初中数学七年级下册期末考试模拟卷

这是一份初中数学七年级下册期末考试模拟卷，共48页。试卷主要包含了已知直线，为平面内一点，连接，，如图①，已知等内容，欢迎下载使用。
第5章 相交线与平行线 期末压轴题训练
1．如图，，是位于，之间的一点，现作如下操作：
第一次操作：分别作和的平分线，交点为．
第二次操作：分别作和的平分线，交点为．
第三次操作：分别作和的平分线，交点为．

第次操作，分别作和的平分线，交点为．
  
(1)如图1，若，，求的度数．
(2)如图2，试探究与之间的数量关系，并说明理由．
(3)若，直接写出的度数（用含a的式子表示）．
2．已知直线，为平面内一点，连接，．
  
(1)如图1，已知，，则的度数是 ；
(2)如图2，判断，，之间的数量关系，并证明；
(3)如图3，，平分，交于点，＋，求的度数．
3．如图，直线，点E在直线上，点G在直线上，点F在直线之间．
(1)如图1，若，求的度数；
  


(2)如图2，若平分，平分的反向延长线与交于点H，求证；
  


(3)如图3，在（2）的条件下，若平分，当 时，．（直接写出结果）
  


4．已知，点、分别是、上的点，点在、之间，连接、．
  
(1)如图1，若，求的度数．
(2)在（1）的条件下，已知的平分线交的平分线于点，求的度数．
(3)如图2，若点是下方一点，平分，平分，已知，证明：为定值．
5．如图①，已知：平分，平分，且．

(1)求证：；
(2)若射线、分别在、内部，且，如图②，当时，直接写出的值；
(3)H是直线上一动点（不与点D重合），平分交直线于点P．设，直接写出的度数（用含x的代数式表示）．
6．如图1，已知两条直线被直线所截，分别交于点E，点F，平分交于点M，且．

(1)判断直线与直线是否平行，并说明理由；
(2)如图2，点G是射线上一动点（不与点M，F重合），平分交于点H，过点H作于点N，设．
①当点G在点F的右侧时，若，求β的度数；
②当点G在运动过程中，α和β之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明．
7．如图1，、被直线所截，点是线段上的点，过点作，连接，．

(1)试证明；
(2)将线段沿着直线平移得到线段，连接．
①如图2，当时，求的度数；
②在整个运动中，当时，则______．
8．如图1，被直线所截，点E是线段上一点，过点E作，连接．

(1)与平行吗？为什么？
(2)将线段沿着直线进行平移，平移后得到的对应线段记为线段，连接；
①当线段在E点下方时，如图2，若，求的度数．
②在整个平移的过程中，当时，求的度数．
9．已知，点M在直线AB上，点N、Q在直线CD上，点P在直线AB、CD之间，连接PM、PN、PQ，PQ平分，如图①．

(1)若、，求的度数（用含，的式子表示）；
(2)过点Q作交PM的延长线于点E，过E作EF平分∠PEQ交PQ于点F，如图②，请你判断EF与PQ的位置关系，并说明理由；
(3)在（2）的条件下，连接EN，如图③，若，求证：NE平分．
10．如图1，//，点、分别在、上，点在直线、之间，且．

（1）求的值；
（2）如图2，直线分别交、的角平分线于点、，直接写出的值；
（3）如图3，在内，；在内，，直线分别交、分别于点、，且，直接写出的值．
11．如图1，由线段组成的图形像英文字母，称为“形”．

（1）如图1，形中，若，则______；
（2）如图2，连接形中两点，若，试探求与的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，在（2）的条件下，且的延长线与的延长线有交点，当点在线段的延长线上从左向右移动的过程中，直接写出与所有可能的数量关系．
12．（1）光线从空气中射入水中会产生折射现象，同时光线从水中射入空气中也会产生折射现象，如图1，光线a从空气中射入水中，再从水中射入空气中，形成光线b，根据光学知识有，请判断光线a与光线b是否平行，并说明理由．

（2）光线照射到镜面会产生反射现象，由光学知识，入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相等，如图2有一口井，已知入射光线与水平线的夹角为，问如何放置平面镜，可使反射光线b正好垂直照射到井底?（即求与水平线的夹角）
（3）如图3，直线上有两点A、C，分别引两条射线、．，，射线、分别绕A点，C点以1度/秒和3度/秒的速度同时顺时针转动，设时间为t，在射线转动一周的时间内，是否存在某时刻，使得与平行？若存在，求出所有满足条件的时间t．
13．某市为了美化亮化某景点，在两条笔直的景观道MN，QP上，分别放置了A、B两盏激光灯，如图所示，A灯发出的光束自AM逆时针旋转至AN便立即回转，B灯发出的光束自BP逆时针旋转至BQ便立即回转，两灯不间断照射，A灯每秒转动a度，灯每秒转动b度，且满足，若这两条票观道的道路是平行的，即．

