2023平邑县一中高二下学期6月月考考试数学试题含解析

平邑一中新校区高二下学期4月份月考

数学试卷

一、单项选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 4名同学参加跑步、跳远、跳高三个项目，每人限报1项，共有（  ）种报名方法.

A. 64种 B. 81种 C. 32种 D. 12种

【答案】B

【解析】

【分析】利用分步乘法原理即得解.

【详解】每名同学有3种选法，根据分步乘法原理得共有种报名方法.

故选：B

2. 设，若，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据导数值直接构造方程求解即可.

【详解】，，解得：.

故选：A.

3. 已知函数，则的极小值为（    ）

A. 2 B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】利用导数法求函数的极值的步骤及函数的极小值的定义即可求解.

【详解】函数的定义域为，

因为

所以，

令，则，解得或（舍），

由此表可知，当时，的取得极小值为.

故选：D.

4. 丹麦数学家琴生（Jensen）是世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凸凹性与不等式方面留下了很多宝贵的成果.设函数在上的导函数为，在上的导函数为，在上恒成立，则称函数在上为“凹函数”.则下列函数在上是“凹函数”的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据“凹函数”的定义逐项验证即可解出．

【详解】对A，，当时，，所以A错误；

对B，，在上恒成立，所以B正确；

对C，，，所以C错误；

对D，，，因为，所以D错误．

故选：B．

5. 如图，提供4种不同的颜色给图中，，，四块区域涂色，若相邻的区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有（     ）种．

A. 12 B. 36 C. 48 D. 72

【答案】C

【解析】

【分析】根据使用颜色的数量进行分类计算即可.

【详解】如果只用了3种颜色，则ABD三块区域颜色必两两不同，C区域必与A相同，

则涂法有种；

如果用了全部4种颜色，则涂法有种；

所以总共有种涂法.

故选：C.

6. 已知函数有两个不同的零点，则实数a的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】先求函数定义域，进而转化为，与两函数有两个交点，利用导函数得到的单调性，得到函数极值和最值，画出函数图象，数形结合得到答案.

【详解】定义域为，

故有两个不同的根，即，与两函数有两个交点，

其中，

当时，，当时，，

故在上单调递增，在上单调递减，

从而在处取得极大值，也是最大值，

，

且当时，恒成立，

当时，恒成立，

画出的图象如下：

显然要想，与两函数有两个交点，

需要满足，

综上：实数a的取值范围是.

故选：B

7. 若函数在区间内存在单调递减区间，则实数a的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】利用导数求得单调递减区间，问题等价于单调递减区间与区间的交集为非空区间，从而可以求参.

【详解】由，可得．

①当时，，此时函数单调递减，

所以当时，函数在区间内存在单调递减区间.

②当时，令，可得，

当时，单调递减；当时，单调递增

所以函数的减区间为，增区间为，

若函数在区间内存在单调递减区间，

只需，得.

综上所述，．

故选：C

8. 已知函数满足（其中是的导数），若，，，则下列选项中正确的是（    ）

A  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据已知条件构造函数，利用导数法求函数的单调性及指数函数的单调性，结合不等式的性质即可求解.

【详解】由，得，

令，，则

，

所以在上恒成立，

所以在上为减函数，

因为，且在上单调性递增；

所以，

所以，

所以，

所以，即．

故选：A.

【点睛】关键点睛：解决此题的关键是构造函数，利用导数法求函数的单调性，结合指数函数的单调性及不等式的性质即可.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9. 如图是导函数的图象，则下列说法正确的是（    ）

A. 函数在区间上单调递减 B. 函数在区间上单调递减

C. 函数在处取得极大值 D. 函数在处取得极小值

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据导函数图象，结合函数的单调性与极值与导数的关系逐项判断即可.

【详解】对于A．因为在区间上成立，所以区间是的单调递减区间，故A正确；

对于B．因为当时，，当时，，所以在上不单调，故B错误；

对于C．因为当时，，当时，，函数在处取得极大值，故C正确；

对于D．因为当时，，当时，，所以函数在处取得极小值，故D正确.

故选：ACD．

10. 、、、、五个人并排站在一起，则下列说法正确的有（    ）

A. 若、两人站在一起有种方法 B. 若、不相邻共有种方法

C. 若在左边有种排法 D. 若不站在最左边，不站最右边，有种方法

【答案】AC

【解析】

【分析】根据分类加法，分步乘法原理，结合排列的相关知识点，对选项一一分析.

