_2021年黑龙江哈尔滨市中考数学真题及答案

2021年黑龙江哈尔滨市中考数学真题及答案

考生须知：

1.本试卷满分为120分，考试时间为120分钟．

2.答题前，考生先将自己的“姓名”、“考号”、“考场”、“座位号”书写（填涂）在答题卡正面和背面的规定位置，将“条形码”准确粘贴在条形码区城处．

3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题纸上答题无效．

4.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚．

5.保持卡面整洁，不要折叠、不要再脏、不要再皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀．

第I卷选择题（共30分）（涂卡）

一、选择题（每小题3分，共计30分）

1. 的绝对值是（   ）

A.  B.  C. 7 D. -7

【答案】B

【解析】

【分析】直接根据绝对值的意义进行求解即可．

【详解】解：的绝对值是；

故选B．

【点睛】本题主要考查绝对值，熟练掌握求一个数的绝对值是解题的关键．

2. 下列运算一定正确是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据同底数幂的乘法、幂的乘方及完全平方公式可进行排除选项．

【详解】解：A、，正确，故符合题意；

B、，错误，故不符合题意；

C、，错误，故不符合题意；

D、与不是同类项，不能合并，故不符合题意；

故选A．

【点睛】本题主要考查同底数幂的乘法、幂的乘方及完全平方公式，熟练掌握同底数幂的乘法、幂的乘方及完全平方公式是解题的关键．

3. 下列图形中既是轴对称图形 又是中心对称图形的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行解答．

【详解】解：A．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；

B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；

C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；

D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；

故选：A．

【点睛】此题主要考查了中心对称图形和轴对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．

4. 八个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其主视图是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据几何体的三视图可直接进行排除选项．

【详解】解：由题意得该几何体的主视图为；

故选C．

【点睛】本题主要考查三视图，熟练掌握三视图是解题的关键．

5. 如图，是的直径，是的切线，点为切点，若，，则的长为（ ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】由题意易得，然后根据三角函数可进行求解．

【详解】解：∵是的切线，

∴，

∵，，

∴；

故选D．

【点睛】本题主要考查切线性质及解直角三角形，熟练掌握切线的性质及三角函数是解题的关键．

6. 方程的解为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据分式方程的解法可直接进行排除选项．

【详解】解：

，

解得：，

经检验是原方程的解，

故选A．

【点睛】本题主要考查分式方程的解法，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键．

7. 如图，，点和点是对应顶点，点和点是对应顶点，过点作，垂足为点，若，则的度数为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】由题意易得，，然后问题可求解．

【详解】解：∵，

∴，

∴，即，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴；

故选B．

【点睛】本题主要考查全等三角形的性质及直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质及直角三角形的性质是解题的关键．

8. 一个不透明的袋子中装有个小球，其中个红球、个黄球，这些小球除颜色外无其它差别，从袋子中随机摸出一个小球．则摸出的小球是红球的概率是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据概率公式，直接求解，即可．

【详解】解：摸出的小球是红球的概率=8÷12=，

故选D．

【点睛】本题主要考查等可能事件的概率，掌握概率公式，是解题的关键．

9. 如图，在中，，，，，则的长为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】由，得，进而即可求解．

【详解】解：∵在中，，，，，

∴，即：，

∴AE=4，

故选B．

【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例定理，列出比例式，是解题的关键．

10. 周日，小辉从家步行到图书馆读书，读了一段时间后，小辉立刻按原路回家．在整个过程中，小辉离家的距离（单位：）与他所用的时间（单位：）之间的关系如图所示，则小辉从家去图书馆的速度和从图书馆回家的速度分别为（    ）

