2023年湖南省长沙市天心区重点中学高考数学模拟试卷（二）（含解析）

这是一份2023年湖南省长沙市天心区重点中学高考数学模拟试卷（二）（含解析），共22页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年湖南省长沙市天心区重点中学高考数学模拟试卷（二）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.  已知集合，集合，则(    )A.  B.  C.  D. 2.  设复数满足，则的虚部是(    )A.  B.  C.  D. 3.  设为正方形的中心，在，，，，中任取点，则取到的点共线的概率为(    )A.  B.  C.  D. 4.  蹴鞠如图所示，又名蹴球、蹴圆、筑球、踢圆等，蹴有用脚蹴、踢、蹋的含义，鞠最早系外包皮革、内实米糠的球因而蹴鞠就是指古人以脚蹴、蹋、踢皮球的活动，类似于今日的足球年月日，蹴鞠作为非物质文化遗产经国务院批准已列入第一批国家非物质文化遗产名录已知某鞠球的表面上有四个点，，，，，，，平面，则该鞠球的表面积为(    )A.  B.  C.  D. 5.  如图甲是第七届国际数学家大会简称的会徽图案，会徽的主题图案是由图乙的一连串直角三角形演化而成的已知，，，为直角顶点，设这些直角三角形的周长从小到大组成的数列为，令为数列的前项和，则(    )

 A.  B.  C.  D. 6.  函数恒有，且在上单调递增，则的值为(    )A.  B.  C.  D. 或7.  已知函数，若不等式的解集中恰有两个不同的正整数解，则实数的取值范围(    )A.  B.  C.  D. 8.  已知双曲线的左、右焦点分别为，，点是双曲线右支上一点，满足，点是线段上一点，满足现将沿折成直二面角，若使折叠后点，距离最小，则(    )A.  B.  C.  D. 二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）9.  已知实数，，满足，则下列说法正确的是(    )A.  B.
C.  D. 10.  已知函数是奇函数，且，是的导函数，则(    )A.  B. 的周期是 C. 是偶函数 D. 11.  已知圆：，恒过点的直线与圆交于，两点下列说法正确的是(    )A. 的最小值为
B.
C. 的最大值为
D. 过点作直线的垂线，垂足为点，则点的运动轨迹在某个定圆上12.  随着时代与科技的发展，信号处理以各种方式被广泛应用于医学、声学、密码学、计算机科学、量子力学等各个领域而信号处理背后的“功臣”就是正弦型函数，的图象就可以近似的模拟某种信号的波形，则下列说法正确的是(    )A. 函数的图象关于直线对称
B. 函数的图象关于点对称
C. 函数为周期函数，且最小正周期为
D. 函数的导函数的最大值为三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.  二项式展开式中所有二项式系数和为，展开式中的常数项为，则 ______ ．14.  已知函数的导函数为，且满足，则函数在点处的切线方程为______ ．15.  在正四棱柱中，，，为中点，为正四棱柱表面上一点，且，则点的轨迹的长为        ．16.  意大利数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时发现了数列，，，，，，，，数列中的每一项被称为斐波那契数，记作已知，，，且．
若斐波那契数除以所得的余数按原顺序构成数列，则        ．
若，则        ．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.  本小题分
在数列中，，．
设，求数列的通项公式；
求数列的前项和．18.  本小题分
已知向量，且函数．
求的最小正周期及对称中心；
在中，内角，，的对边分别为，，，角为锐角，若，且的面积为，求的周长．19.  本小题分
如图，在三棱柱中，是边长为的等边三角形，，平面平面．
证明：；
若为的中点，直线与平面所成的角为，求直线与平面所成的角的正弦值．
20.  本小题分
已知圆是圆上任意一点，线段的垂直平分线与半径相交于点，当点运动时，点的轨迹为曲线．
求曲线的方程；
过点的直线与曲线相交于点，与轴相交于点，过点的另一条直线与相交于，两点，且的面积是面积的倍，求直线的方程．21.  本小题分
人工智能是一门极富挑战性的科学，自诞生以来，理论和技术日益成熟某校成立了，两个研究性小组，分别设计和开发不同的软件用于识别音乐的类别记两个研究性小组的软件每次能正确识别音乐类别的概率分别为，为测试软件的识别能力，计划采取两种测试方案．
方案一：将首音乐随机分配给，两个小组识别，每首音乐只被一个软件识别一次，并记录结果；
方案二：对同一首歌，，两组分别识别两次，如果识别的正确次数之和不少于三次，则称该次测试通过．
若方案一的测试结果如下：正确识别的音乐数之和占总数的；在正确识别的音乐数中，组占；在错误识别的音乐数中，组占．
(ⅰ)请根据以上数据填写下面的列联表，并根据的独立性检验，能否认为识别音乐是否正确与两种软件类型有关？  正确识别错误识别合计组软件   组软件   合计  (ⅱ)利用(ⅰ)中的数据，视频率为概率，求方案二在一次测试中获得通过的概率；
研究性小组为了验证软件的有效性，需多次执行方案二，假设，问该测试至少要进行多少次，才能使通过次数的期望值为？并求此时，的值附：，其中．  22.  本小题分
已知函数，．
当时，求函数的最小值；
当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：因为，，
可得，
因为，，
即，可得，
取交集可得．
故选：．
分别解出两个集合的取值范围，取交集即可．
本题主要考查交集及其运算，属于基础题．
 2.【答案】 【解析】解：，
则，，
故的虚部是．
故选：．
根据已知条件，结合复数的四则运算，共轭复数和虚部的定义，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，共轭复数和虚部的定义，属于基础题．
 3.【答案】 【解析】【分析】本题考查了古典概型概率问题，属于基础题．
根据古典概率公式即可求出．【解答】解：，，，，中任取点，共有，

