精品解析：上海市行知中学2022-2023学年高一下学期第二次月考数学试题（解析版）

2022-2023学年第二学期行知中学高一第二次月考数学试卷

一､填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分）

1. 函数的最小正周期为___________．

【答案】.

【解析】

【详解】试题分析：因为函数，，所以其最小正周期为.

故答案为.

考点：三角函数的基本关系式；函数的性质.

2. 已知向量与向量平行，则的值为______.

【答案】1

【解析】

【分析】利用平面向量平行（共线）的坐标表示即可求解.

【详解】因为向量与向量平行，

即向量与向量共线，

所以，

故答案为：.

3. 用斜二测画法画水平放置的正方形的直观图如图，若在直观图中，则__________.

【答案】1

【解析】

【分析】根据斜二测画法的规则求解．

【详解】根据斜二测画法规则，与轴平行的线段的长度不变，与轴平行的线段的长度是原来的一半，因此．

故答案为：1.

4. 已知，则__________.

【答案】

【解析】

【分析】根据复数的除法计算规则求解.

【详解】；

故答案为：.

5. 以下说法错误的是__________.

①空间中三点确定一个平面

②一条直线及一个点确定一个平面

③两条直线确定一个平面

④如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，则这两个角相等.

【答案】①②③④

【解析】

【分析】利用空间中点、线、面的位置关系及相关性质、公理、定理推论逐项分析即可.

【详解】①若空间中不共线的三点确定一个平面，故错误；

②经过一条直线及直线外一点确定一个平面，故错误；

③由推论3、4两条相交或平行直线确定一个平面，故错误；

④如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补.

故错误；

故答案为：①②③④.

6. 两个向量的运算“”:，其中是的夹角.若，则__________.

【答案】8

【解析】

【分析】利用向量数量积公式求出夹角的余弦值，再根据向量夹角的范围求出向量夹角的正弦值，最后利用定义计算即可.

【详解】设，

因为，，

所以，

所以，

又，

所以，

所以，

故答案为：8.

7. 是空间两条不同直线，是两个不同平面，下面有四个命题：

①，则，

②，则，

③，则，

④，则，

其中真命题的编号是__________.（写出所有真命题的编号）

【答案】①④

【解析】

【分析】根据立体几何相关定理逐项分析.

【详解】对于①，，必然存在一个平面使得，并且，又，正确；

对于②，如果，则结论不成立，错误；

对于③，如图：

，构造平面，使得，并且，则，平面内，作直线n，使得，显然，错误；

对于④，，又，正确；

故答案为：①④.

8. 数，部分图像如下图，则__________.

【答案】##

【解析】

【分析】由图象求得函数的解析式，然后计算函数值．

【详解】由题意的最小正周期是，所以，

，而，所以，

，，所以，

．

故答案为：．

9. 已知复数，，若，求实数的取值范围__________.

【答案】

【解析】

【分析】根据复数相等得，利用换元法结合对勾函数单调性即可得到的范围.

【详解】，

，令，

根据对勾函数单调性可知函数在上严格单调递减，

，

所以的范围为.

故答案为：.

10. 经过正方体的两个顶点的所有直线中，异面并且相互垂直的直线有多少__________对.

【答案】78

【解析】

【分析】经过正方体的两个顶点的所有直线有棱、面对角线以及体对角线，结合垂直关系运算求解.

【详解】若其中一条直线为棱，比如，

因为平面，平面，

则异面并且相互垂直的直线的有，共4条棱、2条面对角线，

所以与棱垂直的直线共有对；

若其中一条直线为面对角线，比如，

因为平面，平面，则，

且平面，

所以平面，

则异面并且相互垂直的直线的有，共1条面对角线、2条体对角线，

所以与面对角线垂直的直线（棱除外）共有对；

且体对角线不相互垂直，所以符合题意共有对.

故答案为：78.

11. 已知函数，为的零点，为图象的对称轴，且在上单调，则的最大值为________.

【答案】

【解析】

【分析】利用正弦函数的性质及条件可求得ω的表达式，再根据函数在上单调可知－＝≤＝，求得ω≤12，经验证ω＝11不满足题意，ω＝9满足条件，得解.