（1）求a、b的值；
（2）若B灯先转动10秒，A灯才开始转动；
①当A灯转动5秒时，两灯的光束和，到达如图①所示的位置，试问和是否平行？请说明理由；
②当B灯光束第一次达到BQ之前，两灯的光束是否能互相垂直，如果能互相垂直，那么此时A灯旋转的时间为________秒．（不要求写出解答过程）
14．将两块三角板按如图置，其中三角板边，，，．

（1）下列结论：正确的是_______．
①如果，则有；
②；
③如果，则平分．
（2）如果，判断与是否相等，请说明理由．
（3）将三角板绕点顺时针转动，直到边与重合即停止，转动的过程中当两块三角板恰有两边平行时，请直接写出所有可能的度数．
15．已知，如图①，∠BAD=50°，点C为射线AD上一点（不与A重合），连接BC．
（1）[问题提出]如图②，AB∥CE，∠BCD=73 °，则：∠B= ．
（2）[类比探究]在图①中，探究∠BAD、∠B和∠BCD之间有怎样的数量关系？并用平行线的性质说明理由．
（3）[拓展延伸]如图③，在射线BC上取一点O，过O点作直线MN使MN∥AD，BE平分∠ABC交AD于E点，OF平分∠BON交AD于F点，交AD于G点，当C点沿着射线AD方向运动时，∠FOG的度数是否会变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出这个不变的值．

16．（1）已知：如图1，，易知______．

（2）如图2，，，是直线上的两点，猜想，，，，这四个角之间的关系，写出以下三种情况中这四个角之间的关系，并选择其中之一进行说明．

①图中四个角的关系：______
②图中四个角的关系：______
③图中四个角的关系：______
17．如图1，AB//CD，在AB、CD内有一条折线EPF．
（1）求证：
（2）如图2，已知的平分线与的平分线相交于点Q，试探索与之间的关系；
（3）如图3，已知=，，则与有什么关系，请说明理由．

18．问题情景：如图1，AB//CD，∠PAB=130°，∠PCD=120°，求∠APC的度数．
小明的思路是：
过点P作PE//AB，
∴∠PAB+∠APE=180°．
∵∠PAB=130°，
∴∠APE=50°
∵AB//CD，PE//AB，
∴PE//CD，
∴∠PCD+∠CPE=180°．
∵∠PCD=120°，
∴∠CPE=60°
∴∠APC=∠APE+∠CPE=110°．
问题迁移：如果AB与CD平行关系不变，动点P在直线AB、CD所夹区域内部运动时，∠PAB，∠PCD的度数会跟着发生变化．
（1）如图3，当动点P运动到直线AC右侧时，请写出∠PAB，∠PCD和∠APC之间的数量关系？并说明理由．

（2）如图4，AQ，CQ分别平分∠PAB，∠PCD，请直接写出∠AQC和∠APC的数量关系 ．

（3）如图5，点P在直线AC的左侧时，AQ，CQ仍然平分∠PAB，∠PCD，请直接写出∠AQC和角∠APC的数量关系


参考答案：
1．(1)
(2)，理由见解析
(3)

【分析】（1）先过作，根据，得出，再根据平行线的性质，得出，，进而得到；
（2）先根据和的平分线交点为，运用（1）中的结论，得出；同理可得；
（3）根据和的平分线，交点为，得出；根据和的平分线，交点为，得出；据此得到规律，最后求得的度数．
【解析】（1）解：如图1，过作，
  
，
，
，，
，
；
（2），理由如下：
如图2，和的平分线交点为，
  
由（1）可得，
；
和的平分线交点为，
由（1）可得，
；
（3）如图2，和的平分线交点为，
由（1）可得，
；
和的平分线，交点为，
；

以此类推，，
当度时，等于．
【点评】本题主要考查了角平分线的定义以及平行线的性质：两直线平行，内错角相等的运用．解决问题的关键是作平行线构造内错角，解题时注意：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．
2．(1)
(2)，证明见解析
(3)

【分析】（1）首先过点作，则，然后由两直线平行，同旁内角互补以及内错角相等，即可求解；
（2）作，则，根据平行线的性质，即可证得；
（3）先证明，，利用（）的结论即可求解．
【解析】（1）解：，，
过点作，
  
