2023年广东省珠海市斗门重点中学高考数学三模试卷（含解析）

2023年广东省珠海市斗门重点中学高考数学三模试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  已知，，若，则(    )

A.  B.  C.  D.

2.  “”是”的(    )

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

3.  在梯形中，，交于点，，则(    )

A.  B.  C.  D.

4.  在复平面内，由对应的三个点确定圆，则以下点在圆上的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  已知函数在处取得极大值，则(    )

A.  B.  C.  D.

6.  曲线是造型中的精灵，以曲线为元素的给人简约而不简单的审美感受，某数学兴趣小组设计了如图所示的双型曲线，以下个函数中最能拟合该曲线的是(    )

A.
B.
C.
D.

7.  已知抛物线的焦点为，准线与坐标轴交于点，是抛物线上一点，若，则的面积为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  已知一个圆锥的内切球的体积为，则该圆锥体积的最小值为(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.  年我国对外经济进口总值累计增长率统计数据如图所示，则下列各选项正确的是(    )

 

A. 年我国对外经济进口总值逐月下降
B. 年我国对外经济进口总值累计增长率在前个月的方差大于后个月的方差
C. 年我国对外经济进口总值累计增长率的中位数为
D. 年我国对外经济进口总值累计增长率的分位数为

10.  已知，是两条不相同的直线，，是两个不重合的平面，则下列命题为真命题的是(    )

A. 若、是异面直线，，，，，则
B. 若，，则
C. 若，，则
D. 若，，，则

11.  已知函数，下列说法正确的有(    )

A. 在上单调递增
B. 若，则
C. 函数的图象可以由向右平移个单位得到
D. 若函数在上恰有两个极大值点，则

12.  已知圆与圆，下列说法正确的是(    )

A. 与的公切线恰有条
B. 与相交弦的方程为
C. 与相交弦的弦长为
D. 若，分别是圆，上的动点，则

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  曲线在点处的切线方程是______ 结果用一般式表示．

14.  如图，三个相同的正方形相接在同一平面中，则 ______ ．

15.  第届亚运会将于年月日至月日在杭州举行，甲、乙等名杭州亚运会志愿者到游泳、射击、体操三个场地进行志愿服务，每名志愿者只去一个场地，每个场地至少一名志愿者，若甲不去游泳场地，则不同的安排方法共有______ 种
 

16.  已知数列的前项和为，，且，则 ______ ．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
已知，，分别为的内角，，的对边，，且．
求角的大小；
若的外接圆面积为，求边上的中线长．

18.  本小题分
记为数列的前项和，已知是公差为的等差数列．
求的通项公式；
证明：．

19.  本小题分
车胎凹槽深度是影响汽车刹车的因素，汽车行驶会导致轮胎胎面磨损某实验室通过试验测得行驶里程与某品牌轮胎凹槽深度的数据如图：

以行驶里程为横坐标、轮胎凹槽深度为纵坐标作散点图，如图所示．
根据散点图，可认为散点集中在直线附近，由此判断行驶里程与轮胎凹槽深度线性相关，并计算得如表数据，请求出行驶里程与轮胎凹槽深度的相关系数保留两位有效数字，并推断它们线性相关程度的强弱；

附：相关系数
通过散点图，也可认为散点集中在曲线附近，考虑使用对数回归模型，并求得经验回归方程及该模型的决定系数已知中的线性回归模型为，在同一坐标系作出这两个模型，据图直观回答：哪个模型的拟合效果更好？并用决定系数验证你的观察所得．
附：线性回归模型中，决定系数等于相关系数的平方，即．

20.  本小题分
如图，正方体中，直线平面，，．
设，，试在所给图中作出直线，使得，并说明理由；
设点与中所作直线确定平面．
求平面与平面的夹角的余弦值；
请在备用图中作出平面截正方体所得的截面，并写出作法．

21.  本小题分
在直角坐标平面内，已知，，动点满足条件：直线与直线的斜率之积等于，记动点的轨迹为．
求的方程；
过点作直线交于，两点，直线与交点是否在一条定直线上？若是，求出这条直线方程；若不是，说明理由．

22.  本小题分
已知函数．
求的最小值；
若对，恒成立，求实数的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，，，
，
，且，
解得．
故选：．
由得，从而，且，由此能求出的值．
本题考查实数值的求法，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：由，可得，
由不能够推出，故“”是“”的不充分条件，
由，可推出成立，故“””是”的必要条件，
综上“”是“”的必要不充分条件，
故选：．
利用充要条件的定义即可判断．
本题主要考查了充要条件的判断，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：如图，

