2023年上海市高考数学考前适应性试卷（含解析）

2023年上海市高考数学考前适应性试卷

一、单选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  设，则“”是“”的(    )

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

2.  现从名男同学和名女同学中选取两人加入“数学兴趣小组”，用表示事件“抽到两名同学性别相同”，表示事件“抽到两名女同学”，则在已知事件发生的情况下事件发生的概率即(    )

A.  B.  C.  D.

3.  在正方体中，点在正方形内不含边界，则在正方形内不含边界一定存在一点，使得(    )

A.
B.
C. 平面
D. 平面平面

4.  对于，，若正整数组满足，，则称为的一个拆，设中全为奇数，偶数时拆的个数分别为，，则(    )

A. 存在，使得 B. 不存在，使得
C. 存在，使得 D. 不存在，使得

二、填空题（本大题共12小题，共60.0分）

5.  已知全集，集合，，则 ______ ．

6.  设复数满足为虚数单位，则 ______ ．

7.  已知为角终边上一点，则 ______ ．

8.  年月日在卡塔尔世界杯决赛中，阿根廷队战胜法国队冠卡塔尔世界杯也缓缓落下了帷幕下表是连续届世界杯足球赛的进球总数：

则进球总数的第百分位数是______ ．

9.  已知矩形的周长为，矩形绕它的一条边旋转形成一个圆柱，则旋转形成的圆柱的侧面积的最大值为______．

10.  某校团委对“学生性别和喜欢网络游戏是否有关”作了一次调查，其中被调查的男女生人数相同，男生喜欢网络游戏的人数占男生人数的，女生喜欢网络游戏的人数占女生人数的若根据独立性检验认为喜欢网络游戏和性别有关，且此推断犯错误的概率超过但不超过，则被调查的学生中男生可能有        人请将所有可能的结果都填在横线上
附表：，其中．

11.  的展开式中，常数项为______ ．

12.  如图，椭圆，与双曲线，的离心率分别为，，，，其大小关系为______ ．

13.  现在有人通过个不同的闸机进站乘车，每个闸机每次只能过人，要求每个闸机都要有人经过，则有______ 种不同的进站方式用数字作答
 

14.  若曲线有两条过的切线，则的范围是______ ．

15.  设向量，，记，若圆：上的任意三点，，，且，则的最大值是______ ．

16.  定义在区间上的函数的图象是一条连续不断的曲线，在区间上单调递增，在区间上单调递减，，，给出下列四个结论：
若为递增数列，则存在最大值；
若为递增数列，则存在最小值；
若，且存在最小值，则存在最小值；
若，且存在最大值，则存在最大值．
其中所有错误结论的序号有           ．

三、解答题（本大题共5小题，共60.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
已知函数的最小正周期为，且，
求，；
将图象往右平移个单位后得函数，求的最大值及这时值的集合．

18.  本小题分
已知正方体，点为中点，直线交平面于点．
求证：点为中点；
若点为棱上一点，且二面角的余弦值为，求．

19.  本小题分

在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到以上含的同学将获得优秀奖为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据单位：

甲：，，，，，，，，，

乙：，，，，，

丙：，，，．

假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立．

估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率

设是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计的数学期望

在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大结论不要求证明
 

20.  本小题分
已知椭圆：的离心率为，左、右顶点分别为、，点、为椭圆上异于、的两点，面积的最大值为．
求椭圆的方程；
设直线、的斜率分别为、，且．
求证：直线经过定点；
设和的面积分别为、，求的最大值．

21.  本小题分
记无穷数列的前项中最大值为，最小值为，令，则称是“极差数列”．
若，求的前项和；
证明：的“极差数列”仍是；
求证：若数列是等差数列，则数列也是等差数列．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：由，可得，
则是的必要不充分条件．
故选：．
根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的关系进行判断即可．
本题主要考查充分条件、必要条件的定义，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：由题意可得表示事件“抽到两名同学性别相同”，
则，
表示事件“抽到两名女同学”，则，
故，
故选：．
分别求出，，根据条件概率的计算公式即可求得答案．
本题主要考查了古典概型的概率公式，考查了条件概率公式，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：选项A，正方体中，显然有，连接延长，
如果直线交棱于点图，
则作交于，连接，则是梯形，
作交于，则平面，
如果直线交棱于点图，
则直接连接，在三角形内作交于，也有平面，因此A正确；

选项B，正方体中易知平面，因此与垂直的直线都可能平移到平面内，
而当平面，平面时，直线与平面相交，不可能平移到平面内，错；
选项C，由选项B知与不可能垂直，因此与平面也不可能垂直，错；
选项D，过的平面只有平面与平面平行，因此要使得平面平面，
则平面与平面重合，从而点只能在棱上，与已知不符，错．
故选：．
作出截面后可作，从而判断，利用线面垂直的性质判断，根据面面平行的性质判断．
本题主要考查空间直线、平面位置关系的判断，空间几何体的结构特征，考查逻辑推理能力，属于中档题．
 