A. ， B. ，

C. ， D. ，

【答案】C

【解析】

【分析】根据图象易得小辉家离图书馆的距离为1500m，从小辉家到图书馆所用的时间为20min，从图书馆到小辉家的所用的时间为15min，进而问题可求解．

【详解】解：由题意及图象可得：小辉家离图书馆的距离为1500m，从小辉家到图书馆所用的时间为20min，从图书馆到小辉家的所用的时间为70-55=15min，

∴小辉从家去图书馆的速度为1500÷20=75m/min；

从图书馆回家的速度为1500÷15=100m/min；

故选C．

【点睛】本题主要考查函数图象，解题的关键是由函数图象得到解题的相关信息．

第I卷非选择题（共 90分）

二、填空题（每题3分，满分18分，将答案填在答题纸上）

11. 火星赤道半径约为米，用科学记数法表示为________米．

【答案】

【解析】

【分析】根据科学记数法可直接进行求解．

【详解】解：把米用科学记数法表示为米；

故答案为．

【点睛】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键．

12. 在函数中，自变量的取值范围是_________．

【答案】

【解析】

【分析】根据分式有意义的条件及函数的概念可直接进行求解．

【详解】解：由题意得：

，解得：，

∴在函数中，自变量的取值范围是；

故答案为．

【点睛】本题主要考查分式有意义的条件及函数，熟练掌握分式有意义的条件及函数是解题的关键．

13. 已知反比例函数的图象经过点，则的值为_______．

【答案】

【解析】

【分析】根据题意可直接进行求解．

【详解】解：∵反比例函数的图象经过点，

∴；

故答案为．

【点睛】本题主要考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键．

14. 计算的结果是_______．

【答案】

【解析】

【分析】根据二次根式的性质，先化简各个二次根式，再合并同类二次根式，即可求解．

【详解】解：原式=

=．

【点睛】本题主要考查二次根式的性质和运算法则，解题的关键是掌握二次根式的性质以及合并同类二次根式．

15. 把多项式分解因式的结果是_________．

【答案】

【解析】

【分析】根据因式分解的方法可直接进行求解．

【详解】解：；

故答案为．

【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．

16. 二次函数的最小值为________．

【答案】-2

【解析】

【分析】由二次函数可直接求解．

【详解】解：由二次函数可得：开口向上，有最小值，

∴二次函数的最小值为-2；

故答案为-2．

【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．

17. 不等式组的解集是________．

【答案】x＜3

【解析】

【分析】分别求出每个不等式的解，再取各个解的公共部分，即可求解．

【详解】解：，

由①得：x＜3，

由②得：x≤15，

∴不等式的解为：x＜3，

故答案是：x＜3．

【点睛】本题主要考查解不等式组，掌握“大大取大，小小取小，大小小大取中间，大大小小无解”，是解题的关键．

18. 四边形是平行四边形，，的平分线交直线于点，若，则的周长为______．

【答案】28或20

【解析】

【分析】分两种情况：①当的平分线交线段于点，②当的平分线交的延长线于点，画出图像，分别求解即可．

【详解】解：①当的平分线交线段于点，如图，

∵四边形是平行四边形，

∴AD∥BC，

∴∠DAE=∠BEA，

∵AE平分，

∴∠DAE=∠BAE，

∴∠BEA=∠BAE，

∴BE=AB=6，

∴BC=BE+CE=6+2=8，

∴的周长=（6+8）×2=28，

②当的平分线交的延长线于点，如图，

同理可得：AB=BE=6，

∴BC=6-2=4，

∴的周长=（6+4）×2=20，

综上所述：的周长为28或20．

故答案是：28或20．

【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，画出图形，进行分类讨论，是解题的关键．

19. 一个扇形的弧长是，圆心角是，则此扇形的半径是_______．

【答案】10

【解析】

【分析】设该扇形的半径为rcm，然后根据弧长计算公式可直接进行求解．

【详解】解：设该扇形的半径为rcm，由题意得：

，解得：；

故答案为10．

【点睛】本题主要考查弧长计算公式，熟练掌握弧长计算公式是解题的关键．

20. 如图，矩形的对角线，相交于点，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点．若，，则的长为_____．

【答案】

【解析】

【分析】根据矩形的性质得AO=CO=BO=DO=6，再证明，从而得是等边三角形，进而即可求解．

【详解】解：∵在矩形中，

∴AO=CO=BO=DO=6，

∵，

∴BC=2BE，

∵，

∴BE=AF，

∵∠OBE+∠ABF=∠ABF+∠BAF =90°，

∴∠OBE=∠BAF，

∵

又∵∠AFB=∠BEO=90°，

∴，

∴AB=BO，

∴AB=BO=AO，

∴是等边三角形，

∴∠ABO=60°，

∴∠OBE=30°，

∴OE=3 ，，

故答案是：．

【点睛】本题主要考查矩形的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握矩形的对角线相等且平分是解题的关键．

