2023年河南省TOP二十名校高考数学模拟试卷（理科）（含解析）

这是一份2023年河南省TOP二十名校高考数学模拟试卷（理科）（含解析），共19页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年河南省TOP二十名校高考数学模拟试卷（理科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.  已知集合，集合，则(    )A.  B.
C.  D. 2.  关于复数的下列命题中：，：，：，：，其中真命题为(    )A. ， B. ， C. ， D. ，3.  某海湾拥有世界上最大的海潮，其高低水位之差可达到米假设在该海湾某一固定点，大海水深单位：与午夜后的时间单位：之间的关系为，则下午：时刻该固定点的水位变化的速度为(    )A.  B.  C.  D. 4.  已知一组样本数据，，，，根据这组数据的散点图分析与之间的线性相关关系，若求得其线性回归方程为，则在样本点处的残差为(    )A.  B.  C.  D. 5.  已知，为异面直线，平面，平面直线满足，，，，则(    )A. 且 B. 且
C. 与相交，且交线垂直于 D. 与相交，且交线平行于6.  已知数列满足，是数列的前项和，若已知，的值为(    )A.  B.  C.  D. 7.  在中，是边上的点，满足，在线段上不含端点，且，则的最小值为(    )A.  B.  C.  D. 8.  已知圆的直径，若平面内一个动点与点的距离是它与点距离的倍，则的面积的最大值为(    )A.  B.  C.  D. 9.  已知，，，则，，的大小关系是(    )A.  B.  C.  D. 10.  是双曲线：的左焦点，是坐标原点，直线与双曲线的左、右两支分别交于，两点，且，则双曲线的离心率为(    )A.  B.  C.  D. 11.  已知函数，当，时，，则的值为(    )A.  B.  C.  D. 12.  已知平面四边形中，，，将沿对角线折起，使得二面角的大小为，则三棱锥的外接球的表面积为(    )A.  B.  C.  D. 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.  在的展开式中，按的升幂排列的第三项为______ ．14.  单位圆与轴正半轴交于点，，为单位圆上两点，，，，位于第二象限，则        ．15.  已知抛物线的焦点为，准线为，过焦点的直线交抛物线于，两点，过，分别向引垂线，垂足分别为，，若，那么内切圆的半径为        ．16.  已知函数，若存在唯一的整数，使得，则实数的取值范围是______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.  本小题分
的内角，，的对边分别为，，，已知，是边上一点，，．
求；
求的最大值．18.  本小题分
已知三棱柱中，，，，是的中点，是线段上一点．
求证：；
设是棱上的动点不包括边界，当的面积最小时，求直线与平面所成角的正弦值．
19.  本小题分
某水果店的草莓每盒进价元，售价元，草莓保鲜度为两天，若两天之内未售出，以每盒元的价格全部处理完店长为了决策每两天的进货量，统计了本店过去天草莓的日销售量单位：十盒，获得如下数据： 日销售量十盒天数假设草莓每日销量相互独立，且销售量的分布规律保持不变，将频率视为概率．
记每两天中销售草莓的总盒数为单位：十盒，求的分布列和数学期望；
以两天内销售草莓获得利润较大为决策依据，在每两天进十盒，十盒两种方案中应选择哪种？20.  本小题分
圆，圆心为，点，作圆上任意一点与点连线的中垂线，交于．
求的轨迹的方程；
设为曲线上任意一点，直线，分别交曲线于，两点，，，求的值．21.  本小题分
已知函数，．
若为上的增函数，求的取值范围；
若在内恒成立，，求的最大值．22.  本小题分
在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为为上的动点，点满足，设点的轨迹为曲线，以为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系．
写出曲线的极坐标方程；
直线，与曲线交于点不同于原点，与曲线：交于点不同于原点，求的最大值．23.  本小题分
已知，，均为正数，若，求证：
；
．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：集合，
集合，
则．
故选：．
先求出集合，集合，利用并集定义能求出．
本题考查集合的运算，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 2.【答案】 【解析】解：复数，
，故错误；
，故正确；
，故正确；
，故错误．
故选：．
根据已知条件，结合复数的运算，先对化简，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，以及共轭复数的定义，复数模公式，属于基础题．
 3.【答案】 【解析】解：由，知，
所以下午：时刻该固定点的水位变化的速度为．
故选：．
根据导数的定义，结合导数的运算法则，即可得解．