，
，
，
，则，
；
故答案为：．
（2），
如图，作，
  
，
，
，
，即，
，
；
；
（3）设交于，如图，
  
，
，
由题知，即，
又，
，
，
，
平分，
，
，
由得，
，



，
即．
【点评】本题考查了平行线的性质以及角平分线的定义．注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
3．(1)

(2)见解析
(3)


【分析】（1）过点F作，由平行线的性质和判定可得出，进而即可得到答案；
（2）过点F作，过点H作，由（1）和角平分线的性质可得，再由平行线的性质，进而即可得到答案；
（3）由平分和已知得出，再由得出，进而即可得到答案．
【解析】（1）如图，过点F作
  
∵
∴
∴
∵
∴．
（2）如图，过点F作，过点H作
  
设，
∵平分平分
∴
由（1）可得
即
∵，
∴
又∵
∴，
∴
∴
∵
∴．
（3）∵平分，
又∵
∴，
若，那么，
由（2）得
故答案为：．
【点评】本题考查的是平行线的性质，角平分线的定义的综合运用，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
4．(1)
(2)
(3)见解析

【分析】（1）过点作，利用平行线的性质求解；
（2）分别过点和作，，利用平行的性质得到对应的角度关系，进而求取的值；
（3）根据角平分线的定义求出，，，设，求出，，相减即可证明．
【解析】（1）解：如图所示，过点作，
  
，
，
，，
，
，
．
（2）如图所示，过点作，
  
，，，

平分，平分，

，
，
，，
；
（3）如图所示，将与的交点记作，
  
平分，且，
，，
平分，
，
设，
，
由（1）同理可得，，
，
，
在中，，
∴，即为定值．
【点评】本题主要考查平行的常见模型，对于平行的辅助线添加，可过转折点处作已知直线的平行线，再利用平行的性质求解．关于度数的定值问题，可以借助代数式求证．
5．(1)证明见解析
(2)
(3)或

【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠ABD＝2∠EBD，∠BDC＝2∠BDE，然后求出∠ABD+∠BDC＝180°，再根据同旁内角互补，两直线平行证明；
（2）作，可得，，然后根据平行线的性质解答即可；
（3）根据角平分线的定义可得，然后分点H在点D的左边和右边两种情况，表示出和，从而得解．
【解析】（1）∵平分，平分，
∴，
又∵，
∴，
∴，
（2）如图3，作，

又∵，
∴，，
∴，，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）∵平分，
∴，
∵平分，
∴，
如图1，点H在点D的左边时，
∵，
，
∴，
∵，
∴，
∴；

如图2，点H在点D的右边时，
∵，
，
∴，
∵，
∴，
∴，
综上所述，或．
【点评】本题考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，熟记平行线的性质、分类讨论是解题的关键．
6．(1)，理由见解析
(2)①；②当点G在点F的右侧时，当点G在点F的左侧时，，证明见解析

【分析】（1）依据角平分线，可得，根据，可得，进而得出；
（2）①平分∠，平分，即可得到，再根据，即可得到，进而求出，再根据平行线的性质可得答案；②分两种情况进行讨论：当点G在点F的右侧时．当点G在点F的左侧时，根据平行线的性质和角平分线的定义讨论求解即可．
【解析】（1）解： ，理由如下：
∵平分，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）解：①如图2，∵平分∠，平分，
∴，
∴，
又∵，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
②点G是射线上一动点，故分两种情况讨论：
如图2，当点G在点F的右侧时，，证明如下：
∵，
∴，
又∵平分∠，平分，
∴，
∴，
又∵，即，
∴，
∴；

如图3，当点G在点F的左侧时，，证明如下：

证明：∵，
∴，
又∵平分∠，平分，
∴，
∴


，
又∵，
∴，
∴．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟知平行线的性质是解题的关键．
7．(1)证明见解析
(2)①;②

【分析】（1）根据平行线的性质得到，等量代换得到，于是得到结论；
（2）①如图2，过作交于，根据平行线的性质即可得到结论；
②如图3，过作交于，根据平行线的性质即可得到结论．
【解析】（1），
，
，
，
；
（2）①如图2，过作交于，

，
，
，
，
，
，
，
，
；
②如图3，过作交于，

，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
【点评】本题考查了平移的性质，平行线的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
8．(1)；理由见解析
(2)①∠DEG＝75°；②∠EGF的值为45°或90°