三、解答题 （其中21－22题各7分，23－24题各8分，25－27题各10分，共计60分）

21. 先化简，再求代数式的值，其中．

【答案】，

【解析】

【分析】先算分式的减法，再把除法化为乘法进行约分化简，最后代入求值，即可求解．

【详解】解：原式=

=

=

=，

当==时，原时=．

【点睛】本题主要考查分式化简求值，特殊角三角函数值以及分母有理化，掌握通分和约分化简，是解题的关键．

22. 如图，方格纸中每个小正方形的边长均为个单位长度，的顶点和线段的端点均在小正方形的顶点上．

（1）在方格纸中将向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度后得到；（点的对应点是点，点的对应点是点，点的对应点是点），请画出；

（2）在方格纸中画出以为斜边的等腰直角三角形（点在小正方形的顶点上）．连接，请直接写出线段的长．

【答案】（1）图见详解；（2）图见详解，

【解析】

【分析】（1）根据题中所给的平移方式可直接进行作图即可；

（2）由等腰直角三角形的性质可直接进行作图，然后结合图形及勾股定理得出的长．

【详解】解：（1）由题意可得如图所示：

（2）由题意可得如图所示：

由图可得：．

【点睛】本题主要考查平移、等腰直角三角形的性质及勾股定理，熟练掌握平移、等腰直角三角形的性质及勾股定理是解题的关键．

23. 春宁中学开展以“我最喜欢的冰雪运动项目”为主题的调查活动，围绕“在冰球、冰壹、短道速滑、高山滑雪四种冰雪运动项目中，你最喜欢哪一种？（必选且只选一种）”的问题，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，将调查结果整理后绘制成如图所示的不完整的条形统计图，其中最喜欢短道速滑的学生人数占所调查人数的．请你根据图中提供的信息解答下列问题：

（1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生？

（2）请通过计算补全条形统计图；

（3）若春宁中学共有名学生，请你估计该中学最喜欢高山滑雪的学生共有多少名．

【答案】（1）60；（2）统计图见详解；（3）300

【解析】

【分析】（1）用喜欢短道速滑的学生人数÷对应的百分比，即可求解；

（2）先求出喜欢冰壶的学生人数，再补全统计图，即可；

（3）用1500×高山滑雪的比例，即可求解．

【详解】解：（1）24÷40％=60（名），

答：在这次调查中，一共抽取了60名学生；

（2）喜欢冰壶项目的学生有：60-16-12-24=8（名），

补全统计图如下：

（3）（名），

答：该中学最喜欢高山滑雪的学生共有300名．

【点睛】本题主要考查条形统计图以及用样本估计总体数量，准确找出相关数据，是解题的关键．

24. 已知四边形是正方形，点在边的延长线上，连接交于点，过点作，垂足为点，的延长线交于点，交的延长线于点．

（1）如图1，求证：；

（2）如图2，若，连接，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的四个三角形（除外），使写出的每个三角形都与全等，