其中共线为，，和，，两种，
故取到的点共线的概率为，
故选：．  4.【答案】 【解析】解：已知某鞠球的表面上有四个点，，，，，，，平面，
如图所示：

故AB，
作的垂直平分线和斜边的垂线交于点，
即点为球的球心，
所以，
故．
故选：．
首先求出球心的位置，进一步求出球的半径，最后求出球的表面积．
本题考查的知识要点：球的半径的求法，球的表面积公式，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
 5.【答案】 【解析】解：由题意得，
则，，，，
，
，
前项和，
故，
故选：．
由题意可得的边长，进而可得周长及，进而可得，即可得出答案．
本题考查数列的求和，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 6.【答案】 【解析】解：函数恒有，
，即，
，，，．
在上单调递增，
，且 ，则．
综合可得，，
故选：．
由题意，利用正弦函数的单调性和最值，求得的值．
本题主要考查正弦函数的单调性和最值，属于中档题．
 7.【答案】 【解析】解：函数，不等式化为：．
分别令，．
．
可得：函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减．
，如图所示．
不等式的解集中恰有两个不同的正整数解，
正整数解为，，
，即．
解得：．
数的取值范围是
故选：．
函数，不等式化为：分别令，利用导数研究函数的单调性，画出图象．根据不等式的解集中恰有两个不同的正整数解，可得正整数解为，，即可由，解出即可．
本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、不等式的解法、数形结合方法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
 8.【答案】 【解析】解：易知双曲线中，，
则，
又，即，
又，
，
如图，设，，，
则，
，
由三角函数知识可知，当时，取得最小值，此时为的角平分线，
由角平分线性质可知，此时，则，
．
故选：．
依题意，易知，作图，设，，，则，可知当时，即为的角平分线时，取得最小值，由此即可得解．
本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，将用表示是解决本题的关键，属于难题．
 9.【答案】 【解析】解：因为，
所以，
所以，A错误；
，
所以，B正确；
因为，，
所以，C正确；
，
所以，D正确．
故选：．
由已知结合不等式的性质，利用比较法分别检验各选项即可判断．
本题主要考查了不等式的性质，还考查了比较法在不等式大小比较中的应用，属于基础题．
 10.【答案】 【解析】解：根据题意，函数满足，则，即函数是周期为的周期函数，B正确；
而函数是奇函数，则，A错误；
为奇函数，则，等式两边同时求导，可得，即，是偶函数，C正确；
，则有，等式两边同时求导，可得，令可得，，
又由为偶函数，则，综合可得，D错误；
故选：．
根据题意，分析函数的周期可得B正确，结合函数的奇偶性求出的值，可得A错误，对等式两边同时求导，可得，可得C正确，结合函数的奇偶性分析的值，可得D错误，综合可得答案．
本题考查抽象函数的性质，涉及函数的奇偶性和周期性，属于基础题．
 11.【答案】 【解析】解：圆：的圆心为，半径为，
当满足，所以在圆内，
所以当时，取得最小值，如图所示，
此时，A错误．

