2023年上海市浦东新区重点大学附中高考数学三模试卷（含解析）

这是一份2023年上海市浦东新区重点大学附中高考数学三模试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年上海市浦东新区重点大学附中高考数学三模试卷一、单选题（本大题共4小题，共18.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.  若、为实数，则“”是“直线与直线平行”的(    )A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件2.  从，，，，，，，中随机取一个数，这个数比大的概率为，已知为上述数据中的第百分位数，则的取值可能为(    )A.  B.  C.  D. 3.  已知圆锥是底面圆的圆心，是圆锥的顶点的母线长为，高为，、为底面圆周上任意两点有以下三个结论：
三角形面积的最大值为；三棱锥体积的最大值为；四面体外接球表面积的最小值为．
以上所有正确结论的个数为(    )A.  B.  C.  D. 4.  设是两个非零向量的夹角，若对任意实数，的最小值为命题：若确定，则唯一确定；命题：若确定，则唯一确定下列说法正确的是(    )A. 命题是真命题，命题是假命题 B. 命题是假命题，命题是真命题
C. 命题和命题都是真命题 D. 命题和命题都是假命题二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）5.  已知集合，则 ______ ．6.  若复数满足，则 ______ ．7.  某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩满分分的茎叶图如图所示，其中甲班学生成绩的平均分是，乙班学生成绩的中位数是，则的值为            ．8.  已知，若向量在向量方向上的数量投影为，则实数的值为______ ．9.  已知等比数列中，若，，成等差数列，则 ______ ．10.  为正整数的二项展开式中，若第三项与第五项的系数相等，则展开式中的常数项为______ ．11.  已知，，，则的最小值为______ ．12.  已知是抛物线：的焦点，是抛物线上一动点，是曲线上一动点，则的最小值为______ ．13.  若关于的不等式的解集，则实数的取值范围是______ ．14.  已知平面向量满足，则的取值范围是______ ．15.  已知函数，点、是函数图像上不同的两个点，则为坐标原点的取值范围是______ ．16.  若存在实数及正整数，使得在区间内恰有个零点，则所有满足条件的正整数的值共有______ 个三、解答题（本大题共5小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.  本小题分
已知圆锥的顶点为，底面圆心为，半径为，母线、的长为，且为线段的中点．
证明：平面平面；
求直线与平面所成角的大小．
18.  本小题分
全国中学生生物学竞赛隆重举行．为做好考试的评价工作，将本次成绩转化为百分制，现从中随机抽取了名学生的成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于至之间，将数据按照，，，，，分成组，制成了如图所示的频率分布直方图．
求频率分布直方图中的值，并估计这名学生成绩的中位数；
在这名学生中用分层抽样的方法从成绩在，，的三组中抽取了人，再从这人中随机抽取人，记为人中成绩在的人数，求的分布列和数学期望；
19.  本小题分
若数列满足为正整数，为常数，则称数列为等方差数列，为公方差．
已知数列，的通项公式分别为，判断上述两个数列是否为等方差数列，并说明理由；
若数列是首项为，公方差为的等方差数列，数列满足，且，求正整数的值；
在、的条件下，若在与之间依次插入数列中的项构成新数列：，，，，，，，，，，，求数列中前项的和．20.  本小题分
已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，短轴长为．
求椭圆的标准方程；
直线与椭圆交于，两点，，是椭圆上位于直线两侧的动点，且直线的斜率为．
求四边形面积的最大值；
设直线的斜率为，直线的斜率为，判断的值是否为常数，并说明理由．
21.  本小题分
已知函数、．
当，时，求函数图像过点的切线方程；
当时，既存在极大值，又存在极小值，求实数的取值范围；
当，时，、分别为的极大值点和极小值点，且，求实数的取值范围．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：若直线与直线平行，则且，
即，时，直线与直线平行，
当，时，两直线重合，
故“”是“直线与直线平行”的必要不充分条件．
故选：．
由已知结合直线平行的条件先求出两直线平行时的，满足的条件，进而判断充分及必要性．
本题主要考查了直线平行条件的应用，属于基础题．
 2.【答案】 【解析】解：从，，，，，，，中随机取一个数，这个数比大的概率为，
则，
为数据，，，，，，，的第个数，
为上述数据中的第百分位数，
，
则的取值可能为．
故选：．
先求出，再结合百分位数的定义，即可求解．