本题考查瞬时变化率的求法，理解导数的含义，熟练掌握导数的运算法则是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
 4.【答案】 【解析】解：把代入，
得，
则在样本点处的残差为．
故选：．
在已知线性回归方程中，取代入求得预测值，减去实际值即可得残差．
本题考查线性回归方程的应用，考查残差的求法，属于基础题．
 5.【答案】 【解析】解：由平面，直线满足，且，所以，
又平面，，，所以．
由直线，为异面直线，且平面，平面，则与相交，否则，若则推出，
与，异面矛盾．
故与相交，且交线平行于．
故选：．
由题目给出的已知条件，结合线面平行，线面垂直的判定与性质，可以直接得到正确的结论．
本题考查了平面与平面之间的位置关系，考查了平面的基本性质及推论，考查了线面平行、线面垂直的判定与性质，考查了学生的空间想象和思维能力，是中档题．
 6.【答案】 【解析】解：数列满足，，，
时，数列为等比数列，首项为，公比；
时，数列为等差数列，，公差．
．
故选：．
由数列满足，，，可得时，数列为等比数列，公比；时，数列为等差数列，，公差利用求和公式即可得出结论．
本题考查了数列递推关系、等差数列与等比数列的通项公式及求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
 7.【答案】 【解析】解：，又，
，又在线段上不含端点，
，且，，

，当且仅当时，等号成立，
的最小值为．
故选：．
根据向量共线定理的推论，可得，且，，再利用基本不等式，即可求解．
本题考查向量共线定理的推论，利用基本不等式的应用，属中档题．
 8.【答案】 【解析】解：以为坐标原点，以所在直线为轴建立平面直角坐标系，
则，，设，
由题意可得：，
整理得：．
则到所在直线的距离的最大值为，
的面积的最大值为．
故选：．
以为坐标原点，以所在直线为轴建立平面直角坐标系，求出的轨迹方程，可得到所在直线距离的最大值，代入三角形面积公式得答案．
本题考查圆的方程的求法，考查运算求解能力，是基础题．
 9.【答案】 【解析】解：，
，
，
，，
又，
，
，
故选：．
利用对数函数和指数函数的性质求解．
本题考查了指数函数与对数函数的单调性，属于基础题．
 10.【答案】 【解析】解：直线方程为，可得，
又，可得为底角为的等腰三角形，
易得点为，将代入双曲线方程中可得：
，又，
，
，
，又，
，，
故选：．
根据题意易得为底角为的等腰三角形，从而可得点为，将代入双曲线方程中建立方程，再化归转化，即可求解．
本题考查双曲线的几何性质，方程思想，化归转化思想，属中档题．
 11.【答案】 【解析】解：，
，
，即，
，
，，
又，
，
由得：，
整理得：．
故选：．
依题意，得，即，再结合，，分析得到，，从而可得答案．
本题考查两角和与差的三角函数，考查正弦函数的性质的应用，考查转化思想与运算能力，属于中档题．
 12.【答案】 【解析】解：如图所示，取的中点，的中点，连接，，过点作平面，
设点为三棱锥的外接球的球心，连接，，设，球的半径为，
由已知可得：，，，
，，，
，，
，
，
解得，
，
三棱锥的外接球的表面积为．
故选：．
如图所示，取的中点，的中点，连接，，过点作平面，设点为三棱锥的外接球的球心，连接，，设，球的半径为，由已知可得：，，，由，可得，根据，解得，可得，即可得出三棱锥的外接球的表面积．
本题考查了数量积运算性质、等边三角形与直角三角形的性质、球的表面积计算公式、方程思想方法，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于中档题．
 13.【答案】 【解析】解：由题意多项式的展开式中按的升幂排列第三项为含的项，
即为．
故答案为：．
利用二项式定理的展开式，即可解出．
本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算求解能力，属于基础题．
 14.【答案】 【解析】解：由题意可知，，
则为等边三角形，
，
则，
，
，
．
故答案为：．
根据已知条件，结合三角函数的定义，推得，再结合三角函数的恒等变换，即可求解．
本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于中档题．
 15.【答案】 【解析】解：抛物线的焦点为，准线为：，，
设，则根据抛物线的几何性质易知，
，易知，，
，
，又根据抛物线的几何性质易得，
可解得，，
可得，，根据对称性，不妨设在第一象限，
，，，，又，
，，又，
设内切圆的半径为，则根据等面积算法可得：
，
，
解得．
故答案为：．
设，则根据抛物线的几何性质易知，从而可得，又易知，，从而得，再结合抛物线的几何性质，可求出，，从而可求出，的坐标，进而得，的坐标，从而可得的各边边长，最后再利用等面积法思想，即可求解．
本题考查抛物线的几何性质，等面积算法思想，方程思想，化归转化思想，属中档题．
 16.【答案】 【解析】解：由，，
化为，
分别令，，
则，
，
可得函数在上单调递增，在上单调递减．
由存在唯一的整数，使得，
，即，
解得，
实数的取值范围是
故答案为：
由，，化为，分别令，，，利用导数研究函数的单调性，结合存在唯一的整数，使得，即可得出关于的不等式组，进而得出实数的取值范围．