【详解】因为x＝－为f(x)的零点，x＝为f(x)的图象的对称轴，

所以－＝＋，即＝T＝· (k∈Z)，

所以ω＝2k＋1(k∈Z)，

又因为f(x)在上单调，所以－＝≤＝，解得ω≤12，

ω＝11时f(x)＝sin在上单调递增，在上单调递减，不成立，

ω＝9时满足条件，由此得ω的最大值为9.

故答案为：9

12. 对于二元函数表示先关于求最大值，再关于求最小值，已知平面内非零向量，满足，记（，且），则=__________.

【答案】2

【解析】

【分析】根据条件，分析出向量的几何关系，再根据定义对函数作出逐步求解.

【详解】 

如图， ，，条件表示向量在向量上的投影，表示向量在向量上的投影；

过C点作直线OA的垂线得垂足F，由得，是锐角，，

，

表示先将m作为定值，求当n变化时的最大值，假定此时，然后使得时，将m作为变量求出的最小值；

显然对于，

分母最小时取得最大值，分母的根号内是关于n的二次函数，当时，

分母取得最小值，最小值，

此时，

根号内是关于的二次函数，当时，取得最小值，

最小值；

故答案为：2.

二､选择题（本大题共4题，满分20分）

13. 已知，是平面内的两条直线，是空间的一条直线，则“”是“且”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】根据线面垂直的判定定理以及定义即可判断．

【详解】当时，，所以且；

当且，，但，是否相交无法判断，所以可能成立，也可能不成立．综上，“”是“且”的充分不必要条件．

故选：A．

14. 将函数图像上各点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，再将所得图像向左平移个单位长度得到函数的图像，则的解析式为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】由函数图像伸缩变化和平移变化的规律，求函数解析式.

【详解】函数图像上各点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得函数的图像，

再将所得图像向左平移个单位长度得到函数的图像，则.

故选：D

15. 如图，在正四面体中，是棱上的三等分点，记二面角，的平面角分别为，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】取AB的中点G，然后证明平面CDG，然后根据二面角平面角的定义找到，最后结合余弦定理得到答案.

【详解】如图1，

在正四面体ABCD中，取AB的中点G，连接CG,DG，则，而，所以平面CDG，连接EG,FG，因为平面，平面，所以.由二面角的平面角的定义可以判断，由对称性容易判断.

设该正四面体的棱长为6，如图2，

CD=6，易得，取CD的中点H，则，CE=2，EH=HF=1，在中，由勾股定理可得，于是.

于是，在中，由余弦定理可得，

在中，由余弦定理可得，而，即，于是.

故选：D.

16. 已知是三个锐角，则中，大于的数至多有（    ）个

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

【答案】C

【解析】

【分析】假设均大于，三式相乘得一不等关系，再由二倍角公式及正弦函数性质得一不等关系，两结论矛盾，从而可得出三个不可能都大于，然后取特例可有两个大于，得出最终结论．

【详解】假设均大于，即，

于是，

而另一方面

矛盾

故不可能均大于

而取知且

大于的数至多有2个．

故选：C．

【点睛】方法点睛：含有“至多”、“至少”等词的命题常常用反证法，假设结论的反而成立，然后由假设和题设条件推导出矛盾的结论，从而否定假设得出相应结论．

三､解答题（本大题共有5题，满分76分）

17. （1）复数与是共轭复数，求实数的值.

（2），求复数

【答案】（1）；（2）5

【解析】

【分析】（1）根据共轭复数实部相等，虚部互为相反数即可解得；

（2）将复数化简成的形式，可求得.

【详解】（1）由共轭复数的概念可知实部相等，虚部互为相反数，

即，解得.

所以实数的值为1.

（2）由

；

可得.

18. 如图，已知四棱锥的底面是正方形，底面，是侧棱的中点.

（1）证明平面.

（2）求异面直线与所成的角；

【答案】（1）证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用线面垂直的判定定理与性质定理即可得证；

（2）先利用中位线定理证得，从而得到或其补角即为异面直线与所成的角，再确定为正三角形，从而得解.