本题主要考查古典概型的概率公式，属于基础题．
 3.【答案】 【解析】解：对于，由母线长为，高为，
可得底面半径为，设是底面圆的一条直径，
则，即是钝角，
又，
则存在点，，当时，
，三角形面积的最大值为，故错误；
对于，，当面时，
，故正确；
对于，设的外接圆半径为，
底面圆，四面体外接球半径，
，若外接球表面积的最小，即外接球的半径最小，
又，即在底面圆中，的外接圆半径最小，
由正弦定理，
点经过线段的中垂线时，最大，的外接圆半径最小，
此时，，
即四面体外接球表面积的最小值为，故错误．
故选：．
对，由已知计算出底面半径的长度，以及轴截面的顶角大小，利用三角形的面积公式可知，当时，三角形面积最大，可判断选项；对，利用三棱锥等体积转换，可得当面时，三棱锥体积最大，可判断选项；对，因为底面圆，所以四面体外接球球心在的中垂面和过外接圆圆心的底面垂线的交点处，利用勾股定理和正弦定理可计算出最小值，判断选项．
本题考查圆锥中截面三角形面积的最值的求解，正弦定理的应用，化归转化思想，运动变化思想，属中档题．
 4.【答案】 【解析】解：若对任意实数，的最小值为，
恒成立，
设，
则判别式恒成立，
即函数的最小值为，
若确定，则确定，但有可能是锐角也可能是钝角，即不确定，即是假命题．
若确定，则，即唯一确定，即是真命题．
故选：．
根据若对任意实数，的最小值为构造二次函数，求出最值关系，建立方程进行判断即可．
本题主要考查命题的真假判断，根据向量模长的最值关系，构造函数，建立方程进行求解是解决本题的关键，是中档题．
 5.【答案】 【解析】解：集合或，
又因为，
所以．
故答案为：．
求出集合，利用交集定义能求出结果．
本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 6.【答案】 【解析】解：，
则，
故，即，解得负值舍去．
故答案为：．
根据已知条件，结合复数模公式，即可求解．
本题主要考查复数模公式，属于基础题．
 7.【答案】 【解析】【分析】本题主要根据茎叶图计算中位数与平均数，属基础题．
根据平均数和中位数的定义和公式，分别进行计算即可得到结论．【解答】解：甲班学生成绩的平均分是，
，即．
乙班学生成绩的中位数是，故．
．
故答案为：．  8.【答案】 【解析】解：，
，，
向量在向量方向上的数量投影为，
解得．
故答案为：．
利用向量投影的计算公式求解．
本题主要考查了向量的数量积运算，考查了向量投影的概念，属于基础题．
 9.【答案】 【解析】解：设等比数列的公比为，因为，成等差数列，
所以，所以，且，
所以，解得或，
为保证有意义，则，所以，
所以．
故答案为：．
由已知可得，观察所求分式即可得．
本题考查等差数列，等比数列的通项公式，属于基础题．
 10.【答案】 【解析】解：第三项与第五项的系数相等，
，得，
则的展开式中的常数项为．
故答案为：．
根据第三项与第五项的系数相等，建立方程求出，然后进行计算即可．
本题主要考查二项式定理的应用，根据系数相等建立方程求出的值是解决本题的关键，是基础题．
 11.【答案】 【解析】解：，，，
则，
故，
当且仅当，即时，等号成立，
故的最小值为．
故答案为：．
根据已知条件，结合基本不等式的公式，即可求解．
本题主要考查基本不等式的公式，考查转化能力，属于基础题．
 12.【答案】 【解析】解：由题意知，，曲线的圆心，圆的半径为，
由抛物线的定义，点是圆上的动点，过点作垂直准线于点，则，
而，当且仅当，，三点共线，且该直线与轴平行时，等号成立，
所以的最小值为，
故答案为：．
过点作垂直准线于点，则，当且仅当，，三点共线，且该直线与轴平行时，等号成立，得解．
本题考查抛物线的定义与几何性质，圆中的最值问题，考查数形结合思想，逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 13.【答案】 【解析】解：关于的不等式的解集，
，都是不等式的解，，，
，，．
实数的取值范围为．
故答案为：．
由题知，，都是不等式的解可得不等式组，再求解即可．
本题考查绝对值不等式的解法，考查计算能力，属于基础题．
 14.【答案】 【解析】解：不妨设，则，
由，可得，
则，
所以的取值范围是．
故答案为：．
设，则，得到，结合绝对值三角不等式，即可求解．
本题考查了平面向量数量积的运算和性质以及绝对值不等式的应用，属于中档题．
 15.【答案】 【解析】解：当时，，求导得，
即函数在上单调递增，
当时，由，得，
于是函数，的图象是焦点在轴上的双曲线在第二象限的部分，是其渐近线，如图，

令过原点的直线与曲线，相切的切点为，
则，整理得，
令，，，函数在上单调递增，
而，因此当且仅当时，，则的解为，
即过原点的直线与曲线，相切的切点为，切线方程为，
设其倾斜角为，则有，
因为点、是函数图象上不同的两个点，则，
而正切函数在上单调递增，因此，
又，
所以的取值范围是．
故答案为：．
求导可知函数在上单调递增，当时，函数的图象是焦点在轴上的双曲线在第二象限的部分，是其渐近线，利用导数的几何意义求出过原点的直线与曲线的切线方程，其倾斜角为，则有，所以，再结合两角差的正切公式求解即可．
