精品解析：四川省成都市第七中学2024届高三零诊模拟考试数学（理）试题（解析版）

成都七中高 2024 届零诊模拟考试数学试题(理科)

一、单选题：共12道小题，每题5分，共60分.

1. 设，则的虚部为（    ）

A.  B.  C. 1 D. 3

【答案】C

【解析】

【分析】利用复数的除法及加减运算求解作答.

【详解】依题意，，

所以复数的虚部为1.

故选：C

2. 若直线与直线平行，则（  ）

A. 0 B.  C. 1 D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据两直线平行的条件可直接求出的值.

【详解】因为，所以，解得.

故选：B.

3. 一组数据包括47、48、51、54、55，则这组数据的标准差为（    ）

A  B.  C. 10 D. 50

【答案】A

【解析】

【分析】根据平均数、方差公式计算可得.

【详解】依题意这组数据的平均数为，

所以方差为，

则标准差为.

故选：A

4. 已知函数在其定义域上的导函数为，当时，“”是“单调递增”的（    ）

A. 充要条件 B. 既不充分也不必要条件

C. 必要不充分条件 D. 充分不必要条件

【答案】D

【解析】

【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可.

【详解】因为函数在其定义域上的导函数为，

若当时，，则单调递增，故充分性成立；

若在上单调递增，则，

如，显然函数在上单调递增，但是，故必要性不成立；

故“”是“单调递增”的充分不必要条件.

故选：D

5. 如图所示算法框图思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该算法框图，若输入的、分别为、，则输出的（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

根据题意，由程序框图，逐步运算，即可得出结果

【详解】第一步：初始值，；此时；进入循环；

第二步：，计算，此时，进入循环；

第三步：，计算，此时，进入循环；

第四步：，计算，此时，进入循环；

第五步：，计算，此时，结束循环，输出.

故选：C.

【点睛】本题主要考查循环程序框图求输出值，属于基础题型.

6. 直线与抛物线交于、两点，若，其中为坐标原点，则的准线方程为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】求出点、的坐标，根据求出的值，即可得出抛物线的准线方程.

【详解】不妨设点在第一象限，则点在第四象限，

联立可得，则点、，

所以，，解得，因此，的准线方程为.

故选：B.

7. 函数的图象经过变换后得到函数的图象，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】由已知可得出，代入可得出的表达式，即可得出的表达式.

【详解】由已知可得，代入可得，则，

即，因此，.

故选：B.

8. 有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或是丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖了．”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖歌手是（    ）

A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁

【答案】C

【解析】

【分析】逐一验证即可.

【详解】若甲是获奖的歌手，则都说假话，不合题意

若乙是获奖的歌手，则甲、乙、丁都说真话，丙说假话，不符合题意

若丁是获奖的歌手，则甲、丁、丙都说假话，乙说真话，不符合题意

故获奖的歌手是丙

故选：C

9. 设曲线C的参数方程为(为参数，且)，曲线C上动点P到直线的最短距离为（   ）

A. 0 B.  C.  D. 1

【答案】B

【解析】

【分析】设，由点到直线的距离公式结合三角函数的性质求解即可.

【详解】设，直线

由动点P到直线的距离为：

，

其中，，

因为，所以，

，所以，

所以当时，.

故选：B.

10. 关于圆周率，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的浦丰实验和查理斯实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计的值：先请100名同学每人随机写下一个，都小于1的正实数对；再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对的个数；最后再根据统计数估计的值，假如某次统计结果是，那么本次实验可以估计的值为（    ）．

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据约束条件画出可行域，得到面积，根据几何概型得到答案.

【详解】

∵而满足构成钝角三角形，则需画出图像：

弓形面积：，∴．

故选

【点睛】本题考查了几何概型，画出图像是解题的关键，意在考查学生的综合应用能力.

11. 点在以为直径的球的表面上，且，，已知球的表面积是，设直线和所成角的大小为，直线和平面所成角的大小为，四面体内切球半径为，下列说法中正确的个数是（   ）

①平面；②平面平面；③；④

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据，，由线面垂直判定可知①正确；根据，，由线面垂直和面面垂直的判定可知②正确；根据平行关系和异面直线所成角定义可知，由面面垂直性质和线面角定义可知，由长度关系可求得③正确；利用体积桥可求得，知④错误.