【分析】（1）结论：，延长DE交AC于点T．利用平行线的性质以及判定证明即可；
（2）①过点E作，利用平行线的性质求解即可；
②分两种情形：当点F在线段BE上时，过点E作，当点F在点B的上方时，过点E作，分别利用平行线的性质求解即可．
【解析】（1）解：结论：．理由如下：
延长DE交AC于点T，如图所示：

∵，
∴∠DTC＝∠A＝60°，
∵∠D＝60°，
∴∠D＝∠DTC，
∴．
（2）①过点E作，

∵，
∴，
∴∠EGF＝∠KEG＝15°，∠DEK＝∠D＝60°，
∴∠DEG＝∠DEK＋∠KEG＝75°．
②当点F在线段BE上时，过点E作，如图所示：

∵，
∴，
∴∠EGF＝∠KEG，∠DEK＝∠D＝60°，
∴∠DEG＝60°−∠FGE，
∵∠EGF＝3∠DEG，
∴∠DEG＝15°，
∴∠EGF＝45°；
当点F在点B的上方时，过点E作，如图所示：

∵，
∴，
∴∠EGF＝∠KEG，∠DEK＝∠D＝60°，
∴∠DEG＝∠FGE−60°，
∵∠EGF＝3∠DEG，
∴∠DEG＝30°，
∴∠EGF＝90°．
综上所述，满足条件的∠EGF的值为45°或90°．
【点评】本题属于几何变换综合题，考查了平行线的判定和性质，平移变换等知识，解题关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考常考题型．
9．(1)∠NPQ＝α＋β；
(2)EF⊥PQ，理由见解析.
(3)证明见解析.

【分析】（1）过点P作PR∥AB，可得AB∥CD∥PR，即可求得∠MPQ＝α＋β，再根据角平分线的定义可得结论；
（2）根据已知条件可得2∠EPQ＋2∠PEF＝180°，进而可得EF与PQ的位置关系；
（3）结合（2）和已知条件根据三角形内角和定理可得∠NEF＝180°−∠QEF−∠NQE−∠QNE＝∠PMA，可得∠NQE＋2∠QNE＝180°，结合三角形的内角和定理可得∠QNE＝∠NEQ，再根据平行线的性质可得∠PNE＝∠QNE，进而可得结论．
【解析】（1）解：过点P作PR∥AB，

∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥PR，
∴∠MPR＝∠PMA＝α，∠RPQ＝∠PQC＝β，
∴∠MPQ＝∠MPR＋∠RPQ＝α＋β，
∵PQ平分∠MPN，
∴∠NPQ＝∠MPQ＝α＋β；
（2）解：如图②，EF⊥PQ，理由如下：

∵PQ平分∠MPN．
∴∠MPQ＝∠NPQ＝α＋β，
∵QE∥PN，
∴∠EQP＝∠NPQ＝α＋β，
∴∠EPQ＝∠EQP＝α＋β，
∵EF平分∠PEQ，
∴∠PEQ＝2∠PEF＝2∠QEF，
∵∠EPQ＋∠EQP＋∠PEQ＝180°，
∴2∠EPQ＋2∠PEF＝180°，
∴∠EPQ＋∠PEF＝90°，
∴∠PFE＝180°−90°＝90°，
∴EF⊥PQ；
（3）解：由（2）可知：∠EQP＝∠AMP＋∠PQC，∠EFQ＝90°，
∴∠QEF＝90°−（∠AMP＋∠PQC），
∴∠NQE＝∠PQC＋∠EQP＝∠AMP＋2∠PQC，
∴∠NEF＝180°−∠QEF−∠NQE−∠QNE
＝180°−[90°−（∠AMP＋∠PQC）]−（∠AMP＋2∠PQC）−∠QNE
＝180°−90°＋∠AMP＋∠PQC−∠AMP−2∠PQC−∠QNE
＝90°−∠PQC−∠QNE，
∵∠NEF＝∠AMP，
∴90°−∠PQC−∠QNE＝∠AMP，
即∠APM＋2∠PQC＋2∠QNE＝180°，
∴∠NQE＋2∠QNE＝180°，
∵∠NQE＋∠QNE＋∠NEQ＝180°，
∴∠QNE＝∠NEQ，
∵QE∥PN，
∴∠PNE＝∠QEN，
∴∠PNE＝∠QNE，
∴NE平分∠PNQ．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质．
10．（1） ；（2）的值为40°；（3）．
【分析】（1）过点O作OG∥AB，可得AB∥OG∥CD，利用平行线的性质可求解；
（2）过点M作MK∥AB，过点N作NH∥CD，由角平分线的定义可设∠BEM=∠OEM=x，∠CFN=∠OFN=y，由∠BEO+∠DFO=260°可求x-y=40°，进而求解；
（3）设直线FK与EG交于点H，FK与AB交于点K，根据平行线的性质即三角形外角的性质及，可得，结合，可得
即可得关于n的方程，计算可求解n值．
【解析】证明：过点O作OG∥AB，