本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数的几何意义求切线方程，同时考查了数形结合的数学思想，属于中档题．
 16.【答案】 【解析】解：由题意可得，
令，，则有，
因为，
所以方程有两不等实根，，，假设，
则有，，
所以，
当时，则有，一个周期内有两个零点，
易知或；
当时，则有，一个周期内有三个零点，
则需要个周期，即；
当时，此时将代入，得，解得，
当时，此时，则一个周期内有四个零点，
则需要，即；
当时，此时，，一个周期内有三个零点，
则需要个周期，即；
当时，此时，一个周期内有两个零点，
易知或，
综上所述，这样的正整数的值有个，分别为，，，，．
故答案为：．
由二倍角公式可得，由，可得方程有两不等实根，，，假设，由韦达定理可得，于是有，分、、三种情况，再结合三角函数的性质求解即可．
本题考查了二倍角公式、三角函数的性质及分类讨论思想，属于中档题．
 17.【答案】解：证明：，为中点，，
平面，平面，
，且，平面，平面，
平面，
平面，平面平面．
设的中点为，连接，，则，

，，
底面，，平面，平面，，
平面，
就是直线与平面所成角，
圆锥的底面半径为，母线长为，高，
解得，，
，，
直线与平面所成角的大小为． 【解析】根据线面垂直的判定定理证明线面垂直，再由面面垂直判定定理证明即可．
由线面角定义求线面角正切，再求线面角的大小．
本题考查线面垂直的判定定理、面面垂直判定定理、线面角定义等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 18.【答案】解：由频率分布直方图的性质可得，，解得，
设中位数为，
则，解得，
故估计这名学生成绩的中位数为．
，，的三组频率之比为：：：：，
从，，中分别抽取人，人，人，
故所有可能取值为，，，，
，
，
，
，
故的分布列为： 故． 【解析】根据已知条件，结合频率分布直方图的性质，结合中位数公式，即可求解．
根据已知条件，结合分层抽样的定义，求得从，，中分别抽取人，人，人，推得所有可能取值为，，，，
分别求出对应的概率，再结合期望公式的公式，即可求解．
本题主要考查随机变量分布列的求解，以及期望公式的应用，属于中档题．
 19.【答案】解：因为常数，所以数列为等方差数列，为公方差，
因为，，，
所以数列不是等方差数列．
由题意得，，，
显然，
，解得．
由题意得：新数列中，含前共有：项，
由，得，所以新数列中的前项含有数列的前项，含有数列的前项，
即． 【解析】直接验证即可判断；
利用等方差数列的定义可求正整数的值；
判断新数列中的前项含有数列的前项，含有数列的前项，可求数列中前项的和．
本题考要新定义题型，考查运算求解能力，属中档题．
 20.【答案】解：Ⅰ设椭圆的方程为．
由已知，离心率，，得，
所以，椭圆的方程为．
Ⅱ由Ⅰ可求得点、的坐标为，，则，
设，，直线的方程为，
代入，得：．
由，解得，由根与系数的关系得，
四边形的面积，
故当时，；
由题意知，直线的斜率，直线的斜率，
则

，
由知，
可得，
所以的值为常数． 【解析】本题考查直线与椭圆的位置关系、椭圆方程的求解，考查直线的斜率公式，考查学生分析解决问题的能力，具有一定综合性，难度较大．
Ⅰ设椭圆的方程为，由短轴长可得值，根据离心率为及，得值；
Ⅱ设，，直线的方程为，代入得的二次方程，四边形的面积而易求，代入韦达定理即可求得的表达式，由表达式即可求得的最大值；直线的斜率，直线的斜率，代入韦达定理即可求得的值；
 21.【答案】解：已知、，函数定义域为，
当，时，，
可得，
此时，
易知，
所以函数过点 的切线方程为，
即为；
当时，，
可得，
因为函数既存在极大值，又存在极小值，
所以必有两个不等的实根，
此时，
令，
解得或，且，
所以且；
不妨考虑当的情况下，
当时，，单调递增；当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以函数分别在，取得极大值和极小值，满足条件，
当的情况下，
当时，，单调递增；当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以函数分别在，取得极大值和极小值，满足条件，
综上，实数的取值范围为；
当，时，，
由得，，
当时，，单调递增；当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以在处取得极大值；在取得极小值，
因为恒成立，
所以对任意的恒成立，
此时，
则，
所以，
整理得，，
不妨设，函数定义域为，
可得，
令方程，
可得，
当，即时，，单调递增；
所以，
即，符合条件；
当，即时，
设方程的两个根分别为，，
可得，，
不妨设，
当时，，单调递减，
所以当时，，
即，不符合条件；
综上，实数的取值范围为． 【解析】由题意，将，代入解析式中，对进行求导，得到和的值，代入切线方程中即可求解；
将代入函数解析式中，对进行求导，将既存在极大值，又存在极小值，转化成必有两个不等的实根，利用导数得到的单调性和极值，进而即可求解；
将代入函数解析式中，对进行求导，利用导数分析的极值，将恒成立转化成，构造函数，利用导数分类讨论求解即可．
本题考查利用导数研究函数的单调性和极值，考查了逻辑推理、转化思想、分类讨论和运算能力．