4.【答案】 

【解析】解：对于任意的，至少存在一个全为的拆分，故A错误；
当为奇数时，，故B错误；
当为偶数时，是每个数均为偶数的分拆，
则它至少对应了和的均为奇数的拆，
当时，偶数拆为，奇数拆为，；
当时，偶数拆为，，奇数拆为，；
故当时，对于偶数的拆，除了各项不全为的奇数拆分外，
至少多出一项各项均为的拆，故，故C错误，D正确，
故选：．
根据已知“拆”的定义，对应各个选项逐个判断即可．
本题考查了新定义“拆”，考查了学生的分析问题的能力以及逻辑推理能力，属于中档题．
 

5.【答案】 

【解析】解：由题意结合补集的定义可得．
故答案为：．
根据集合补集运算定义运算即可．
本题考查集合补集的运算、考查数学运算能力及直观想象能力，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：，故．
故答案为：．
求出，进而利用复数的模长性质求出答案．
本题主要考查复数的四则运算，以及复数模公式，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：点为角终边上一点，，
则，，
．
故答案为：．
由已知点的坐标求出到原点的距离，利用任意角的三角函数的定义求得，的值，然后求解即可．
本题考查任意角的三角函数的定义，是基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：由题意将进球总数从小到大排列为：，，，，，，，，
因为，
则进球总数的第百分位数为．
故答案为：．
将进球总数从小到大排列，然后根据百分位数的求解公式即可求解．
本题考查了百分位数的求解，属于基础题．
 

9.【答案】 

【解析】解：如图所示，
设矩形的长与宽分别为，．
则，即．
，当且仅当时取等号．
解得．
旋转形成的圆柱的侧面积．
旋转形成的圆柱的侧面积的最大值为．
故答案为：．
利用矩形的周长公式、基本不等式的性质、圆柱的侧面积计算公式即可得出．
本题考查了矩形的周长公式、基本不等式的性质、圆柱的侧面积计算公式，属于基础题．
 

10.【答案】，，，， 

【解析】解：根据题意，设男生有人，
由于男生喜欢网络游戏的人数占男生人数的，女生喜欢网络游戏的人数占女生人数的，
可得列联表如下：

若认为喜欢网络游戏和性别有关，且该推断犯错误的概率超过但不超过，
则．
，
，解得，
又为的整数倍，则可能的值为，，，，，
故被调查的学生中男生可能人数为，，，，；
故答案为：，，，，．
根据题意，设男生有人，结合题意建立列联表，用表示的值，可得关于的不等式，又由为的整数倍，分析可得的值，即可得答案．
本题考查独立性检验的应用，注意建立列联表，属于基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：因为的展开式为，
令，解得，不合题意；
令，解得；
所以的展开式中的常数项为．
故答案为：．
根据题意结合二项展开式的通项公式分析运算．
本题考查二项式定理的运用，考查运算求解能力，属于基础题．
 

12.【答案】 

【解析】解：由题意，可得椭圆，的值相同，椭圆的值小于椭圆的值，
又由，可得，
根据双曲线的开口越大离心率越大，根据图象，可得，
所以．
故答案为：．
根据椭圆与双曲线的几何性质，即可求解．
本题考查椭圆与双曲线的几何性质，属基础题．
 

13.【答案】 

【解析】解：将人分为组，有和两种情况：
当分组为时：共有，
当分组为时：共有，
综上所述：共有种不同的进站方式．
故答案为：．
考虑和两种情况，结合同一闸机的不同人的顺序，计算相加得到答案．
本题主要考查了排列组合知识，考查了分类加法计数原理的应用，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：设切线切点为，又，所以切线斜率为，
因为，所以切线方程为：
又切线过，则，即，
则由题可知函数图象与直线有两个交点，
由得，由得，
所以在上单调递增，在上单调递减．
又，又，，，．
据此可得大致图象如下．

则由图可得，当时，曲线有两条过的切线．
故答案为：．
由题可将曲线有两条过的切线转化为函数图象与直线有两个交点，然后利用导数研究单调性，画出大致图象，即可得答案．
本题考查利用导数求函数的切线问题，化归转化思想，数形结合思想，属中档题．
 

15.【答案】 

【解析】解：由圆的方程可得，
则圆心，半径，
设，，，
由得为圆的直径，
， 即，，
则，
为圆上一点，
当直线与圆相切时有最大值，
圆心到直线距离，或，
，
当时，原式有最大值．
故答案为．
先设，，，再根据垂直得出为圆的直径，得，，
求出，转化为直线与圆相切时有最大值，求出最大值即可．
本题考查直线与圆的位置关系，考查平面向量和差数量积运算，考查转化思想，属于中档题
 

16.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了函数的定义与应用问题，也考查了推理与判断能力，是难题．
根据题意，分别判断题目中的命题是否正确即可．