【答案】（1）见详解；（2）都与全等，理由见详解

【解析】

【分析】（1）先推出BC=CD，∠BCH=∠CDE=90°，在推出∠CHM=∠E，进而即可得到结论；

（2）先推出AE=AB=BC，∠GAE=∠GBC=90°，结合∠AGE=∠BGC，即可得到，类似的推出与全等，即可．

【详解】（1）证明：∵四边形是正方形，

∴BC=CD，∠BCH=∠CDE=90°，

∵，

∴∠CHM+∠DCE=∠DCE+∠E=90°，

∴∠CHM=∠E，

∴，

∴；

（2）都与全等，

理由如下：∵，四边形是正方形，

∴AE=AB=BC，∠GAE=∠GBC=90°，

又∵∠AGE=∠BGC，

∴，

∵，

∴DE=CH，∠E=∠H，

∵AD=CD，

∴AE=DH，

又∵∠EAG=∠HDF=90°，

∴；

∵AB∥CH，

∴∠ABF=∠H=∠E，

又∵，∠BAF=∠EAG=90°，

∴；

∵DH=AE=AB=CD，

∴DF垂直平分CH，

∴FH=FC，

∴∠E=∠H=∠FCH，

又∵∠EAG=∠CDF=90°，AE=AB=CD，

∴．

【点睛】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理，是解题的关键．

25. 君辉中学计划为书法小组购买某种品牌的、两种型号的毛笔．若购买支种型号的毛笔和支种型号的毛笔需用元；若购买支种型号的毛笔和支种型号的毛笔需用元．

（1）求每支种型号的毛笔和每支种型号的毛笔各多少元；

（2）君辉中学决定购买以上两种型号的毛笔共支，总费用不超过元，那么该中学最多可以购买多少支种型号的毛笔？

【答案】（1）每支种型号的毛笔6元，每支种型号的毛笔4元；（2）该中学最多可以购买50支型号的毛笔．

【解析】

【分析】（1）设每支种型号的毛笔x元，每支种型号的毛笔y元，由题意得，然后求解即可；

（2）设该中学可以购买m支型号的毛笔，则种型号的毛笔为（80-m）支，根据题意可得，然后求解即可．

【详解】解：（1）设每支种型号的毛笔x元，每支种型号的毛笔y元，由题意得：

，

解得：，

答：每支种型号的毛笔6元，每支种型号的毛笔4元．

（2）设该中学可以购买m支型号的毛笔，则种型号的毛笔为（80-m）支，根据题意可得：

，

解得：，

答：该中学最多可以购买50支型号的毛笔．

【点睛】本题主要考查二元一次方程组及一元一次不等式的应用，熟练掌握二元一次方程组及一元一次不等式的应用是解题的关键．

26. 已知是的外接圆，为的直径，点为的中点，连接并延长交于点，连接，交于点．

（1）如图1，求证：；

 （2）如图2，过点作，交于点，交于点，连接，，若，求证：；

（3）如图3，在（2）的条件下，连接，若，求的长．

【答案】（1）见详解；（2）见详解；（3）

【解析】

【分析】（1）由题意易得，则有，然后根据直角三角形的性质可进行求解；

（2）由题意易得，则有，然后可得，进而问题可求证；

（3）延长GD，交于点H，连接BG、OH、HE，由（2）可得是等腰直角三角形，则有，然后可得，进而可证四边形AGOD是平行四边形，AG=EH，则有，然后可得，最后问题可求解．

【详解】证明：（1）∵为的直径，点为的中点，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴；

（2）∵，OG=OB，OD=OD，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴；

（3）延长GD，交于点H，连接BG、OH、HE，如图所示：

由（2）可得，，，，

∴是等腰直角三角形，，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴四边形AGOD是平行四边形，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∵点为的中点，

∴，

∴，

∴，

∴，，

∴，即，

∴是等腰直角三角形，

∴．

【点睛】本题主要考查圆的综合、勾股定理、三角函数及等腰直角三角形的性质，熟练掌握圆的综合、勾股定理、三角函数及等腰直角三角形的性质是解题的关键．

27. 在平面直角坐标系中，点为坐标系的原点，抛物线经过，两点，直线与轴交于点，与轴交于点，点为直线上的一个动点，连接．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，当点在第一象限时，设点横坐标为，的面积为，求关于的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；

（3）如图2，在（2）的条件下，点在轴的正半轴上，且，连接，当直线交轴正半轴于点，交轴于点时，过点作交轴于点，过点作轴的平行线交线段于点，连接，过点作交线段于点，的平分线交轴于点，过点作交于点，过点作于点，若，求点的坐标．

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

【分析】（1）把点A、B坐标代入求解即可；

（2）由题意易得，则有AC=8，然后根据三角形面积公式可进行求解；

（3）作MU⊥FC于点U，由题意易证，设直线的解析式为，则有，然后可得，，则有， ，进而可得，然后根据勾股定理可进行求解．

【详解】解：（1）∵抛物线经过，两点，

∴，解得：，

∴抛物线的解析式为；

（2）∵直线与轴交于点，与轴交于点，

∴，

∵点P在直线，且横坐标t，

∴，

∴点P到x轴的距离即为△APC的边AC上的高，即为，底，

∴；

（3）过点P作PT⊥x轴于点T，如图所示：

∵FM平分∠CFG，，

∴，

∴，

∵，轴，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵，，

∴，

∵点在轴的正半轴上，且，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∵，，

∴，

∴，

∴，即为点F的横坐标，

设直线BP的解析式为，则有：

，解得：，

∴直线BP的解析式为，

∴当时，则，解得： ，

∴，，

∴，

由点F的横坐标代入直线BP的解析式可得：，

∴，

∵，

∴，

∴，即，

化简得：，

由勾股定理可得，即，

解得：（不符合题意，舍去），

∴点．

【点睛】本题主要考查二次函数的综合、平行线的性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握二次函数的综合、平行线的性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键．