∵AB∥CD，
∴AB∥OG∥CD，
∴
∴
即
∵∠EOF=100°，
∴∠；
（2）解：过点M作MK∥AB，过点N作NH∥CD，

∵EM平分∠BEO，FN平分∠CFO，
设
∵
∴
∴x-y=40°，
∵MK∥AB，NH∥CD，AB∥CD，
∴AB∥MK∥NH∥CD，
∴
∴

=x-y
=40°，
故的值为40°；
（3）如图，设直线FK与EG交于点H，FK与AB交于点K，

∵AB∥CD，
∴
∵
∴
∵
∴
即
∵FK在∠DFO内，
∴ ，

∵
∴
∴
即
∴
解得 ．
经检验，符合题意，
故答案为：．
【点评】本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，灵活运用平行线的性质是解题的关键．
11．（1）50°；（2）∠A+∠C=30°+α，理由见解析；（3）∠A-∠DCM=30°+α或30°-α
【分析】（1）过M作MN∥AB，由平行线的性质即可求得∠M的值．
（2）延长BA，DC交于E，应用四边形的内角和定理与平角的定义即可解决问题．
（3）分两种情形分别求解即可；
【解析】解：（1）过M作MN∥AB，

∵AB∥CD，
∴AB∥MN∥CD，
∴∠1=∠A，∠2=∠C，
∴∠AMC=∠1+∠2=∠A+∠C=50°；
故答案为：50°；
（2）∠A+∠C=30°+α，
延长BA，DC交于E，

∵∠B+∠D=150°，
∴∠E=30°，
∵∠BAM+∠DCM=360°-（∠EAM+∠ECM）=360°-（360°-∠E-∠M）=30°+α；
即∠A+∠C=30°+α；
（3）①如下图所示：

延长BA、DC使之相交于点E，延长MC与BA的延长线相交于点F，
∵∠B+∠D=150°，∠AMC=α，∴∠E=30°
由三角形的内外角之间的关系得：
∠1=30°+∠2
∠2=∠3+α
∴∠1=30°+∠3+α
∴∠1-∠3=30°+α
即：∠A-∠C=30°+α．
②如图所示，210-∠A=（180°-∠DCM）+α，即∠A-∠DCM=30°-α．

综上所述，∠A-∠DCM=30°+α或30°-α．
【点评】本题考查了平行线的性质．解答该题时，通过作辅助线准确作出辅助线l∥AB，利用平行线的性质（两直线平行内错角相等）将所求的角∠M与已知角∠A、∠C的数量关系联系起来，从而求得∠M的度数．
12．（1）平行，理由见解析；（2）65°；（3）5秒或95秒
【分析】（1）根据等角的补角相等求出∠3与∠4的补角相等，再根据内错角相等，两直线平行即可判定a∥b；
（2）根据入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相等可得∠1=∠2，然后根据平角等于180°求出∠1的度数，再加上40°即可得解；
（3）分①AB与CD在EF的两侧，分别表示出∠ACD与∠BAC，然后根据两直线平行，内错角相等列式计算即可得解；②CD旋转到与AB都在EF的右侧，分别表示出∠DCF与∠BAC，然后根据两直线平行，同位角相等列式计算即可得解；③CD旋转到与AB都在EF的左侧，分别表示出∠DCF与∠BAC，然后根据两直线平行，同位角相等列式计算即可得解．
【解析】解：（1）平行．理由如下：

如图1，∵∠3=∠4，
∴∠5=∠6，
∵∠1=∠2，
∴∠1+∠5=∠2+∠6，
∴a∥b(内错角相等，两直线平行）；
（2）如图2：
∵入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相等，

∴∠1=∠2，
∵入射光线a与水平线OC的夹角为40°，b垂直照射到井底，
∴∠1+∠2=180°-40°-90°=50°，
∴∠1＝×50°=25°，
∴MN与水平线的夹角为：25°+40°=65°，
即MN与水平线的夹角为65°，可使反射光线b正好垂直照射到井底；
（3）存在．
如图①，AB与CD在EF的两侧时，

