江苏省南通市通州区金沙中学2021-2022学年高一数学下学期期末试题（Word版附解析）

这是一份江苏省南通市通州区金沙中学2021-2022学年高一数学下学期期末试题（Word版附解析），共21页。
2021~2022学年第二学期期末学业质量监测高一数学注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共4页，包含单项选择题（共8题）、多项选择题（共4题）、填空题（共4题）、解答题（共6题），满分为150分，考试时间为120分钟.考试结束后，请将答题卡交回.2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号等用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在答题卡上.3．作答试题必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置作答一律无效.如有作图需要，可用2B铅笔作答，并请加黑、加粗，描写清楚.一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．请把正确选项填写在答题卡相应位置上．1. 设复数z满足，则|z|＝（    ）A.  B.  C. 3 D. 1【答案】A【解析】【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【详解】∵复数z满足，∴，则故选：A．2. 某科研机构由科技人员、行政人员和后勤职工3种不同类型的人员组成，现要抽取一个容量为45的样本进行调查．已知科技人员共有60人，抽入样本的有20人，且行政人员与后勤职工人数之比为，则该科研机构后勤职工人数是（    ）A. 15 B. 30 C. 45 D. 135【答案】C【解析】【分析】根据分层抽样等比例抽取的性质，即可容易求得.【详解】不妨设行政人员有人；后勤职工有人，根据分层抽样等比例抽取的性质，，解得.故后勤人员有人.故选：3. 若三条线段的长分别为5，6，7，则用这三条线段（    ）A. 能组成直角三角形 B. 能组成锐角三角形C. 能组成钝角三角形 D. 不能组成三角形【答案】B【解析】【分析】首先设的三边分别为，，，得到角为最大的角，再根据得到为锐角，即可得到答案.【详解】由题知：设的三边分别为，，，因为，所以角为最大的角.因为，，所以为锐角，故三角形为锐角三角形.故选：B4. 在平面直角坐标系中，若曲线与在区间上交点的横坐标为，则的值为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】在区间上，联立，即可解出．【详解】在上，由可得，而，所以，，即或，而，所以．故选：D．5. 已知是所在平面外一点，到，，的距离相等，且在所在平面的射影在内，则一定是的（    ）A. 内心 B. 外心 C. 垂心 D. 重心【答案】A【解析】【分析】根据已知条件及三角形的内心、外心、垂心、重心的定义即可求解.【详解】因为到，，的距离相等，且在所在平面的射影在内，所以到，，的距离相等，即点为的内切圆的圆心，即的内心.故选：A.6. 直三棱柱中，，，则与平面所成的角为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】将直三棱柱补全为正方体，根据正方体性质、线面垂直的判定可得面，由线面角的定义找到与平面所成角的平面角，进而求其大小.【详解】由题意，将直三棱柱补全为如下图示的正方体，为上底面对角线交点，所以，而面，面，故，又，面，故面，则与平面所成角为，若，所以，，则，故.故选：A7. 如图，矩形内放置5个边长均为1的小正方形，其中，，，在矩形的边上，且为的中点，则（    ）A.  B. C. 5 D. 7【答案】D【解析】【分析】由题图，利用向量数乘、加法的几何意义，结合向量数量积的运算律求目标式的值.【详解】由题图知：，，，所以，由，，故.故选：D8. 已知，，，则（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】结合式子中角特点以及范围，分别求，，再根据正切值缩小的范围，从而得到的范围，即可得到角的大小.【详解】因为 ，，而，，所以，，，，所以．故选：D．二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上．9. 设和为不重合的两个平面，下列说法中正确的是（    ）A. 若外一条直线与内的一条直线平行，则和平行B. 直线与垂直的充要条件是与内的两条直线垂直C. 若内的两条相交直线分别平行于内的两条直线，则平行于D. 