【详解】 

对于①，为球的直径，为球上一点，，

又，，平面，平面，①正确；

对于②，为球的直径，为球上一点，，

由①知：平面，又平面，，

，平面，平面，

又平面，平面平面，②正确；

对于③，取中点，连接，

分别为中点，，，；

分别为中点，，又平面，平面，

平面，；

球的表面积为，，解得：，

，；

，，，

又，，

为等边三角形，，则；

，为中点，，

又平面平面，平面平面，平面，

平面，，

，，，

，，③正确；

对于④，，，，，

，四面体的表面积，

四面体内切球半径，④错误.

故选：C.

12. 函数在上的零点个数为（   ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

【答案】B

【解析】

【分析】当时，；当时，；当，令，即求与的图像在的交点个数，从而结合图像即可得解.

【详解】当时，，

当时，，

故当时，无零点，

当，令，即，

即求与在的交点个数，

因为，而，所以，两边同时取对数，则，

而，

因为，

而，

所以，所以，

所以，两边同时取对数，则，

所以，

又因为的最小正周期为，

因为，

画出与在上的大致图象，

由图可知与的图像在上只有一个交点，

而在上单调递增，且在处取不到最大值，

所以，故与的图像在上没有交点，

综上：当，与的图象只有一个交点.

综上：函数在上的零点个数为.

故选：B.

【点睛】关键点睛：本题的关键点在于当，令，将本题转化为与的交点个数，再判断得，从而画出图象即可得解.

二、填空题:共4道小题，每题5分，共20分.

13. 命题“，”的否定为________．

【答案】，

【解析】

【分析】根据全称量词命题的否定为特称量词命题，即可得解.

【详解】命题“，”为全称量词命题，

其否定为：，.

故答案为：，

14. 函数的图象在处的切线方程为________．

【答案】

【解析】

【分析】求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，再利用点斜式求出切线方程.

【详解】因为，则，，

则，

所以切线方程为，整理得.

故答案为：

15. 某区为了解全区名高二学生的体能素质情况，在全区高二学生中随机抽取了名学生进行体能测试，并将这名的体能测试成绩整理成如下频率分布直方图．根据此频率分布直方图，这名学生平均成绩的估计值为________．

【答案】

【解析】

【分析】根据所有矩形面积之和为求出的值，将每个矩形底边的中点值乘以对应矩形的面积，相加可得这名学生平均成绩.

【详解】由于频率分布直方图中所有矩形面积之和为，

可得，解得，

由频率分布直方图可知，这名学生平均成绩的估计值为

分.

故答案为：.

16. 双曲线其左、右焦点分别为，倾斜角为的直线与双曲线H在第一象限交于点P，设内切圆半径为r，若，则双曲线H的离心率的取值范围为______.

【答案】

【解析】

【分析】设内切圆与分别相切于点，由题意结合双曲线的定义可得，再由双曲线的焦半径公式即可求出，代入，解方程即可得出答案.

【详解】设内切圆与分别相切于点，则，

且，

所以，因为直线的倾斜角为，

所以，所以，

因为，

由双曲线的定义可知，，所以，

即，所以，

过点作轴于点，设，

则，

由双曲线的焦半径公式可得：，

则，因，所以，

则，即，化简可得：，

则双曲线H的离心率的取值范围为，

故答案为：.

三、解答题：共5道大题，共70分.

17. 设函数，

（1）求、的值；

（2）求在上的最值．

【答案】（1），   

（2），

【解析】

【分析】（1）求出函数的导函数，令求出，再令求出；

（2）由（1）可得，利用导数求出函数的单调性，即可求出函数的极值，再由区间端点的函数值，即可得解.

【小问1详解】

因为，

所以，取，则有，即；

所以，取，则有，即．

故，．

【小问2详解】

由（1）知，，

则，

所以、与，的关系如下表：

故，．

18. 信创产业即信息技术应用创新产业，是一条规模庞大、体系完整的产业链，是数字经济的重要抓手之一．在政府、企业等多方面的共同努力下，中国信创产业市场规模不断扩大，市场释放出前所未有的活力．下表为2018—2022年中国信创产业规模（单位：千亿元），其中2018—2022年对应的代码依次为1~5．

（1）从2018—2022年中国信创产业规模中任取2个数据，求这2个数据都大于10的概率．

（2）由上表数据可知，可用指数型函数模型拟合y与x的关系，请建立y关于x的回归方程（a，b的值精确到0.01），并预测2023年中国信创产业规模能否超过20千亿元．

参考数据：

其中，．

参考公式：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，．

【答案】（1）   

（2），不会超过20千亿元．

【解析】

【分析】（1）根据古典概型概率计算公式，利用列举法可得2个数据都大于10的概率为；（2）将指数型函数模型两边取对数可得，即，再利用参考数据可得回归方程为，将2023年的年份代码6代入可得，即可得出结论.