∵∠BAF=105°，∠DCF=65°，
∴∠ACD=180°-65°-3t°=115°-3t°，
∠BAC=105°-t°，
要使AB∥CD，
则∠ACD=∠BAC，
即115-3t=105-t，
解得t=5；
如图②，CD旋转到与AB都在EF的右侧时，

∵∠BAF=105°，∠DCF=65°，
∴∠DCF=360°-3t°-65°=295°-3t°，
∠BAC=105°-t°，
要使AB∥CD，
则∠DCF=∠BAC，
即295-3t=105-t，
解得t=95；
如图③，CD旋转到与AB都在EF的左侧时，

∵∠BAF=105°，∠DCF=65°，
∴∠DCF=3t°-（180°-65°+180°）=3t°-295°，
∠BAC=t°-105°，
要使AB∥CD，
则∠DCF=∠BAC，
即3t-295=t-105，
解得t=95，
此时t＞105，
∴此情况不存在．
综上所述，t为5秒或95秒时，CD与AB平行．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质，光学原理，读懂题意并熟练掌握平行线的判定方法与性质是解题的关键，（3）要注意分情况讨论．
13．（1）a=3，b=1；（2）①平行，理由见解析；②50秒或65秒或110秒
【分析】（1）由绝对值和平方的非负性可求出a，b的值；
（2）①求出∠PBP'，∠MAM'，根据MN∥PQ得∠ACP=∠PBP'，故AM'∥BP；②设A灯旋转时间为t秒，分类讨论列出一元一次方程，分别求解即可．
【解析】解：（1）∵，
∴a-3=0，b-1=0，
∴a=3，b=1；
（2）①AM'与BP''平行，理由如下：
∵∠PBP'=15×1°=15°，∠MAM'=5×3°=15°，MN∥PQ，
∴∠MAM''=∠ACP=15°，
∴∠ACP=∠PBP'，
∴AM'’∥BP‘；

②能，设A灯旋转时间为t秒，B灯光束第一次到达BQ需要180÷1=180 （秒），
∴t≤180-10，即t＜170，
设AM′与BP′交于点C，过C作CD∥MN，则CD∥PQ，
第一次垂直时，如图，∠ACB=90°，∠NAC=∠ACD，∠PBC=∠BCD，
∴180°-3t+10+t=90°，
解得：t=50；

第二次垂直时，如图，同理可得：
∠ACB=90°，∠NAC=∠ACD，∠PBC=∠BCD，
∴3t-180°+10+t=90°，
解得：t=65；

第三次垂直时，如图，同理可得：
∠ACB=90°，∠MAC=∠ACD，∠QBC=∠BCD，
∴3t-360°+10+t=90°，
解得：t=110；

综上所述，满足条件的t的值为50秒或65秒或110秒．
【点评】本题主要考查了绝对值和非负数的性质、平行线的判定与性质，解决此题的关键是分类讨论、由平行的性质列出每种情况的等量关系．
14．（1）②③；（2）相等，理由见解析；（3）30°或45°或75°或120°或135°
【分析】（1）根据平行线的判定和性质分别判定即可；
（2）利用角的和差，结合∠CAB=∠DAE=90°进行判断；
（3）依据这两块三角尺各有一条边互相平行，分五种情况讨论，即可得到∠EAB角度所有可能的值．
【解析】解：（1）①∵∠BFD=60°，∠B=45°，
∴∠BAD+∠D=∠BFD+∠B=105°，
∴∠BAD=105°-30°=75°，
∴∠BAD≠∠B，
∴BC和AD不平行，故①错误；
②∵∠BAC+∠DAE=180°，
∴∠BAE+∠CAD=∠BAE+∠CAE+∠DAE=180°，故②正确；
③若BC∥AD，
则∠BAD=∠B=45°，
∴∠BAE=45°，
即AB平分∠EAD，故③正确；
故答案为：②③；
（2）相等，理由是：
∵∠CAD=150°，
∴∠BAE=180°-150°=30°，
∴∠BAD=60°，
∵∠BAD+∠D=∠BFD+∠B，
∴∠BFD=60°+30°-45°=45°=∠C；
（3）若AC∥DE，
则∠CAE=∠E=60°，
∴∠EAB=90°-60°=30°；