由，可得利用平行关系求得线段比，
则，
所以．
故选：．
根据平面向量的线性运算可求出结果．
本题主要考查了平面向量的线性运算，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：因为，，，
即，所以，，对应的点在以原点为圆心，以为半径的圆上，
且只有选项C中，所以其在圆上．
故选：．
根据题意，由条件可得，，对应的点在以原点为圆心，以为半径的圆上，即可得到结果．
本题主要考查复数的几何意义，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】本题考查函数极值相关知识，属于简单题．
先求函数的导数，把极值点代入导数则可等于，再把极值点代入原函数则可得到极值，解方程组即可得到，，从而算出的值．

【解答】解：因为，所以，
所以，，解得，，
经检验，符合题意，所以．
故选：．  

6.【答案】 

【解析】解：由函数，其定义域为，关于原点对称，
可得，
所以函数为偶函数，所以排除；
由函数，可得，故排除；
由函数，当时，可得且，则，
故排除．
由函数的定义域为，关于原点对称，
且，所以为奇函数，图象关于原点对称，
由时，，可得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，且，所以项符合题意．
故选：．
根据是偶函数，排除项；由，排除项，由当时，函数，可排除，由函数为奇函数，且当时，利用导数求得函数的单调性，结合，得到符合题意，即可求解．
本题主要考查了函数图象的变换，考查了函数奇偶性和单调性，属于中档题．
 

7.【答案】 

【解析】解：由，得，则，
根据抛物线的定义知，，解得，
代入，得，
所以的面积为．
故选：．
根据抛物线的定义和标准方程即可求解．
本题考查了抛物线的性质，属于基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：圆锥与其内切球的轴截面如图所示，点为球心，，为切点，
设内切球的半径为，圆锥的底面圆的半径为，高为，
所以，则，
易知∽，所以，
则，即，，
圆锥的体积，当且仅当时，等号成立．
故答案为：．

由条件直接求出内切球的半径，由题画出几何体的轴截面图形，由轴截面中的三角形相似可找到圆锥底面半径和高的关系，再由基本不等式求出最值．
本题考查圆锥及其内切球，考查空间想象能力、计算能力，属于中档题．
 

9.【答案】 

【解析】解：对于，年我国对外经济进口总值累计增长率逐月下降，并不能说明对外经济进口总值逐月下降，故A不正确．
对于，由图可知，我国对外经济进口总值累计增长率在前个月的波动较大，故B正确．
对于，将我国对外经济进口总值累计增长率从小到大排列，得中位数为，故C正确．
对于，将我国对外经济进口总值累计增长率从小到大排列，由，可知分位数为第个数据，即，故D不正确．
故选：．
利用折线图的特点及方差的意义，结合中位数及第百分位数的定义即可求解．
本题主要考查折线图，考查中位数，分位数的求法，考查运算求解能力，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：对于，，，则平面内必然存在一条直线，使得，并且，
同理，在平面内必然存在一条直线，使得，并且，
由于，是异面直线，与是相交的，与也是相交的，
即平面内存在两条相交的直线，分别与平面平行，
，正确；
设，并且，，
则有，，
显然，是相交的，错误；
对于，若，则不成立，错误；
对于，若，则平面上必然存在一条直线与平行，
，即，正确；
对于，若，必然存在一个平面，使得，并且，
，
又，
，，正确．
故选：．
根据立体几何中线线，线面，面面间的位置关系逐项分析判断即可．
本题考查空间中线线，线面，面面间的位置关系，属于基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：对于，令，当时，，
而函数在上不是单调递增的，所以函数在上不是单调递增的，故A错误；
对于，若，则或，
即，，
当，相邻时，；当，不相邻时，，
综上所述，，故B正确；
对于，向右平移个单位可得，与函数的解析式不相等，故C错误；
对于，函数，
令，由可得，
则在上恰有两个极大值点，
所以，
解得，即，故D正确，
故选：．
根据三角函数的图象和性质逐个判断各个选项即可．
本题主要考查了三角函数的图象和性质，考查了三角函数图象的变换，属于中档题．
 

12.【答案】 

【解析】解：由已知得圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，
，故两圆相交，
所以与的公切线恰有条，与相交弦的方程为，到相交弦的距离为，
故相交弦的弦长为．
若，分别是圆，上的动点，则．
故选：．
求出圆的圆心与半径，判断公切线的条数，求解公切线方程，公共弦长，以及距离的最大值判断选项即可．
本题考查圆的方程，考查直观想象的核心素养．
 

13.【答案】 

【解析】解：由，得，
，
曲线在点处的切线方程是，即．
故答案为：．
求出原函数的导函数，得到函数在处的导数值，再由直线方程的斜截式得答案．
本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，熟记基本初等函数的导函数是关键，是基础题．
 