【详解】对于A，先将A，B排列，再看成一个元素，和剩余的3人，

一共4个元素进行全排列，由分步原理可知共有种，所以A正确；

对于B，先将A，B之外的3人全排列，产生4个空，再将A，B两元素插空，

所以共有种，所以B不正确；

对于C，5人全排列，而其中A在B的左边和A在B的右边是等可能的，

所以A在B的左边的排法有种，所以C正确；

对于D，对A分两种情况：一是若A站在最右边，则剩下的4人全排列有种，

另一个是A不在最左边也不在最右边，则A从中间的3个位置中任选1个，

然后B从除最右边的3个位置中任选1个，最后剩下3人全排列，

即，由分类加法原理可知共有种，所以D不正确，

故选：AC.

11. 是定义在R上的奇函数，当时，有恒成立，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】AD

【解析】

【分析】令，根据条件可得在上单调递增，然后逐一判断即可.

【详解】令，当时，，

当时，，

在上单调递增；

又为定义在上的奇函数，为定义在上的偶函数，

为R上的奇函数；在上单调递增．

由，可得，故A正确；

由，可得，故B错误；

由，可得，故C错误；

由，可得，故D正确．

故选：AD

12. 函数，以下说法正确的是（    ）

A. 函数有零点 B. 当时，函数有两个零点

C. 函数有且只有一个零点 D. 函数有且只有两个零点

【答案】BC

【解析】

【分析】利用导函数研究函数的单调性，进而得到函数的最值，根据零点存在定理求解即可.

【详解】，定义域，所以，

令解得，令解得，

所以在上单调递减，在上单调递增，，

则的图象如图所示：

故A错误；

又当时，，所以从图像可得，当时，函数有两个零点，B正确；

恒成立，

所以在上单调递减，

又，，所以函数有且只有一个零点，C正确，D错误；

故选：BC

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 若______.

【答案】

【解析】

【分析】根据排列公式即可求出结果.

【详解】,

故答案为：.

14. 函数在上的最小值为，则a的取值范围为__________.

【答案】

【解析】

【分析】求导，根据函数在上的最小值为即可判断函数的单调性，将恒成立转化为函数最值问题求解.

【详解】，在上的最小值为，

说明在上单调递减，

所以当时，恒成立，即

所以所以

故答案为：

15. 已知函数，若成立，则实数t的取值范围为_____________．

【答案】

【解析】

【分析】由函数解析式可知函数是奇函数，利用导数可判断函数在上单调递增，利用函数单调性可知等价于，解出不等式即可求得实数t的取值范围.

【详解】由题得函数的定义域为，

因为，所以函数是奇函数．

又恒成立，所以函数在上单调递增；

不等式等价于，

所以，即，解得．

所以实数t的取值范围为．

故答案为：

16. 已知为曲线上的一动点，为直线上的一动点，则当的坐标为________时，最小，此时最小值为________．

【答案】    ①.     ②.

【解析】

【分析】通过图像可知当直线与曲线相切且与直线平行时，切点到直线的距离即为的最小值，利用导数几何意义可构造方程求得，利用点到直线距离公式求得最小值.

【详解】如图所示，当直线与曲线相切且与直线平行时，切点到直线的距离即为的最小值．

令，解得：，，.

故答案为：；.

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．

17. 已知函数在点处的切线斜率为，且在处取得极值．

（1）求函数的解析式；

（2）当时，求函数的最值．

【答案】（1）；   

（2），．

【解析】

【分析】（1）利用导数的几何意义及点在曲线上，结合函数极值的定义即可求解；

（2）利用导数法求函数的最值的步骤即可求解.