设是的中点，，
由于，，所以，故B正确；

，
由于，，所以，
所以的最大值为，C正确；
设，由得：，
整理得，所以点的轨迹是以为圆心，半径为的圆，故D正确．
故选：．
根据圆的几何性质、向量数量积运算、动点轨迹方程等知识对选项进行分析，从而确定正确答案．
本题主要考查直线与圆的位置关系，轨迹方程的求法，本题的突破口在于化归与转化的数学思想方法，将所求的数量积转化为已知条件来进行求解，属于中档题．
 12.【答案】 【解析】解：因为函数，定义域为，
对于，，
所以函数的图象关于直线对称，故A正确；
对于，，
所以函数为奇函数，图象关于点对称，故B正确；
对于，由题知，故C错误；
对于，由题可知，故D正确．
故选：．
由题可知，根据诱导公式可得可判断，根据奇偶性的概念可判断，根据导数公式及三角函数的性质可判断．
本题主要考查了三角函数的图象和性质，属于中档题．
 13.【答案】 【解析】解：二项式展开的二项式系数和为，即，可得．
二项展开式的通项公式．
令可得常数项，此时．
那么．常数项为．
解得：．
故答案为：．
由题意可得二项式展开的二项式系数和为为，求得，利用二项展开式的通项公式，再令的幂指数等于零，求得的值，可得二项展开式的常数项为即可求出的值．
本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，体现了转化的数学思想，属于基础题．
 14.【答案】 【解析】解：，
，
令，可得．
，
．
函数在点处的切线方程为，
化为，
故答案为：．
，可得，令，可得可得，利用点斜式即可得出切线方程．
本题考查了导数的几何意义、切线方程、点斜式，属于基础题．
 15.【答案】 【解析】解：如图，连接，，
由题可知，，平面，
因平面，则，
又平面，平面，，则平面．
又平面，
则，
如图，过做平行线，交于，则为中点．
连接，，过作垂线，交于．
由题可得，平面，
又，则平面，
因平面，则，
又平面，平面，，则平面，
因为平面，则，
因为平面，平面，，则平面，
连接，则点轨迹为平面与四棱柱的交线，即，
注意到，
故，，
则，
故，
，
则点的轨迹的长为．

故答案为：．
过作与直线垂直的平面，则点的轨迹的长即为平面与正四棱柱的交线长．
本题为立体几何中的轨迹问题，根据题意作出空间轨迹是解题关键，属于难题．
 16.【答案】   【解析】解：由题意，，则，，则，
由，则除以的余数为，即，
由，则除以的余数为，即，
由，则除以的余数为，即，
由，则除以的余数为，即，
由，则除以的余数为，即，
由，则除以的余数为，即，
故由斐波那契数除以的余数按原顺序构成的数列，是以为最小正周期的数列，
因为，所以；
由斐波那契数的递推关系可知：时，且，，
所以．
故答案为：；．
根据带余除法的性质，总结数列规律，可得答案；
利用递推公式，结合裂项相消，可得答案．
本题主要考查数列递推式，考查运算求解能力，属于中档题．
 17.【答案】解：由已知得，且，
即，从而，
，
．
于是．
又，
故所求的通项公式为．
由知，
故，
设，
，
得，