设和相交于直线，若内有一条直线垂直于，则和垂直【答案】AC【解析】【分析】由线面平行、面面平行或垂直的判定判断A、C、D的正误，举反例判断B.【详解】A：由且直线与内的一条直线平行，根据线面平行的判定知：，正确；B：若与内的两条平行直线垂直，推不出直线与垂直，错误；C：如下图示，相交直线、，且，则，而同一平面内必相交，，则，正确；D：由，若内有一条直线垂直于，无法判断，错误；故选：AC10. 从高一某班抽三名学生(抽到男女同学的可能性相同)参加数学竞赛，记事件A为“三名学生都是女生”，事件B为“三名学生都是男生”，事件C为“三名学生至少有一名是男生”，事件D为“三名学生不都是女生”，则以下正确的是（　　）A.  B. 事件A与事件B互斥C.  D. 事件A与事件C对立【答案】ABD【解析】【分析】由独立乘法公式求，根据事件的描述，结合互斥、对立事件的概念判断B、C、D即可.【详解】由所抽学生为女生的概率均为，则，A正确；两事件不可能同时发生，为互斥事件，B正确；事件包含：三名学生有一名男生、三名学生有两名男生、三名学生都是男生，其对立事件为，D正确；事件包含：三名学生都男生、三名学生有一名男生、三名学生有两名男生，与事件含义相同，故，C错误；故选：ABD11. 中，的对边分别为，则（    ）A. 若，则B. 使得C. 都有D. 若，则是钝角【答案】D【解析】【分析】特殊值法判断A、C；B由题设有，进而有即可判断；D由已知得，结合即可判断.【详解】A：由题设，若 ，，，此时，错误；B：若，则，而，所以，又，故不存在这样的，错误；C：当时不成立，错误；D：由，故，而，所以，即，正确.故选：D12. 直角中，斜边，为所在平面内一点，（其中），则（    ）A. 的取值范围是B. 点经过的外心C. 点所在轨迹的长度为2D. 的取值范围是【答案】ABD【解析】【分析】由向量数量积的几何意义有，结合已知即可判断A；若为中点，根据已知有共线，即可判断B、C；利用向量加法的几何意义及数量积的运算律可得，结合基本不等式求范围判断D.【详解】由，又斜边，则，则，A正确；若为中点，则，故，又，所以共线，故在线段上，轨迹长为1，又是的外心，B正确，C错误；由上，则，又，则，当且仅当等号成立，所以，D正确.故选：ABD【点睛】关键点点睛：若为中点，应用数形结合法，及向量线性运算的几何意义、数量积的几何意义和运算律判断轨迹，求、.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上．13. 如图，正八边形中，若，则的值为________．【答案】【解析】【分析】以所在的直线分别为轴建立平面直角坐标系，正八边形的中心即为坐标原点，设交轴与点，由正八边形的性质可得轴，为等腰直角三角形，设，求出、、、点坐标及、、坐标，根据的坐标运算可得答案.【详解】如图，以所在的直线分别为轴建立平面直角坐标系，正八边形的中心即为坐标原点，设交轴与点，，，所以，，所以，即轴，为等腰直角三角形，设，则，，所以，所以，，与关于轴对称，所以，，，，由得，即，解得，所以.故答案为：.【点睛】本题主要考查了平面向量坐标法解决几何问题，建立坐标系是解题的关键，还考查了向量的加法运算，考查方程思想及转化思想，属于中档题．14. 如图，海岸线上有相距的两座灯塔，，灯塔位于灯塔的正南方向．海上停泊着两艘轮船，甲船位于灯塔的北偏西方向，与相距的处；乙船位于灯塔的北偏西方向，与相距的处．则两艘轮船之间的距离为_________．【答案】【解析】【分析】连接，可知为正三角形，再解，即可求出．【详解】如图所示：连接，由题可知，，，所以为正三角形，在中，，，所以，，即．故答案为：．15. 设样本数据的平均数为，方差为，若数据的平均数比方差大4，则的最大值是_________．【答案】【解析】【分析】根据平均数和方差的性质，以及二次函数的性质即可解出．【详解】数据的平均数为，方差为，所以，，即，则，因为，所以，故当时，的最大值是．故答案：．16. 在长方体中，；点分别为中点；那么长方体外接球表面积为__________；三棱锥的外接球的体积为__________.【答案】    ①.     ②. 【解析】【分析】求出长方体的对角线即为长方体外接球的直径，由此可得球表面积，设分别是中点，可证明平面，设平面与的交点分别为，在平面内过作，过作交于点，证得是三棱锥的外接球球心．在四边形中求得四边形外接圆直径，然后求出，再求出三棱锥的外接球的半径后球体积．【详解】长方体对角线长为，所以长方体外接球半径为，表面积为；如图，分别是中点，则是矩形，平面平面，分别是中点，则，而平面，所以平面，所以平面，而平面，平面，所以平面平面，平面平面，由平面，平面，得，而，设平面与的交点分别为，则分别是的中点，所以分别是和的外心，在平面内过作，过作交于点，由平面，得，，而，平面，所以平面，同理平面，所以是三棱锥的外接球球心．