围是　k＞3　．
【分析】根据反比例函数的性质列出关于k的不等式，求出k的取值范围即可．
【解答】解：∵反比例函数y＝的图象位于第二、四象限，
∴3﹣k＜0，解得k＞3．
故答案为：k＞3．
11．（2分）一个不透明的盒子里装有黑、白两种球共40个（除颜色外其它均相同），小明将盒子里的球搅匀后，从中随机摸出一个记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是实验中的一组统计数据：请估计摸到白球的概率为 　0.60　（精确到0.01）．
摸球的次数n
100
200
300
500
800
1000
3000
摸到白球的次数m
65
124
178
302
481
599
1803
摸到白球的频率
0.65
0.62
0.593
0.604
0.601
0.599
0.601
【分析】概率接近于表格中得到的频率，由此即可解决问题．
【解答】解：∵随着实验次数的增多，摸到白球的频率逐渐靠近常数0.60，
∴假如你摸一次，你摸到白球的概率P（白球）＝0.60．
故答案为：0.60．
12．（2分）如图，任意转动转盘1次，当转盘停止运动时，有下列事件：①指针落在标有5的区域内；②指针落在标有10的区域内；③指针落在标有奇数的区域内．请将这些事件的序号按事件发生的可能性从小到大的顺序依次排列为　②①③　．

【分析】根据可能性等于所求情况数与总情况数之比分别求出每种情况的可能性，再按发生的可能性从小到大的顺序排列即可．
【解答】解：①指针落在标有5的区域内的概率是；
②指针落在标有10的区域内的概率是0；
③指针落在标有奇数的区域内的概率是；
将这些事件的序号按发生的可能性从小到大的顺序排列为：②①③，
故答案为：②①③．
13．（2分）在制作拉面的过程中，用一定体积的面团做拉面，面条的总长度y（单位：cm）与面条的横截面积x（单位：cm2）成反比例函数关系，其图象如图所示，当面条的横截面积小于1cm2时，面条总长度大于 　128　cm．

【分析】由题意可以设y＝，利用待定系数法求出函数解析式；根据x＜1得到关于y的不等式，求出y的取值范围即可．
【解答】解：由题意可以设y＝，
把（4，32）代入得：k＝128，
∴y＝（x＞0）．
∴x＝，
∵x＜1，
∴＜1，
∴y＞128，
∴面条总长度大于128cm．
故答案为：128．
14．（2分）如图，矩形ABCD中AC交BD于点O，∠AOB＝60°，AD＝3．则BD的长为 　2　．

【分析】根据矩形的性质得出∠DAB＝90°，AC＝BD，OA＝OC，OB＝OD，求出OA＝OB＝OD，根据等边三角形的判定得出△AOB是等边三角形，根据等边三角形的性质得出OA＝OB＝AB，再根据勾股定理得出AD2+AB2＝BD2，代入后求出OB即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB＝90°，AC＝BD，OA＝OC，OB＝OD，
∴OA＝OB＝OD，
∵∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA＝OB＝AB，
由勾股定理得：AD2+AB2＝BD2，
即32+OB2＝（2OB）2，
解得：OB＝，
即BD＝2OB＝2，
故答案为：2．
15．（2分）如图，反比例函数y1＝（x＞0）与正比例函数y2＝mx和y3＝nx象分别交于点A（2，2）和B（b，3），则关于x的不等式组的解集为　＜x＜2　．

【分析】根据反比例函数系数k的几何意义求得b的值，然后根据图象即可求得不等式的解集．
【解答】解：∵反比例函数y1＝（x＞0）与正比例函数y2＝mx和y3＝nx象分别交于点A（2，2）和B（b，3），
∴k＝2×2＝3b，
∴b＝，
∴B（，3），
由图象可知，关于x的不等式组的解集为：＜x＜2，
故答案为：＜x＜2．
16．（2分）如图，正方形ABCD与正方形AEFG边长分别为1和，一开始边AB与边AG重合，将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，旋转角为α（30°＜α＜180°）．在旋转过程中，连接BG、GE、ED、DB，四边形BGED面积的最大值是 　　．