【小问1详解】

因为，

所以，

由题意可知，，，，

所以，解得，，，

所以函数的解析式为，经检验适合题意，

所以；

【小问2详解】

由（1）知，

令，则，解得，或，

当时，； 当时，；

所以在和上单调递增，在上单调递减，

当时，取的极大值为，

当时，取得极小值为，

又，，

所以，．

18. 电影《夺冠》讲述了中国女排姑娘们顽强拼搏、为国争光的励志故事，现有4名男生和3名女生相约一起去观看该影片，他们的座位在同一排且连在一起．

（1）女生必须坐在一起的坐法有多少种？

（2）女生互不相邻的坐法有多少种？

（3）甲、乙两位同学相邻且都不与丙同学相邻的坐法有多少种？

【答案】（1）   

（2）   

（3）

【解析】

【分析】(1)采用捆绑法即可求解；

(2)采用插空法即可求解；

(3)先排甲、乙、丙以外的其他4人，再把甲、乙排好，最后把排好的甲、乙这个整体与丙分别插入原先排好的4人的5个空挡中即可；

【小问1详解】

先将3个女生排在一起，有种排法，将排好的女生视为一个整体，与4个男生进行排列，共有种排法，由分步乘法计数原理，共有(种)排法；

【小问2详解】

先将4个男生排好，有种排法，再在这4个男生之间及两头的5个空挡中插入3个女生有种方法，故符合条件的排法共有(种)；

【小问3详解】

先排甲、乙、丙以外的其他4人，有种排法，由于甲、乙相邻，故再把甲、乙排好，有种排法，最后把排好的甲、乙这个整体与丙分别插入原先排好的4人的5个空挡中有种排法，故符合条件的排法共有(种)；

19. 用一张边长为a的正方形硬纸板，在四个角裁去边长为的四个小正方形，再折叠成无盖方盒．当裁去的小正方形边长发生变化时，纸盒的容积会随之发生变化．问：

（1）求关于的函数关系式；

（2）取何值时，容积最大？最大值是多少？

【答案】（1）   

（2）当时，．

【解析】

【分析】(1)由题意可得无盖方盒的底面为边长为的正方形，高为，再根据长方体的体积公式，即可得答案；

(2)由，，求导，利用导数确定的单调区间，即可得最大值.

【小问1详解】

解：如图所示：

由题意可知，无盖方盒的底面为边长为的正方形，高为，

所以，；

【小问2详解】

解：因为，，

所以，；

令，则有，

所以当时，，单调递增；当时，，单调递减；

所以当时，．

20. 已知f（x）=ax-lnx，a∈R.

（1）当a=1时，求曲线f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；

（2）是否存在实数a，使f（x）在区间（0，e]的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【详解】试题分析：（1）根据导数几何意义得切线的斜率是，再根据点斜式求切线方程（2）先求导数，根据导函数零点情况分类讨论，确定对应函数单调性，进而确定最小值取法，最后根据最小值为3，解出a的值

试题解析：（Ⅰ），

∴切线的斜率是，又切点是

∴ 切线的方程是：

（2）假设存在实数，使（）有最小值3，

①当时，在上单调递减，，

（舍去），所以，此时无最小值．

②当时，上单调递减，在上单调递增

，，满足条件．

③ 当时，在上单调递减，，（舍去），所以，此时无最小值．

  综上，存在实数，使得当时有最小值3．

点睛：利用导数解答函数最值的一般步骤：第一步：利用或求单调区间；第二步：解得两个根；第三步：比较两根同区间端点的大小；第四步：求极值；第五步：比较极值同端点值的大小．

21 已知函数

（1）若，求的极小值；

（2）讨论函数的单调性；

（3）当时，恒成立，求的最大整数值．

【答案】（1）   

（2）答案见解析    （3）

【解析】

【分析】（1）根据题意，求导得，然后即可得到的极小值；

（2）由题意得到，令，然后由的正负即可判断函数的单调性；

（3）根据题意可得存在使得，从而得到函数的最小值，从而得到结果.

【小问1详解】

当时，，的定义域为，，

所以在区间，，递减；在区间，，递增．

所以当时，取得极小值．

【小问2详解】

的定义域为，．

令，，

当时，恒成立，所以即在上递增．

当时，在区间，，即递减；

在区间，，即递增．

【小问3详解】

当时，，，

由（2）知，在上递增，，，

所以存在使得，即．

在区间，，递减；在区间，，递增．

所以当时，取得极小值也即是最小值为，

∵，∴，所以．

由恒成立，得，故的最大整数值为．

22. 已知函数，．

（1）当时，证明：在上恒成立；

（2）若有2个零点，求a的取值范围．

【答案】（1）证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）设，对函数求导得，根据指数函数和幂函数的性质知函数在上单调递增且，结合导数研究函数的单调性求出即可；

（2）函数有2个零点等价于函数与的图象有2个交点，利用导数讨论函数的单调性，结合图形即可求解.

【小问1详解】

当时，设，

则，设，

由函数和在上单调递增，

知函数在上单调递增，且，

所以当时，，即在上单调递减，

当时，，即在上单调递增，

所以

即在上恒成立；

【小问2详解】

由，得，令，

则有2个零点，等价于函数与图象有2个交点，

令，得，

当时，当时，

则函数在上单调递增，在上单调递减，

故，且当时，，

当趋向于正无穷时，趋向于正无穷的速率远远比大，故趋向于0，

作出函数的大致图象如下：

结合图象可知，当时，与的图象有2个交点，

故a的取值范围是．