青海省海东市2021-2022学年高一数学下学期期末试题（Word版附解析）

海东市2021~2022学年第二学期学业水平测试

高一数学试卷

考生注意：

1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟.

2．请将各题答案填写在答题卡上.

3．本试卷主要考试内容：人教A版必修1和必修4占30%，必修3和必修5占70%.

第Ⅰ卷

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知集合，，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据集合的基本运算直接计算即可.

【详解】.

故选：C

2. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】由正弦定理计算．

【详解】由正弦定理，得．

故选：D．

3. 50名同学的体重情况如下表所示：

则这50名同学体重小于频率为（    ）

A. 0.28 B. 0.58 C. 0.42 D. 0.94

【答案】B

【解析】

【分析】由，根据表中数据即可求出结果.

【详解】这50名同学体重小于的频率为

故选：B.

4. 在等差数列中，，，则（    ）

A. 4 B.  C. 3 D. 2

【答案】C

【解析】

【分析】已知两式相加，利用等差数列的性质求解．

【详解】因为，所以.

故选：C．

5. 若x，y满足约束条件，则的最小值为（    ）

A. 2 B. 1 C. 0 D.

【答案】D

【解析】

【分析】作出不等式组所表示的可行域，利用简单线性规划求出目标函数的最小值.

【详解】作出约束条件所表示的可行域如图（阴影部分），

把变形为，得到斜率为2，在y轴上截距为的一族平行直线．

由图可知，当直线经过可行域上的点时，截距最大，即最小．

所以当直线经过点时，z取得最小值，且最小值为．

故选：D．

6. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则（    ）．

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】首先根据同角三角函数的基本关系及正弦定理将角化边，再由余弦定理计算可得；

【详解】解：由题意得，

由正弦定理可得．

所以，又，所以．

故选：C

7. 执行如图所示的程序框图，则输出的（    ）

A.  B.  C. 3 D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据程序框图及其执行逻辑得到周期为3，并求出前3个值，利用周期性确定输出值.

【详解】由题设，且，

时，，

时，，

时，，

…

所以周期为3，而当时输出.

故选：B

8. 若，，且，则的最小值为（    ）

A. 9 B. 16 C. 49 D. 81

【答案】D

【解析】

【分析】由基本不等式结合一元二次不等式的解法得出最小值.

详解】由题意得，得，解得，即，当且仅当时，等号成立．

故选：D

9. 设单调递增等比数列满足，，则公比（    ）

A.  B.  C. 2 D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据等比数列的性质计算得到，结合数列的单调性求出：，，则，从而求出公比

【详解】因为为等比数列，所以，所以，则，

又单调递增，所以，

解得：，，则，

因为，所以．

故选：A

10. 已知，，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】对数指数混合类型的比大小常见方法是找中间量，例如本题可以找到中间量，即可得出答案.

【详解】因为，，所以．

故选：B.

11. 已知直角的两条直角边分别为3，4，且的三个顶点都在圆O上，若在圆O内随机取一点，则此点取自内的概率是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】求出的面积和圆的面积，由几何概型求解概率．

【详解】的面积为：，

由题意得圆O的半径为，则圆的面积为：，

所以所求的概率为.

故选：C．

12. 设函数，已知在上有且仅有4个零点，现有下列四个结论：

①的取值范围是；

②的图像与直线在上的交点恰有2个；

③的图像与直线在上的交点恰有2个；

④在上单调递减.

其中所有正确结论的编号是（    ）

A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①④

【答案】A

【解析】

【分析】对于①，确定，根据零点个数确定，求得参数范围；对于②，③，采用整体代换思想，结合余弦函数的图像和性质即可判断；对于④，当时，确定，计算的范围，从而确定在上单调性.

【详解】当时，，因为在上有且仅有4个零点，

所以，解得，故①正确；

又由以上分析可知，函数在上有且仅有4个零点，

且，则上，出现两次最大值，

此时函数的大致图像如图示：

即在上两次出现最大值1，即取时，取最大值，

故的图像与直线在上的交点恰有2个，故②正确；

由于当时，，，

当时，取最小值，由于是否取到不确定，

故的图像与直线在上的交点可能是1个或2个，故③错误；

当时，，

因为，所以，，

故的值不一定小于，

所以在上不一定单调递减，故④错误.

故选：A.

第Ⅱ卷

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分

13. 一支田径队有男运动员45人，女运动员33人，按照性别进行分层，用分层随机抽样的方法从该田径队中抽取一个容量为26的样本，则女运动员被抽取的人数为______．

【答案】11

【解析】

【分析】根据分层抽样的比例关系，列式求得答案.