【分析】连接BE，DG，相交于点H，BE与AG交于点K，根据正方形的性质可得AB＝AD，AG＝AE，∠BAD＝∠GAE＝90°，从而利用等式的性质可得∠DAG＝∠BAE，进而可证△BAE≌△DAG，然后利用全等三角形的性质可得BE＝DG，∠DGA＝∠BEA，从而可得∠HKG+∠DGA＝90°，进而可得∠GHK＝90°，
最后根据四边形BGED面积＝△BEG的面积+△BDE的面积＝BE2，当BE取最大值时，四边形BGED面积最大，进行计算即可解答．
【解答】解：连接BE，DG，相交于点H，BE与AG交于点K，

∵四边形ABCD，四边形AEFG都是正方形，
∴AB＝AD，AG＝AE，∠BAD＝∠GAE＝90°，
∴∠BAD+∠BAG＝∠GAE+∠BAG，
∴∠DAG＝∠BAE，
∴△BAE≌△DAG（SAS），
∴BE＝DG，∠DGA＝∠BEA，
∵∠AKE＝∠HKG，∠AKE+∠BEA＝90°，
∴∠HKG+∠DGA＝90°，
∴∠GHK＝180°﹣（∠HKG+∠DGA）＝90°，
∴四边形BGED面积＝△BEG的面积+△BDE的面积
＝BE•HG+BE•DH
＝BE（HG+DH）
＝BE•DG
＝BE2，
∴当BE取最大值时，四边形BGED面积最大，
∴当α＝90°时，BE最大＝AE+AB＝1+，
∴四边形BGED面积的最大值＝BE2
＝×（1+）2
＝，
故答案为：．

三、解答题（本大题共10小题，共68分．请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（8分）解方程：
（1）＝；
（2）＝﹣3．
【分析】（1）方程两边同时乘以x（x﹣1），得x＝9，经检验，x＝9是原方程的根；
（2）方程两边同时乘以x﹣2，解得，x＝2，经检验，x＝2是原方程的增根，所以原方程无解．
【解答】解：（1）方程两边同时乘以x（x﹣1），得
9（x﹣1）＝8x，
整理，得 9x﹣9＝8x，
∴x＝9，
经检验，x＝9是原方程的根；
（2）方程两边同时乘以x﹣2，得
1＝﹣（1﹣x）﹣3（x﹣2），
整理，得1＝﹣1+x﹣3x+6，
解得，x＝2，
经检验，x＝2是原方程的增根，
∴原方程无解．
18．（8分）计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）先利用二次根式的乘法法则运算，然后化简即可；
（2）先利用二次根式的乘法法则和除法法则运算，然后化简后合并即可．
【解答】解：（1）原式＝
＝
＝4a3；
（2）原式＝+﹣
＝2+﹣
＝．
19．（6分）先化简，再求值：÷，其中x＝6．
【分析】直接将括号里面通分运算，进而利用分式的混合运算法则计算得出答案．
【解答】解：原式＝[﹣]•
＝•
＝，
当x＝6时，
原式＝﹣．
20．（6分）某校计划成立下列学生社团：A．合唱团；B．英语俱乐部；C．动漫创作社；D．文学社；E．航模工作室．为了解同学们对上述学生社团的喜爱情况，某课题小组在全校学生中随机抽取了部分同学，进行“你最喜爱的一个学生社团”的调查，根据调查结果绘制了如下尚不完整的统计图．

请根据以上信息，解决下列问题：
（1）本次接受调查的学生共有 　200　人；
（2）补全条形统计图，扇形统计图中D选项所对应扇形的圆心角为 　72　°．
（3）若该学校共有学生3000人，估计该学校学生中喜爱合唱团和动漫创作社的总人数．
【分析】（1）由B社团人数及其所占百分比可得总人数；
（2）总人数减去其它社团人数可求得D的人数，再用360°乘以D社团人数所占比例即可得；
（3）总人数乘以样本中A、C社团人数和占被调查人数的比例即可得．
【解答】解：（1）本次接受调查的学生共有90÷45%＝200（人），
故答案为：200；

