精品解析：河南省洛阳市创新发展联盟2022-2023学年高一下学期6月月考数学试题（解析版）

2022~2023学年下学期创新发展联盟高一阶段检测

数学

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答穼写在答题卡上.写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第二册.

一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 六一儿童节，某商场计划从8位男员工､16位女员工中选调6人加强前台服务工作，若按照性别进行分层随机抽样，则应抽取的女员工人数为（    ）

A. 4 B. 3 C. 2 D. 1

【答案】A

【解析】

【分析】直接根据分层抽样的比例关系计算得到答案.

【详解】应抽取的女员工人数为.

故选：A.

2. 若的面积等于，则（    ）

A. 1 B. 2 C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】直接根据三角形面积公式和向量的数量积公式计算得到答案.

【详解】，故，，即.

故选：B.

3. 如图，在矩形中，，用斜二测画法画出的水平放置的矩形的直观图为四边形，则四边形的周长为（    ）

A. 10 B. 8 C. 7 D. 5

【答案】C

【解析】

【分析】用斜二测画法画出的水平放置的矩形的直观图，得出边长，计算周长即可.

【详解】用斜二测画法画出的水平放置的矩形的直观图，

由斜二测画法，四边形是平行四边形，，

所以四边形的周长为．

故选：C.

4. 某饮料生产企业推出了一种有一定几率中奖的新饮料．甲､乙两名同学都购买了这种饮料，设事件为“甲､乙都中奖”，则与互为对立事件的是（    ）

A. 甲､乙恰有一人中奖 B. 甲､乙都没中奖

C. 甲､乙至少有一人中奖 D. 甲､乙至多有一人中奖

【答案】D

【解析】

【分析】根据互斥事件与对立事件的概念判断即可.

【详解】“甲、乙恰有一人中奖”与互斥但不对立，故A错误；

“甲、乙都没中奖”与互斥但不对立，故B错误；

“甲、乙至少有一人中奖”与不互斥，故C错误；

“甲、乙至多有一人中奖”与互斥且对立，故D正确．

故选：D.

5. 关于空间中两条不同的直线与两个不同的平面，下列说法正确的是（    ）

A. 若，则

B. 若，则

C. 若，则

D. 若，则

【答案】D

【解析】

【分析】由选项A的条件可得出则m，n可能平行、异面或相交，可判断A；由选项B的条件可得出，可以判断B选项；由选项C的条件可得出或相交，可判断C；根据线面垂直的性质可以判断D.

详解】若，则m，n可能平行、异面或相交，A错误；

若，则，B错误；

若，则的关系可能是或相交，C错误；

，则，又，则，D正确．

故选：D.

6. 已知点在的内部，分别为边的中点，且，则（    ）

A.  B. 1 C.  D. 2

【答案】B

【解析】

【分析】利用向量的加减法的几何表示运算即可.

【详解】由题意得

，

所以．

故选：B.

7. 已知集合，且，则关于的方程无实数根或的概率为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】求得取值的样本空间，求出“方程有实数根且”对应的事件的概率，利用对立事件间的概率关系求解.

【详解】由题意得，

则取值的样本空间为

，共25个样本点．

关于的方程有实数根时，，得，

“方程有实数根且”对应的事件为，含有3个样本点，

所以所求的概率为．

故选：C.

8. 洛阳九龙鼎位于河南省洛阳市老城区中州东路与金业路交叉口，是一个九龙鼎花岗岩雕塑，代表东周､东汉､魏､西晋､北魏､隋､唐､后梁､后唐9个朝代在这里建都，是洛阳的一座标志性建筑，九条龙盘旋的大石柱的顶端，端放着一座按1：1比例仿制的中国青铜时代的象征——西周兽面纹方鼎，汉白玉护栏两侧分别镶嵌着两幅《太极河图》.如图，为了测量九龙鼎的高度，选取了与该鼎底在同一平面内的两个测量基点与，现测得，在点测得九龙鼎顶端的仰角为，在点测得九龙鼎顶端的仰角为，则九龙鼎的高度（    ）（参考数据：取）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】设，，，在中，由余弦定理求解即可.

【详解】设，由题意可得，

由题意知：，

在中，由余弦定理可得，

得：，得：.

故选：B.

二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 若，则（    ）

A. 的虚部为5 B. 为纯虚数

C. 为实数 D. 在复平面内对应的点位于第二象限

【答案】BC

【解析】

【分析】利用复数的运算求出，即可判断A；利用纯虚数的概念可判断B，利用实数的概念可判断C；利用复数的几何表示可判断D.