【小问1详解】

从2018—2022年中国信创产业规模中任取2个数据有

，，，，，，

，，，，共10种情况．

其中这2个数据都大于10的有，，，共3种情况，

所以2个数据都大于10的概率．

【小问2详解】

两边同时取自然对数，

得，则．

因为，，，

所以，

，所以，

即，所以，

即y关于x的回归方程为．

2023年的年份代码为6，把代入，

得，

所以预测2023年中国信创产业规模不会超过20千亿元．

19. 如图，三棱柱中，侧面为矩形，且为的中点，．

（1）证明：平面；

（2）求平面与平面的夹角的余弦值．

【答案】（1）证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）连接与交于点，连接，则，利用线面平行的判定定理即可证明；

（2）由已知条件得面，则，由得.以为坐标原点，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，由面得平面的一个法向量为，设平面的法向量为，由求得，然后利用向量夹角公式求解即可.

【小问1详解】

连接与交于点，连接

为三棱柱，为平行四边形，点为的中点

又为的中点，则，

又平面平面，平面．

【小问2详解】

解法1：

，面

面，

，，即

以为坐标原点，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，

面，则平面的一个法向量为

设平面的法向量为，则，即

令

设平面与平面的夹角为，

平面与平面的夹角的余弦值是．

解法2：设点为的中点，点为的中点，

连接交于点，连接，

设点为的中点，连接

点为的中点，点为的中点

且，点为的中点

为矩形，

又平面，

在中，，可得

为等腰直角三角形，其中

而点为的中点，且

点为中点，点为的中点

且，

又在Rt中，，点为的中点，

在中，，且点为的中点

且

即为平面与平面的夹角

在中，

．

平面与平面的夹角的余弦值是．

20. 椭圆上顶点为B，左焦点为F，中心为O.已知T为x轴上动点，直线BT与椭圆C交于另一点D；而P为定点，坐标为，直线PT与y轴交于点Q.当T与F重合时，有，且.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）设T的横坐标为t，当时，求面积的最大值.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）由代入可求出，再由，用两点间的距离公式可求出，再由，即可得出答案.

（2）设直线BT的方程为，与联立，由韦达定理可求出，设直线PT的方程为，令，可求出，表示出，即可求出，结合基本不等式即可得出答案.

【小问1详解】

设，因为当T与F重合时，有，且，

所以，

，

由，知

所以，即，

，

由知，所以，即，

则，故椭圆C的标准方程为.

  【小问2详解】

设直线BT的方程为，与联立，可得

且，有，即，

设直线PT的方程为，令，可得，

由，

由题意知：，则，，

而，

当，即时取等，且，

故面积的最大值为.

21. 设函数，其中.

（1）讨论函数在上的极值；

（2）若函数f(x)有两零点，且满足，求正实数的取值范围.

【答案】（1）答案见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）求出，分、讨论，可得答案；

（2）由零点存在定理可知，而题设，消去a可得，令，且，求出，，将其代入得，再利用导数分、讨论可得答案..

【小问1详解】

由知，

1）当时，且有，，单调递增，故无极值；

2）当时，有，，单调递减，而，，单增，故，无极大值.

综上，当时，无极值；

当时，极小值为，无极大值；

【小问2详解】

由（1）可知当时，，，

且，

由零点存在定理可知，而题设可知，消去a可得

，令，且，即，，

将其代入，整理可令得，

而，

1)当时，且，有，单调递增，，满足题设；

2)当时，且，有，单调递减，，不满足题设；

综上，的取值范围为.

【点睛】关键点点睛：第二问解题关键点是消去a可得，令得、， 将其代入构造函数，本题还考查了学生思维能力、运算能力.

22. 在平面直角坐标系中，以为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线和直线的极坐标方程分别为和：．且二者交于，两个不同点．

（1）写出曲线和直线的直角坐标方程；

（2）若点的极坐标为，，求的值．

【答案】（1），   

（2）2或

【解析】

【分析】（1）利用极坐标与平面直角坐标方程互化公式进行求解；

（2）先判断出的直角坐标为，在直线上，写出直线的标准参数方程，代入曲线的普通方程中，得到，分且，两种情况，列出方程，求出答案.

【小问1详解】

由，得，

故曲线的直角坐标方程为，即；

由，得，

故直线的直角坐标方程为．

【小问2详解】

因为，

所以点的直角坐标为，在直线上，

而直线的标准参数方程为（为参数），

将其代入，整理可得．

由题设知，解得．

又，．

当，且时，有，，则，

解得，满足要求；

当时，有，

则，

解得，满足要求．

故的值为2或．