（2）D社团人数为200﹣（26+90+34+10）＝40（人），
补全图形如下：

扇形统计图中D选项所对应扇形的圆心角为360°×＝72°，
故答案为：72；

（3）（人），
答：该学校学生中喜爱合唱团和动漫创作社的总人数为900人．
21．（6分）甲、乙两位同学同时为校文化艺术节制作彩旗．已知甲每小时比乙多做5面彩旗，甲做60面彩旗与乙做50面彩旗所用时间相等，问：甲、乙每小时各做多少面彩旗？
【分析】可设乙每小时做x面彩旗，则甲每小时做（x+5）面彩旗，根据等量关系：甲做60面彩旗所用的时间＝乙做5060面彩旗所用的时间．由此可得出方程求解．
【解答】解：设乙每小时做x面彩旗，则甲每小时做（x+5）面彩旗，依题意有
＝，
解得：x＝25．
经检验：x＝25是原方程的解．
x+5＝25+5＝30．
故甲每小时做30面彩旗，乙每小时做25面彩旗．
22．（6分）如图，四边形ABCD是菱形，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，连接EF、FG、GH、HE．求证：四边形EFGH是矩形．

【分析】连接AC、BD，根据三角形中位线性质得到EF∥HG 且 EF＝HG，推出四边形EFGH是平行四边形，求得∠HEF＝90°，得到四边形EFGH是矩形．
【解答】证明：连接 AC、BD，
∵E、F 分别为 AB、BC 中点，
∴EF 为△ABC 中位线．
∴EF∥AC 且 EF＝AC．
同理可得：HG∥AC 且 HG＝AC，EH∥BD．
∴EF∥HG 且 EF＝HG．
∴四边形 EFGH 为平行四边形．
∵四边形 ABCD 是菱形，
∴AC⊥BD．
∵EF∥AC，
∴EF⊥BD．
∵EH∥BD，
∴EH⊥EF．
∴∠FEH＝90°．
∴四边形 EFGH 是矩形．

23．（7分）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象交于点A（﹣3，n），B（2，3）．
（1）求反比例函数与一次函数的函数表达式；
（2）请结合图象直接写出不等式kx+b≥的解集；
（3）若点P为x轴上一点，△ABP的面积为10，求点P的坐标．

【分析】（1）根据反比例函数y＝的图象经过B（2，3），利用待定系数法即可求出反比例函数的解析式；进而求得A的坐标，根据A、B点坐标，进而利用待定系数法求出一次函数解析式；
（2）根据A、B的坐标，结合图象即可求得；
（3）根据三角形面积求出DP的长，根据D的坐标即可得出P的坐标．
【解答】解：（1）∵反比例函数y＝的图象经过B（2，3），
∴m＝2×3＝6．
∴反比例函数的解析式为y＝．
∵A（﹣3，n）在y＝上，所以n＝＝﹣2．
∴A的坐标是（﹣3，﹣2）．
把A（﹣3，﹣2）、B（2，3）代入y＝kx+b．得：，
解得，
∴一次函数的解析式为y＝x+1．
（2）由图象可知：不等式kx+b≥的解集是﹣3≤x＜0或x≥2；
（3）设直线与x轴的交点为D，
∵把y＝0代入y＝x+1得：0＝x+1，
x＝﹣1，
∴D的坐标是（﹣1，0），
∵P为x轴上一点，且△ABP的面积为10，A（﹣3，﹣2），B（2，3），
∴DP×2+DP×3＝10，
∴DP＝4，
∴当P在负半轴上时，P的坐标是（﹣5，0）；
当P在正半轴上时，P的坐标是（3，0），
即P的坐标是（﹣5，0）或（3，0）．

24．（6分）如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AB∥DC，AB＝BC，BD平分∠ABC，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AB＝2，BD＝4，求OE的长．

【分析】（1）由平行线的性质和角平分线的性质可得∠CDB＝∠CBD＝∠DBA，可得CD＝CB，由菱形的判定可得结论；
（2）由勾股定理可求AO的长，由直角三角形的性质可得OE＝AO，即可得OE的长．
【解答】解：（1）∵AB∥CD，
∴∠ABD＝∠CDB，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD
∴∠CDB＝∠CBD，
∴BC＝CD，且AB＝BC
∴CD＝AB，且AB∥CD
∴四边形ABCD是平行四边形，且AB＝BC
∴四边形ABCD是菱形；