，
．
． 【解析】由已知得，即，由此能够推导出所求的通项公式．
由题设知，故，设，由错位相减法能求出从而导出数列的前项和．
本题考查数列的通项公式和前项和的求法，解题时要注意错位相减法的合理运用．
 18.【答案】解：，
由，
故最小正周期为，
由，，
，，
的对称中心为，．
由于，
故，
于是，
又，解得，
所以，解得，
故A或舍去，
由余弦定理，则，
化简得：，
，
，
的周长为． 【解析】首先将函数的解析式化简为的形式，然后确定其最小正周期和对称中心即可；
由题意首先求得的值，然后利用正弦定理求得 的大小，最后结合余弦定理求得 的值即可求得三角形的周长．
本题主要考查三角函数的化简与性质，正弦定理、余弦定理解三角形的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力，属于中档题．
 19.【答案】证明：如图，在三棱柱中，取的中点，连接，
因为是等边三角形，则，又平面，
平面平面，平面平面，则平面，
而平面，于是，又，，平面，因此平面，
又平面，则，于是，
所以B.
解：取的中点，连接由得平面，
又，所以是直线与平面所成的角，即，，
由知，，两两互相垂直，以为坐标原点，直线为轴，
过点且平行于的直线为轴，直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，
于是，，，
设平面的法向量为，则，
即，令，得，
设直线与平面所成的角为，则，
即直线与平面所成的角的正弦值为． 【解析】取的中点，连接，利用面面垂直的性质、线面垂直的性质判定证明平面即可推理作答；
由给定的线面角求出，再建立空间直角坐标系，利用空间向量求出线面的正弦作答．
本题主要考查了利用空间向量求直线与平面所成的角，属于中档题．
 20.【答案】解：因为点为线段的垂直平分线与半径的交点，
所以，
所以，
所以点的轨迹是以，为焦点，长轴长为的椭圆，
所以，，
又，
所以，，，
所以曲线的方程为．
根据题意可得，
所以直线的方程为，
所以，
当直线的斜率不存在时，，或，与已知不符，
当直线的斜率存上时，设直线的方程，，，
由，得，
所以，，
，，
由的面积是面积的倍，，
化简得，即，
又，
所以，即，则，
所以，，，，
解得，
所以直线的方程为． 【解析】由点为线段的垂直平分线与半径的交点，则，进而可得，又椭圆的定义可得点的轨迹是以，为焦点，长轴长为的椭圆，解得，，，即可得出答案．
写出直线的方程为，分两种情况：当直线的斜率不存在时，当直线的斜率存上时，分析，，解得，即可得出答案．
本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．
 21.【答案】解：依题意得列联表如下：  正确识别错误识别合计组软件组软件合计因为，
且，
所以根据的独立性检验，不能认为识别音乐是否正确与两种软件类型有关；
由得，
故方案二在一次测试中通过的概率为；
方案二每次测试通过的概率为，
所以当时，取到到最大值，
又，此时，
因为每次测试都是独立事件，
故次实验测试通过的次数，期望值，
因为，所以
所以测试至少次，此时． 【解析】根据条件填写列联表，并求出的值，再与临界值比较即可作出判断；
根据列联表求出，，对“一次测试通过”作分类讨论求出其概率；
根据对“一次测试通过”的分类讨论，求出其概率的最大值，再按照二项分布求解．
本题主要考查了独立性检验的应用，考查了独立事件的概率乘法公式，属于中档题．
 22.【答案】解：由题意，，
令，则，当时，，当时，．
所以．
由，
所以，
记，即恒成立，且，
当时，
(ⅰ)若，由上知，则递增，
令且，则，故在上递增，则，所以，以上成立，
所以恒成立，即成立，符合题意．
，若，则单调递增，
又，，
所以存在唯一使，
当时，，递减，当时，，递增，
又，，
故存在唯一，使，
故时，，递增，时，，递减，
又，，
所以时，，则递增，
故，即恒成立．
当时，当，令，则，
所以在单调递增，且，，
令且，则，故在上递增，则，所以，以上成立，
故存在唯一，使得，
当时，递减，所以，此时，不合题意．
综上，实数的取值范围为． 【解析】利用导数研究的单调性求最值；
令，问题化为恒成立，利用导数研究单调性，讨论参数及定义域判断符号，即可求范围．
本题考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查不等式的恒成立问题，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于较难题目．