本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值、转化方法、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
 17.【答案】解：由正弦定理及知，，
因为，所以，
所以．
因为，所以，
又，
所以，整理得，
所以，
所以，当且仅当，即时，等号成立，
所以，
故的最大值为． 【解析】利用正弦定理化边为角，再由同角三角函数的商数关系，得解；
由，知，将其两边平方后，结合基本不等式，计算可得，再由平面向量数量积的运算法则，得解．
本题考查解三角形，熟练掌握正弦定理，平面向量的线性运算与数量积的运算法则是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 18.【答案】证明：，
在底面的射影是底面的中心，
，，是的中点
平面，则，
在三棱柱中，，
，，
，
平面，
平面，．
解：连接，
是等腰直角三角形，，
建立以为坐标原点，，，分别为，，轴的空间直角坐标系如图：
，，，，，
即是等腰直角三角形，
设底面上的高为，
则，要使的面积最小，则最小，即是异面直线与的公垂线即可，
即，
是等腰直角三角形，是的中点，
则，，，，
设，则，即，得，，，
即，
，则，
，，
设平面的法向量为，
由，，得，即，令，则，，即，
设直线与平面所成角为，
则，，
即直线与平面所成角的正弦值为． 【解析】根据得到在底面的射影是底面的中心，即平面，利用线面垂直的性质进行证明即可．
根据三角形的面积最小，得到是的中点，建立坐标系求出平面的法向量，利用向量法进行求解即可．
本题考查立体几何的综合应用，熟练掌握线面垂直的判定定理与性质定理，利用空间向量求线面角的方法是解题的关键，考查空间立体感、推理论证能力和运算能力，属于中档题．
 19.【答案】解：日销售量为盒、盒、盒、盒的概率依次为：，，，，
根据题意可得：的所有可能取值为，，，，，，，
，
，
，
，
，
，
，
所以的分布列为：                 所以期望；
当每两天进十盒时，利润为，
当每两天进十盒时，利润为，
，所以每两天进十盒利润较大，
故应该选择每两天进十盒． 【解析】首先计算日销售量为盒、盒、盒、盒的概率，根据题意写出随机变量的所有取值并计算概率可得分布列，进一步计算可得期望值；
分别计算每两天进十盒，十盒两种方案下利润的期望值，比较即可作出决策．
本题考查了离散型随机变量的分布列与期望以及期望在概率决策问题中的应用，属于中档题．
 20.【答案】解：由题，线段的垂直平分线交于点，则．
所以，
即点在以、为焦点，长轴长为的椭圆上，
所以，，，
故点的轨迹方程为：．
设，，，，，
直线的方程为，
，
与椭圆方程联立可得，
，
，，
同理可得，
由，，
，同理可得，
． 【解析】判断点在以、为焦点，长轴长为的椭圆上，求出、，得到椭圆方程．
设，，，求得直线的方程与椭圆方程联立可得，同理可求，又，同理可得，可求的值．
本题主要考查直线与椭圆的位置关系的应用，直线与曲线联立，根据方程的根与系数的关系解题，属中档题．
 21.【答案】解：，．
，
为上的增函数，
在上恒成立，
．
令，，
，
令，解得，
可得函数在上单调递减，在上单调递增，
时，函数取得极小值即最小值，，
，
的取值范围是．
在内恒成立，在内恒成立，
化为，
，
令，，，
，，
当时，，函数在上单调递增，时，时，不符合题意，舍去；
当时，令，解得，
函数在上单调递减，在上单调递增，
时，函数取得极小值即最小值，
，
令，则，
，
令，解得．
可得时，函数取得极大值即最大值，，
的最大值为． 【解析】，，利用导数的运算法则可得，根据为上的增函数，可得在上恒成立，通过分离参数，利用导数研究函数的单调性与极值，进而得出的取值范围．
在内恒成立，在内恒成立，化为，，令，，，利用导数研究函数的单调性与极值，进而得出结论．
本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值及最值、方程与不等式的解法、转化方法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
 22.【答案】解：曲线的参数方程为，
消去参数可得曲线的普通方程为，
设，，，又为上的动点，
，，
点的轨迹曲线的普通方程为，
曲线的极坐标方程为，
即为；
设，，
则，，
，，
当，即时，． 【解析】根据题意先消去参数，可得曲线的普通方程为，再利用“相关点法“求出的轨迹曲线的普通方程，从而再将其化为极坐标方程，即可得解；
利用极径的几何意义，三角函数的性质，函数思想，即可求解．
本题考查参数方程、普通方程、极坐标方程之间的相互转化，极径的几何意义，三角函数的性质，函数思想，属中档题．
 23.【答案】证明：，
由柯西不等式得，
，当且仅当等号成立，即，
；
，
当且仅当时等号成立，当且仅当时等号成立，当且仅当时等号成立，，
，当且仅当时等号成立，
故． 【解析】利用柯西不等式，即可证明结论；
利用基本不等式，即可证明结论．
本题考查不等式的证明，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．