（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，BD⊥AC，BO＝DO＝2
∵AO＝＝＝4
∵CE⊥AB，AO＝CO
∴EO＝AO＝CO＝4

25．（6分）两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，称这两个代数式互为有理化因式．
例如：与、与等都是互为有理化因式．
在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．
例如：；……
（1）请仿照上述过程，化去下式分母中的根号：（n为正整数）；
（2）利用有理化因式比较与的大小，并说明理由．
【分析】（1）仿照例题，利用分母有理化，进行计算即可解答；
（2）仿照例题，利用分母有理化，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）＝
＝﹣；
（2），
理由：4﹣＝
＝，
﹣4＝
＝，
∵4+＜4+，
∴＞，
即．
26．（9分）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为正方形，已知点A（﹣6，0），D（﹣7，3），点B、C在第二象限内．
（1）求点B的坐标．
（2）将正方形ABCD以每秒1个单位的速度沿x轴向右平移t秒，若存在某一时刻t，使在第一象限内点B、D两点的对应点B′、D′正好落在某反比例函数的图象上，请求出此时t的值以及这个反比例函数的解析式；
（3）在（2）的情况下，问是否存在x轴上的点P和反比例函数图象上的点Q，使得以P、Q、B′、D′四个点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合题意的点P、Q的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）过点B作BE⊥x轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，则△DAF≌△ABE，根据全等三角形的性质结合点A、D的坐标，即可求出点B的坐标；
（2）根据坐标的平移可找出点B′、D′的坐标，利用反比例函数图象上点的坐标特征可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出t值，进而即可得出反比例函数的解析式；
（3）根据t的值可得出点B′、D′的坐标，设点P的坐标为（m，0），分B′D′为边及B′D′为对角线两种情况考虑：当B′D′为边时，根据平行四边形的性质结合点P在x轴上即可表示出点Q的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出m值，进而即可得出点P、Q的坐标；当B′D′为对角线时，根据平行四边形的对角线互相平分即可表示出点Q的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出m值，进而即可得出点P、Q的坐标．综上即可得出结论．
【解答】解：（1）过点B作BE⊥x轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，如图所示．
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BAD＝90°，AB＝DA，
∴∠BAE+∠DAF＝90°．
∵∠BAE+∠ABE＝90°，
∴∠DAF＝∠ABE．
在△DAF和△ABE中，，
∴△DAF≌△ABE（AAS），
∴DF＝AE，AF＝BE．
∵A（﹣6，0），D（﹣7，3），
∴AF＝BE＝1，DF＝AE＝3，
∴点B的坐标为（﹣3，1）．
（2）∵B（﹣3，1），D（﹣7，3），
∴B′（t﹣3，1），D′（t﹣7，3）．
∵点B′、D′在反比例函数的图象上，
∴t﹣3＝3（t﹣7），解得：t＝9，
∴t﹣3＝6，
∴反比例函数解析式为y＝．
（3）∵t＝9，
∴B′（6，1），D′（2，3）．
∵点P在x轴上，
∴设点P的坐标为（m，0）．
分两种情况考虑：
当B′D′为边时，①∵四边形B′D′PQ为平行四边形，
∴点Q的坐标为（m+4，﹣2），
又∵点Q在反比例函数y＝的图象上，
∴﹣8﹣2m＝6，解得：m＝﹣7，
∴点P的坐标为（﹣7，0），点Q的坐标为（﹣3，﹣2）；
②∵四边形B′D′QP为平行四边形，
∴点Q的坐标为（m﹣4，2），
又∵点Q在反比例函数y＝的图象上，
∴2m﹣8＝6，解得：m＝7，
∴点P的坐标为（7，0），点Q的坐标为（3，2）；
当B′D′为对角线时，∵四边形B′QD′P为平行四边形，
∴点Q的坐标为（8﹣m，4），
又∵点Q在反比例函数y＝的图象上，
∴32﹣4m＝6，解得：m＝，
∴点P的坐标为（，0），点Q的坐标为（，4）．
综上所述：存在点P、Q，使得以P、Q、B′、D′四个点为顶点的四边形是平行四边形，P（﹣7，0）、Q（﹣3，﹣2）或P（7，0）、Q（3，2）或P（，0）、Q（，4）．