【详解】由题意得，所以的虚部为，故A错误；

为纯虚数，故B正确；

为实数，故C正确；

在复平面内对应的点为，位于第四象限，故D错误．

故选：BC.

10. 若向量满足，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】ABD

【解析】

【分析】利用向量数量积的运算性质求解判断即可.

【详解】由题意得，得，所以，故A正确；

由，得，故B正确；

因为，所以不垂直于，故C错误；

，故D正确．

故选：ABD.

11. 2018年至2022年全国快递业务量及其年增长速度如图所示，则（    ）

A. 2018年至2022年全国快递业务量逐年增长

B. 2018年至2022年全国快递业务量的年增长速度的分位数为

C. 2018年至2022年全国快递业务量的年增长速度的分位数为

D. 2017年全国快递业务量小于400亿件

【答案】AC

【解析】

【分析】根据图像和百分位数的计算公式依次判断每个选项即可.

【详解】对选项A：2018年至2022年全国快递业务量逐年增长，正确；

对选项B：，故分位数为，错误；

对选项C：，故分位数为，正确；

对选项D：2017年全国快递业务量为，错误；

故选：AC

12. 如图，在正方体中，，点为线段上的一动点，则（    ）

A. 三棱锥的体积为定值

B. 当时，直线与平面所成角的正切值为

C. 直线与直线所成角的余弦值可能为

D. 的最小值为

【答案】ACD

【解析】

【分析】利用等体积法可知三棱锥的体积为定值，即A正确；由可得为的中点，利用线面角的定义可得直线与平面所成角的正切值为，即B错误；将直线平移可知当时，满足直线与直线所成角的余弦值为，即C正确；利用平面展开图和正方体的棱长即可求得的最小值为，可得D正确.

【详解】对于A，根据等体积法可知，

点在线段上运动时，的面积为定值，，

此时即为三棱锥的高，所以；

即点在线段上运动时，三棱锥的体积为定值，即A正确；

对于B，当时即可知，为线段的中点，

取的中点为，连接，如下图所示：

易知，由正方体性质可得平面，所以可得平面；

即直线与平面所成角的平面角即为，易知，

且，所以，所以B错误；

对于C，在上取一点，使，取中点为，连接，如下图所示：

则可得，异面直线与直线所成的角的平面角即为，

易知，所以可得，因此，

若直线与直线所成角的余弦值为，即，可得；

又，可得符合题意；所以C正确；

对于D，易知，所以，

即当取最小时，的值最小；

将正方体展开使得在同一平面内，如下图所示：

易知，当且仅当三点共线时，取最小值，

所以

，

即的最小值为，所以D正确.

故选：ACD

【点睛】方法点睛：在立体几何中求解距离最值问题时，往往利用平面展开图转化成平面距离最值问题，从而求得空间当中距离最值的问题.

三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.

13. 已知，则__________.

【答案】

【解析】

【分析】设，则，由复数相等可求出，求出，再由复数的模长公式求解即可.

【详解】设，则，

所以，

所以，则，

，所以.

故答案为：

14. 已知数据的极差为6，平均数小于4，请写出一个满足条件的的值：__________.

【答案】2（答案不唯一，满足即可）

【解析】

【分析】根据题意求出的范围，即可得出答案.

【详解】因为，所以．

又由，得，

所以．

故答案为：2（答案不唯一，满足即可）.

15. 的内角的对边分别为，则__________，__________.

【答案】    ①. 4    ②.

【解析】

【分析】利用正弦定理求得，利用余弦定理求出.

【详解】由正弦定理得，得．

由余弦定理得，得．

故答案为：4，.

16. 在正四棱柱中，分别为和的中点，则三棱锥外接球的表面积为__________.

【答案】

【解析】

【分析】根据给定几何体，确定三棱锥外接球的球心，求出球半径即可计算作答.

【详解】如图，取为中点，连接EM，EB，EN，

则四边形EBCN为矩形，故E，B，C，N四点共圆，

又，所以，即直角三角形，

又平面EMB，所以三棱锥外接球的球心即四边形EBCN的外心，

即中点为球心，设三棱锥的外接球半径为，

因，所以，，

即所求外接球的表面积．

故答案为：.

四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

17. 已知为抛物线的顶点，点与关于原点对称.

（1）求线段的中点坐标；

（2）求向量在上的投影向量的坐标.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用配方法求得顶点坐标，进而得坐标，从而可得线段的中点坐标；

（2）根据投影向量的概念求解.