【小问1详解】

因为底面，平面，所以，

又平面平面，

所以平面，又平面，所以，

因为是侧棱的中点，所以，

又平面平面，

所以平面.

【小问2详解】

连，两直线交于点，连，

因为底面是正方形，所以是的中点，

又分别是的中点，所以，

所以或其补角就是异面直线与所成的角，

因为为正方形，且，

所以，，，

故，即是正三角边，

所以.

所以异面直线AE与PD所成的角为.

19. 已知向量，，设.

（1）若，求当取最小值时实数的值;

（2）若，问:是否存在实数，使得向量与向量夹角为?若存在，求出实数;若不存在，请说明理由.

【答案】（1）；（2）存在，.

【解析】

【分析】（1）由题意可得，，从而可得，再利用二次函数的性质可得答案，

（2）由题意可得，再由可得，从而可求得，的值，从而可求出实数的值

【详解】（1）当时，，则，

∴=，

∴当时，取得最小值.

（2）假设存在满足条件的实数t.

由条件得，

∵，∴=，

=，

，

∴.

∴，且，得.

∴存在满足条件.

20. 通常用分别表示的三个内角所对边的边长，表示的外接圆半径.

（1）如图，在以为圆心的中，和是的弦，其中，，求弦的长；

（2）在中，若是钝角，求证：；

（3）给定三个正实数，其中.问：满足怎样的关系时，以为边长，为外接圆半径的不存在､存在一个或存在两个（全等的三角形算作同一个）？在存在的情况下，用表示.

【答案】（1）；   

（2）证明见解析；    （3）答案见解析.

【解析】

【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理计算作答.

（2）由三角形的边角关系，结合余弦定理推理作答.

（3）按与的大小关系分类讨论，结合三角恒等变换、余弦定理求解作答.

【小问1详解】

在中，，，由正弦定理得，

所以

.

【小问2详解】

因为是钝角，则不过圆心，于是，

由余弦定理知，即，

所以

【小问3详解】

当或时，所求的不存在；

当且时，直径所对的圆周角是直角，因此，所求的只存在一个，且；

当且时，，且都是锐角，由，

确定，所求的只存在一个，且；

当时，总是锐角，可以是钝角也可以是锐角，则所求的存在两个，

由，得当时，，，

，

因此，

当时，，，

所以.

【点睛】结论点睛：的三边分别为a，b，c（a≥b≥c），若，则是锐角三角形；若，则是直角三角形；若，则是钝角三角形.

21.

已知函数，如果存在给定的实数对（），使得恒成立，则称为“S-函数”.

（1）判断函数是否是“S-函数”；

（2）若是一个“S-函数”，求出所有满足条件的有序实数对；

（3）若定义域为的函数是“S-函数”，且存在满足条件的有序实数对和，当时，的值域为，求当时函数的值域.

【答案】(1)是

(2) 满足是一个“S-函数”的常数（a, b）=

(3)

【解析】

【详解】解：（1）若是“S-函数”，则存在常数，使得 (a+x)(a-x)=b.

即x2=a2-b时，对一切实数恒成立.而x2=a2-b最多有两个解，矛盾，

因此不是“S-函数”.………………………………………………3分

若是“S-函数”，则存在常数a,b使得，

即存在常数对（a, 32a）满足.

因此是“S-函数”………………………………………………………6分

（2）是一个“S-函数”，设有序实数对（a, b）满足:

则tan(a-x)tan(a+x)=b恒成立.

当a=时，tan(a-x)tan(a+x)= -cot2(x)，不常数.……………………7分

因此，,

则有.

即恒成立. ……………………………9分

即,

当,时，tan(a-x)tan(a+x)=cot2(a)=1.

因此满足是一个“S-函数”的常数（a, b）=.…12分

(3) 函数是“S-函数”，且存在满足条件的有序实数对和，

于是

即,

，.……………………14分

.………16分

因此, …………………………………………17分

综上可知当时函数的值域为.……………18分