14.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查三角恒等变换，考查数学运算的核心素养，属于基础题．
由已知结合两角差的正切公式即可求解．
【解答】
解：由题意得，．
故答案为：．  

15.【答案】 

【解析】解：当游泳场地安排人时，则不同的安排方法有种，
当游泳场地安排人时，则不同的安排方法有种，
由分类加法原理可知共有种．
故答案为：．
分游泳场有名志愿者和名志愿者两种情况讨论，然后利用分类加法原理求解即可．
本题考查排列组合的运用，考查运算求解能力，属于基础题．
 

16.【答案】 

【解析】解：令，
，且，
，，
，
数列是首项为，公比为的等比数列，
，即，
．
故答案为：．
令，可得，利用等比数列的定义和通项公式，即可得出答案．
本题考查数列的递推式和数列的求和，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 

17.【答案】解：，且，
由正弦定理可得，
，
，
，且，
，；
设的中点为，如图，

的外接圆面积为，的外接圆的半径，
根据正弦定理可得：，
又由知，，
，，
又为中点，，
，
，
边上的中线长为． 

【解析】根据正弦定理，解三角方程，即可求解；
根据正弦定理，向量中点公式，向量数量积的性质，即可求解．
本题考查解三角形问题，正弦定理的应用，向量数量积的性质的应用，化归转化思想，属中档题．
 

18.【答案】解：，
，
数列是公差为的等差数列，
，
；
证明：，
，
由得，
． 

【解析】根据等差数列的通项公式计算求解，即可得出答案；
利用错位相减法计算，即可得出答案．
本题考查等差数列的性质和数列的求和，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 

19.【答案】解：由题意，，
，，
行驶里程与轮胎凹楳深度成负相关，且相关性较强．
由图像可知，车胎凹槽深度与对数回归预报值残差、偏离更小，拟合度更高，线性回归预报值偏美较大．
由题得线性回归模型的相关系数，
决定系数，
由题意，对数回归模型的决定系数，
，对数回归模型的拟合度更高． 

【解析】直接根据相关系数的计算公式求得，从而可判断相关性较强；
由图像可直观判断，再求出线性回归模型的决定系数，从而可判断对数回归模型的拟合度更高．
本题主要考查线性回归方程的求解，考查转化能力，属于中档题．
 

20.【答案】解：由题意，、分别为和的中点时，有，
证明过程如下：连接，取和中点分别为、，连接，

，一定过经过点，即为所求作的．
、分别为和的中点，、为的中位线，
，且过经过点，
正方体的的上底面为正方形．
，，，
又正方体的侧棱垂直底面，，
，又，平面，．
平面，平面，
，即；
连接，，建立空间直角坐标系，如图所示，

设正方体棱长为，则有，，，，，
，，，
易知为平面的法向量，
设平面，即平面的法向量，
则，取，
平面与平面的夹角的余弦值为：
，；
设直线交，于，，连接，分别交，于，，
连接，，则平面即为平面截正方体所得的截面，如图所示．
 

【解析】取和中点分别为、，利用正方体的性质结合线面垂直的判定定理可得平面，进而即得；
利用坐标法，根据面面角的向量求法即得；设直线交，于，，连接，分别交，于，，进而可得截面．
本题考查线面垂直的判定定理与性质，向量法求解面面角问题，正方体的截面问题，属中档题．
 

21.【答案】解：设，
由题意可得，
化为：，
的方程为．
设，，直线的方程为，
联立，化为，，
，
，，
，
直线的方程为，
直线的方程为，
消去可得，
直线与交点在一条定直线上． 

【解析】设，由题意可得，化简整理即可得出的方程．
设，，直线的方程为，与的方程联立化为，，直线的方程为，直线的方程为，消去可得，结合根与系数的关系即可得出结论．
本题考查了双曲线的标准方程及其性质、一元二次方程的根与系数的关系、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
 

22.【答案】解：函数的定义域为，，
所以当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以函数在处取得极小值，，该极小值也是最小值．
所以的最小值为．
因为对，恒成立，
所以，即恒成立，
令，，
所以当时，，单调递增，
因为，
所以当时，，恒成立，
当时，由得，即恒成立，
设，
所以当时，，单调递减，当时，单调递增，
所以，
所以要使恒成立，只需，解得，
由题可知，，
所以实数的取值范围为． 

【解析】根据导数研究函数单调性，结合单调性求解最值即可；
根据题意将问题转化为恒成立，进而结合的单调性转化为研究恒成立，再求函数最小值即可．
本题主要考查利用导数研究函数的最值，函数恒成立求参数范围问题，考查运算求解能力，属于中档题．