【小问1详解】

由，得，则，

所以线段AC的中点坐标为，即．

【小问2详解】

由（1）得，

所以向量在上的投影向量的坐标为．

18. 如图，在直角梯形中，为的中点，将沿着翻折，使与点重合，且.

（1）证明：平面.

（2）作出二面角的平面角，并求其大小.

【答案】（1）证明见解析   

（2）平面角见解析，

【解析】

【分析】（1）确定四边形为平行四边形，得到，得到证明.

（2）是中点，连接，，确定为二面角的平面角，再利用余弦定理计算得到答案.

【小问1详解】

，且，故四边形为平行四边形，故，

平面，且平面，故平面.

【小问2详解】

如图所示：是中点，连接，，，

则，，故，

即，故，

平面平面，平面，平面，

故为二面角的平面角，

，，故.

故二面角的平面角为.

19. 河南省地处中原地区，是我国的主要粮食产区，素有“中原粮仓”之称.近年来，随着科技的发展，越来越多的农民采用无人播种机､无人旋耕机､无人植保车等一系列“智慧农机”耕种田地，极大地提高了耕作效率.某地区对50名使用了“智慧农机”的农民耕种的田地面积（单位：亩）进行统计，将数据按分为5组，画出的频率分布直方图如图所示.

（1）估计这50名农民耕种田地面积的中位数（结果保留小数点后一位）；

（2）估计这50名农民耕种田地面积的平均数及标准差（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表，结果保留整数）.

【答案】（1）   

（2）平均数为，标准差约为.

【解析】

【分析】（1）由频率分布直方图中所有矩形面积为1即可得，利用中位数计算公式可得其中位数约为；

（2）根据频率分布直方图计算平均数公式可得平均数为，再代入标准差公式可得标准差约为.

【小问1详解】

根据频率分布直方图可得组距为10，

所以，解得；

易知两组数据所占概率为，第三组数据概率也为，所以中位数在区间内；

设中位数为，所以，解得；

所以这50名农民耕种田地面积的中位数为.

【小问2详解】

利用频率分布直方图可得，

其平均数为，

其方差为

因此标准差.

这50名农民耕种田地面积的平均数为，标准差约为.

20. 在中，角所对的边分别为.

（1）求的大小；

（2）若，点满足，求的面积.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用正弦定理化边为角，结合三角函数同角关系式求解；

（2）由正弦定理得，由，可得，两边平方后结合数量积运算求得，利用三角形面积公式求得结果.

【小问1详解】

因为，

所以，

又，所以，

结合，解得，

因为，所以．

【小问2详解】

因为，所以．

由，可得，

则，

即，解得．

所以的面积为．

21. 如图，在正三棱柱中，分别为的中点.

（1）证明：平面平面.

（2）若侧面的中心为为侧面内的一个动点，平面，且的轨迹长度为，求三棱柱的表面积.

【答案】（1）证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）由题意可证得，，由线面垂直的判定定理可证得平面，再由面面垂直的判定定理即可证明平面平面.

（2）连接交于，取的中点，过作，分别交于，连接，由面面平行的判定定理可证得平面平面，所以的轨迹为线段，再由相似比求出，即可求出三棱柱的表面积.

【小问1详解】

连接，因为所以侧面是正方形，所以，

因为分别为的中点，所以，

因为是正三角形，所以，因为平面，

平面，，

，平面，所以平面，

平面，所以，

平面，所以平面，

又因为平面，所以平面平面.

  【小问2详解】

连接交于，取的中点，过作，

分别交于，连接，

易得，

因为平面，平面，所以平面，

平面，因为，且都在面OHG内，所以平面平面，

所以的轨迹为线段，

因为，所以，

因为，所以，

所以，

故三棱柱的表面积为.

22. 在平面直角坐标系中，位于坐标原点的一个质点按下述规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向只能是向上､向下､向左､向右，并且向上､向下移动的概率都是，向左移动的概率为，向右移动的概率为.

（1）若，点移动两次后，求点位于的概率；

（2）点移动三次后，点位于的概率为，求的最大值.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）点向上向右各平移一次，或者向右向上各平移一次，计算概率得到答案.

（2）可以上、左、右各移动一次或者下一次上两次，确定，计算最值得到答案.

【小问1详解】

点向上向右各平移一次，或者向右向上各平移一次，概率.

【小问2详解】

可以上、左、右各移动一次或者下一次上两次，

故，

.