四边形是圆内接四边形，由长方体性质知，所以，，，，由平面，平面，得，，，，所以，所以三棱锥外接球的体积为．故答案为：；．三、解答题：本大题共6小题，共计80分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 在中，设角，，的对边分别为，，．已知向量，，且．（1）求角的大小；（2）若，，求的面积．【答案】（1）；    （2）．【解析】【分析】（1）根据平面向量数量积的坐标表示即可解出；（2）由正弦定理先求出的关系，再由余弦定理即可解出，最后根据三角形的面积公式即可解出【小问1详解】由可得，，所以，而，所以．【小问2详解】由得，而，即，解得，所以，故的面积为．18. 已知复数，，其中为非零实数．（1）若是实数，求的值；（2）若，复数为纯虚数，求实数的值；（3）复平面内，定点与对应，记满足的对应的点的轨迹为曲线，求点到的最小值．【答案】（1）；    （2）；    （3）．【解析】【分析】（1）根据复数的代数形式的运算法则以及复数的有关概念即可解出；（2）根据复数的代数形式的运算法则以及复数的有关概念即可解出；（3）根据复数的几何意义，复数模的计算以及点到直线的距离公式即可解出．【小问1详解】为实数，所以，而为非零实数，即．【小问2详解】，而，为纯虚数，所以，解得．【小问3详解】定点为，由得，，化简得，，所以对应的点的轨迹为直线，故点到的最小值为点到直线的距离．19. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，侧面平面．（1）求证：；（2）设平面与平面的交线为l，的中点分别为，证明：平面．【答案】（1）证明见解析    （2）证明见解析【解析】【分析】（1）证明，继而根据面面垂直的性质证明平面，根据线面垂直的性质即可证明结论；（2）延长交于点M，连接,证明平面，继而说明直线l为直线，即可证明结论.【小问1详解】证明：，∵设，∴，，,∴，∴，∴，∴，∵平面平面，平面平面，平面，∴平面，∵平面，∴．【小问2详解】延长交于点M，连接,∵，∴D为的中点，∵的中点为E，∴，不在平面内,∵平面，∴平面，又平面，平面，∴平面平面，即直线l为直线，∴平面．20. 水平相当的甲、乙两队在某次排球决赛比赛中相遇，决赛采用五局三胜制，胜者获得全部奖金．（1）求需要进行四局比赛才能结束的概率；（2）若前3局打成2:1时，比赛因故终止．有人提议按2:1分配奖金，请利用相关数学知识解释这样分配是否合理．【答案】（1）；    （2）不合理，理由见解析.【解析】【分析】（1）由进行四局比赛结束的情况为前三局{甲两胜，乙一胜，最后一局甲胜}、{甲一胜，乙两胜，最后一局乙胜}，利用独立事件乘法公式、互斥事件加法求概率即可.（2）根据前3局2:1时，利用独立乘法公式求出胜2局者和胜1局者分别获胜的概率，即可判断分配是否合理.【小问1详解】由题意，任意一局甲胜概率为，乙胜的概率为，进行四局比赛结束，若第四局甲胜，则前三局{甲两胜，乙一胜}，此时，若第四局乙胜，则前三局{甲一胜，乙两胜}，此时，综上，需要进行四局比赛才能结束的概率为.【小问2详解】不合理，理由如下：前3局：若甲胜两局，乙胜一局，甲获胜的情况为{第4局甲胜}、{第4局乙胜，第5局甲胜}，故此情况下，甲获胜的概率为，而乙获胜概率为，所以前3局胜2局者与胜1局者奖金分配应为，故题设分配不合理.21. 如图，某学校前后两座教学楼，高度分别为12米和17米，从教学楼顶部看教学楼的张角．（1）求两座教学楼和的底部之间的距离；（2）求的正切值．【答案】（1）米；    （2）．【解析】【分析】（1）过点作交于点，分别求出，再根据两角和的正切公式即可解出；（2）先通过解求出，即可求出．【小问1详解】如图所示：过点作交于点，易知四边形为矩形，设米，所以，，而，所以，，化简得，，而，解得，即米．【小问2详解】在中，，在中，，所以，．22. 已知在正三棱柱中，，E是棱的中点．（1）设，求三棱锥的体积；（2）若把平面与平面所成的锐二面角为60°时的正三棱柱称为“黄金棱柱”，请判断此三棱柱是否为“黄金棱柱”，并说明理由．【答案】（1）    （2）此三棱柱不是“黄金棱柱”，理由见解析.【解析】【分析】（1）首先根据平面，再根据求解即可.（2）延长交的延长线于点，连接，根据题意得到为平面与平面所成二面角的平面角，且，即可得到答案.【小问1详解】取的中点，连接，如图所示：因为，为中点，所以.又因为平面，平面，所以.又因为，所以平面.又因为，平面，平面，所以平面，，，所以【小问2详解】延长交的延长线于点，连接，如图所示：因为，是棱的中点，所以是的中点.所以，即.因为平面，平面，所以.又因为，，，所以平面.又平面，所以，所以为平面与平面所成二面角的平面角，因为正三棱柱中，，所以，即此三棱柱不是“黄金棱柱”.