若BC∥AD，
则∠B=∠BAD=45°，
∴∠EAB=45°；

若BC∥DE，
则∠E=∠AFB=60°，
∴∠EAB=180°-60°-45°=75°；

若AB∥DE，
则∠D=∠DAB=30°，
∴∠EAB=30°+90°=120°；

若AE∥BC，
则∠C=∠CAE=45°，
∴∠EAB=45°+90°=135°；

综上：∠EAB的度数可能为30°或45°或75°或120°或135°．
【点评】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，解题的关键是理解题意，分情况画出图形，学会用分类讨论的思想思考问题．
15．（1）；（2），见解析；（3）不变，
【分析】（1）根据平行线的性质求出，再求出的度数，利用内错角相等可求出角的度数；
（2）过点作∥，类似（1）利用平行线的性质，得出三个角的关系；
（3）运用（2）的结论和平行线的性质、角平分线的性质，可求出的度数，可得结论．
【解析】（1）因为∥，
所以，
因为∠BCD=73 °，
所以，
故答案为：
（2），
如图②，过点作∥，
则，．
因为，
所以，
（3）不变，
设，
因为平分，
所以．
由（2）的结论可知，且，
则：．
因为∥，
所以，
因为平分，
所以．
因为∥，
所以，
所以．
【点评】本题考查了平行线的性质和角平分线的定义，解题关键是熟练运用平行线的性质证明角相等，通过等量代换等方法得出角之间的关系．
16．（1）∠A+∠C；（2）①∠AP1P2+∠P1P2C-∠A-∠C=180°，②∠A+∠AP1P2+∠P1P2C-∠C=180°，③∠AP1P2+∠P1P2C-∠A+∠C=180°，理由见解析．
【分析】（1）根据平行线的性质即可求解；
（2）先作平行线，根据平行线性质得角相等，再分别根据每个图中角的关系进行等量代换得出结论．
【解析】解：（1）∠APC=∠A+∠C，
如图1，过点P作MN∥AE，
∵MN∥AE，
∴∠APM=∠A，
又∵AE∥CF，MN∥AE，
∴MN∥CF，
∴∠MPC=∠C，
∴∠APM+∠CPM=∠A+∠C，
即∠APC=∠A+∠C，
故答案为：∠A+∠C；
（2）①图中四个角的关系：∠AP1P2+∠P1P2C-∠A-∠C=180°，
理由是：过P1作P1B∥AE，

过P2作P2G∥CF，
∵P1B∥AE，
∴∠BP1A=∠A，
∵P2G∥CF，
∴∠GP2C=∠C，
∵P1B∥AE，P2G∥CF，AE∥CF，
∴P1B∥P2G，
∴∠BP1P2+∠GP2P1=180°，
∴∠AP1P2+∠P1P2C=∠AP1B+∠BP1P2+∠P1P2G+∠GP2C=180°+∠A+∠C，
∴∠AP1P2+∠P1P2C-∠A-∠C=180°；
②图中四个角的关系：∠A+∠AP1P2+∠P1P2C-∠C=180°，
理由是：过P2作GP2∥CF，

则∠GP2C=∠C，
∵AE∥CF，
∴AE∥GP2，
∴∠AEF+∠GP2E=180°，
∵∠AEF=∠A+∠AP1P2，
∴∠AEF+∠P1P2C=180°+∠GP2C，
∴∠A+∠AP1P2+∠P1P2C=180°+∠C，
∴∠A+∠AP1P2+∠P1P2C-∠C=180°；
③图中四个角的关系：∠AP1P2+∠P1P2C-∠A+∠C=180°，
理由是：过P1作P1G∥CF，

则∠GP1F+∠CFP1=180°，
∵AE∥CF，
∴AE∥GP1，
∴∠A=∠AP1G，
∵∠EFC=∠C+∠P1P2C，
∴∠AP1P2+∠EFC=180°+∠AP1G，
∴∠AP1P2+∠C+∠P1P2C=180°+∠A，
∴∠AP1P2+∠P1P2C-∠A+∠C=180°．
【点评】本题考查了平行线的性质，辅助线的作出是本题的关键，属于典型题，作辅助线构建同旁内角互补，再利用外角定理和平行线的性质得出角的关系，相加或等量代换即可．
17．（1）见解析；（2）∠EPF+2∠EQF＝360°；（3）∠P+3∠Q＝360°．
【分析】（1）首先过点P作PG∥AB，然后根据AB∥CD，PG∥CD，可得∠AEP＝∠1，∠CFP＝∠2，据此判断出∠AEP+∠CFP＝∠EPF即可．
（2）首先由（1），可得∠EPF＝∠AEP+CFP，∠EQF＝∠BEQ+∠DFQ；然后根据∠BEP的平分线与∠DFP的平分线相交于点Q，推得∠EQF＝，即可判断出∠EPF+2∠EQF＝360°．
（3）首先由（1），可得∠P＝∠AEP+CFP，∠Q＝∠BEQ+∠DFQ；然后根据∠BEQ＝∠BEP，∠DFQ＝∠DFP，推得∠Q＝×（360°﹣∠P），即可判断出∠P+3∠Q＝360°．
【解析】（1）证明：如图1，过点P作PG∥AB，