【解答】

解：对于，由条件知，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，，，，那么在区间，函数的最大值是，
若数列为递增数列，则函数不存在最大值，所以错误；
对于，由条件知，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，
若为递增数列，那么在区间的最小值是，且为递增数列，
所以函数在区间的最小值是，所以正确；
对于，若，取，；则，存在最小值，
但此时的最小值是的最小值，此函数单调递减，无最小值，所以错误；
对于，若，取，则恒成立
则有最大值，但的最大值是的最大值，
此函数单调递增，无最大值，所以错误．
故答案为：．

17.【答案】解：函数的最小正周期为，．
再根据，，．
将的图象往右平移个单位后得函数的图象，
故
当取得最大值时，
由，，求得，，
故当取得最大值时，值的集合为． 

【解析】由题意，利用函数的周期性求出，再根据据，求得值．
由题意，利用函数的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，求得的最大值及这时值的集合．
本题主要考查函数的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，属于中档题．
 

18.【答案】证明：连结，
在正方体中，，平面，平面，
则平面，因为平面平面，
所以，则，
故A，又因为，
所以四边形为平行四边形，四边形为平行四边形，
所以，，
而点为的中点，所以，
故B，则点为的中点；
解：以点为原点，建立空间直角坐标系，如图所示，
设正方体边长为，设点，且，
则，，，
故，
设平面的法向量为，
则，即，
所以，，故，
设平面的法向量为，
则，即，
所以，，故，
因为二面角的余弦值为，
则，
解得，又，
所以，
故． 

【解析】连结，利用线面平行的判定定理证明平面，从而可证明，即可证明四边形为平行四边形，四边形为平行四边形，可得，，即可证明，故点为的中点；
建立合适的空间直角坐标系，设点，且，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面与的法向量，由向量的夹角公式列出关于的关系式，求解即可得到答案．
本题考查了立体几何的综合应用，涉及了线面平行的性质定理的应用，二面角的应用，在求解有关空间角问题的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，属于中档题．
 

19.【答案】解：甲以往的次成绩中有次获得优秀奖，用频率估计概率，则甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率．
用频率估计概率，则乙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率为，丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率为，
的所有可能取值为，，，，
则，
，
，
，
．
甲成绩的平均值为，乙成绩的平均值为，丙成绩的平均值为，
故甲获得冠军的概率估计值最大． 

【解析】本题主要考查了古典概型的概率公式，考查了离散型随机变量的期望，属于中档题．
用频率估计概率，即可求出甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率．
分别求出甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率，的所有可能取值为，，，，结合独立事件的概率乘法公式求出相应的概率，再利用期望公式即可求出．
根据三位同学以往成绩的平均值可知，甲获得冠军的概率估计值最大．
 

20.【答案】解：当点为椭圆短轴顶点时，的面积取最大值，
且最大值为，
由题意可得，解得，
所以椭圆的标准方程为．
证明：设点、，
若直线的斜率为零，则点、关于轴对称，则，不合乎题意；
设直线的方程为，由于直线不过椭圆的左、右焦点，则，
联立，消去可得，
，可得，
由韦达定理可得，
则，
所以
，
解得，
即直线的方程为，故直线过定点．
由韦达定理可得，
所以，
，
因为，则，
因为函数在上单调递增，
故，
所以，当且仅当时，等号成立，
因此，的最大值为． 

【解析】根据题意可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得出椭圆的方程；
分析可知直线不与轴垂直，设直线的方程为，可知，设点，将直线的方程的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，利用求出的值，即可得出直线所过定点的坐标；
写出关于的函数关系式，利用对勾函数的单调性可求得的最大值．
本题考查了椭圆的标准方程以及直线与椭圆的位置关系，椭圆中三角形面积的最值问题，属于较难题目．
 

21.【答案】解：无穷数列的前项中最大值为，最小值为，，，
是递增数列，，
的前项和．
证明：，，，，
，，，，
，，，，
，
，
，
的“极差数列”仍是
证明：当数列是等差数列时，设其公差为，
，
根据，的定义，得：
，，且两个不等式中至少有一个取等号，
当时，必有，，
是一个单调递增数列，，，
，
，是等差数列，
当时，则必有，，
是一个单调递减数列，，，
，
是等差数列，
当时，，
，中必有一个为，
根据上式，一个为，为一个必为，
，，
数列是常数数列，则数列是等差数列．
综上，若数列是等差数列，则数列也是等差数列． 

【解析】由是递增数列，得，由此能求出的前项和；
推导出，，由此能证明的“极差数列”仍是；
证当数列是等差数列时，设其公差为，，是一个单调递增数列，从而，，由，，，分类讨论，能证明若数列是等差数列，则数列也是等差数列．
本题主要考查新定义数列的理解和运用，考查等差数列的证明，考查数列的单调性，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题．