∵AB∥CD，
∴PG∥CD，
∴∠AEP＝∠1，∠CFP＝∠2，
又∵∠1+∠2＝∠EPF，
∴∠AEP+∠CFP＝∠EPF．
（2）如图2，

由（1），可得
∠EPF＝∠AEP+CFP，∠EQF＝∠BEQ+∠DFQ，
∵∠BEP的平分线与∠DFP的平分线相交于点Q，
∴∠EQF＝∠BEQ+∠DFQ
＝（∠BEP+∠DFP）
＝
＝，
∴∠EPF+2∠EQF＝360°．
（3）如图3，

由（1），可得
∠P＝∠AEP+CFP，∠Q＝∠BEQ+∠DFQ，
∵∠BEQ＝∠BEP，∠DFQ＝∠DFP，
∴∠Q＝∠BEQ+∠DFQ
＝（∠BEP+∠DFP）
＝[360°﹣（∠AEP+∠CFP）]
＝×（360°﹣∠P），
∴∠P+3∠Q＝360°．
【点评】此题主要考查了平行线的性质的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．（2）定理2：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．（3）定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等． 简单说成：两直线平行，内错角相等．
18．（1）∠PAB+∠PCD=∠APC，理由见解析；（2），理由见解析；（3）2∠AQC+∠APC=360°，理由见解析
【分析】（1）过点P作PF∥AB，可得∠PAB=∠APF，根据AB∥CD，PF∥AB，可得∠PCD=∠CPF，所以∠PAB+∠PCD=∠APF+∠CPF=∠APC，即可证得∠PAB+∠PCD=∠APC
（2）已知AQ，CQ分别平分∠PAB，∠PCD，根据角平分线性质，可得∠QAB=∠PAB，∠QCD=∠PCD，∠QAB+∠QCD=∠PAB+∠PCD=(∠PAB+∠PCD)，再根据（1）结论，即可证明∠AQC=∠APC．
（3）过点P作PG∥AB，根据平行线的性质可得∠PAB+∠APG=180°，由已知可得PG//CD，∠PCD+∠CPG=180°，证明得∠PAB+∠PCD+∠APC=360°，再根据AQ，CQ分别平分∠PAB，∠PCD，可得∠QAB+∠QCD=∠PAB+∠PCD=(∠PAB+∠PCD)，即可证明得出结论2∠AQC+∠APC=360°．
【解析】（1）∠PAB+∠PCD=∠APC
理由：如图3，过点P作PF∥AB，

∴∠PAB=∠APF，
∵AB∥CD，PF∥AB，
∴PF∥CD，
∴∠PCD=∠CPF，
∴∠PAB+∠PCD=∠APF+∠CPF=∠APC，
即∠PAB+∠PCD=∠APC
故答案为：∠PAB+∠PCD=∠APC
（2）
理由：如图4，

∵AQ，CQ分别平分∠PAB，∠PCD，
∴∠QAB=∠PAB，∠QCD=∠PCD，
∴∠QAB+∠QCD=∠PAB+∠PCD=(∠PAB+∠PCD)，
由（1），可得∠PAB+∠PCD=∠APC，
∠QAB+∠QCD=∠AQC
∴∠AQC=∠APC
故答案为：∠AQC=∠APC
（3）2∠AQC+∠APC=360°
理由：如图5，过点P作PG∥AB ，

∴∠PAB+∠APG=180°，
∵AB∥CD，PG∥AB，
∴PG//CD，
∴∠PCD+∠CPG=180°，
∴∠PAB+∠APG+∠PCD+∠CPG=360°，
∴∠PAB+∠PCD+∠APC=360°，
∵AQ，CQ分别平分∠PAB，∠PCD，
∴∠QAB=∠PAB，∠QCD=∠PCD，
∴∠QAB+∠QCD=∠PAB+∠PCD=(∠PAB+PCD)
由（1）知，∠QAB+∠QCD=∠AQC，
∴∠AQC=(∠PAB+∠PCD)
2∠AQC=∠PAB+∠PCD，
∵∠PAB+∠PCD+∠APC=360°，
∴2∠AQC+∠APC=360°．
【点评】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的性质．作出平行线辅助线是解题的关键．