【详解】由题意得女运动员被抽取的人数为,

故答案为：11

14. 在区间上任取一个数x，则的概率为_____________．

【答案】

【解析】

【分析】根据几何概型求概率公式进行求解.

【详解】由题意得：当时，满足，

故概率为.

故答案为：.

15. 已知为钝角，且，则___________，___________.

【答案】    ①.     ②.

【解析】

【分析】已知，由正切函数的二倍角公式即可求出的值，再求出，由两角差的正弦公式代入即可得出的值.

【详解】因为，所以

因为，所以，

因为为钝角，所以解得：，

所以.

故答案为：；.

16. 甲，乙两艘渔船从港口处出海捕鱼，甲在处西北方向上的处捕鱼，乙在处北偏东方向上的处捕鱼，已知处在处北偏东的方向上，则，之间的距离为_____________．

【答案】30

【解析】

【分析】依题意画出图形，求出、、，再由正弦定理计算可得.

【详解】解：如图，由题意得，，所以，

由正弦定理，得．

故答案为：

三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 如图，在正方形网格中，向量，满足，，且．

（1）用，分别表示向量，；

（2）求．

【答案】（1），   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据图形结合向量的线性运算可得结果；（2）代入结合数量积的运算律运算求解，注意．

【小问1详解】

由图可得：，．

【小问2详解】

因为，所以．

由（1）得．

18. 已知函数的部分图象如图所示．

（1）求的解析式；

（2）求在上的值域．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据图象直接可得A，利用周期求得，利用特殊点代入求得，即可求得函数解析式；

（2）根据，求得，结合余弦函数的性质，即可求得答案.

【小问1详解】

由图可知，

由，得，得．

因为，所以，

得，

又，所以，

故．

【小问2详解】

因为，所以,

由于在上递增，在上递减，

故，，，

所以在上的值域为．

19. 为了解中学生的身高情况，某部门随机抽取了某学校的100名学生，将他们的身高数据（单位：）按分为五组，绘制成如图所示的频率分布直方图

（1）求a并估计这100名学生身高的平均数；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）

（2）在上述样本中，用分层抽样的方法从身高在的学生中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，求这2人中至少有1人身高不低于160的概率.

【答案】（1），平均数为   

（2）

【解析】

【分析】（1）由频率分布直方图求解即可；

（2）先确定与抽取的人数并分别标记，再结合古典概型的概率公式求解即可

【小问1详解】

.

平均数为，

即这100名学生身高的平均数为；

【小问2详解】

身高在的学生有人，身高在的学生有人，

故身高在的学生共有50人，

用分层抽样的方法从身高在的学生中抽取名，记为1，2，

从身高在的学生中抽取名，记为.

从这5名学生中随机选取2名学生的所有结果为，共10种，

其中这2人中至少有1人身高不低于的结果有9种.

故所求概率.

20. 在数列中，已知．

（1）若，证明：数列是等比数列．

（2）求的前n项和．

【答案】（1）证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据等比数列的定义，可得答案；

（2）由（1）可得数列的通项，进而可得数列的通项，利用分组求和，可得答案.

【小问1详解】

证明：因为，

所以．

又，所以是以2为首项，2为公比的等比数列．

【小问2详解】

由（1）可知，，则，

．

21. 记的内角的对边分别为，且．

（1）求的大小；

（2）若，的面积为，求的周长．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）由正弦定理可得，根据的范围求得结果；

（2）利用三角形面积公式求得；根据余弦定理可求出，利用可求得，进而可得周长.

【小问1详解】

由正弦定理得，所以

，

得，因为，所以，

得，又，

所以．

【小问2详解】

由，得，

由余弦定理，得，

得，

得，

所以的周长为．

22. 某总公司在A，B两地分别有甲、乙两个下属公司同时生产某种新能源产品（这两个公司每天都固定生产50件产品），所生产的产品均在本地销售，产品进入市场之前需要对产品进行性能检测，得分低于80分的定为次品，需要返厂再加工；得分不低于80分的定为正品，可以进入市场．检测员统计了甲、乙两个下属公司100天的生产情况及每件产品盈利亏损情况，数据如下表所示：

表1：

表2：

表3：

（1）求a，b的值．

（2）分别求甲、乙两个公司这100天生产的产品的正品率（用百分数表示）．

（3）试问甲、乙两个公司这100天生产的产品的总利润哪个更大？说明理由．

【答案】（1），   

（2）甲公司这100天生产的产品的正品率为89%，乙公司这100天生产的产品的正品率为78%．   

（3）答案见解析

【解析】

【分析】（1）根据每个公司这100天生产的产品总数列式计算即可；

（2）计算正品数与产品总数的比值即可；

（3）根据表中数据分别求出甲、乙公司这100天生产的产品的总利润，然后作比较即可.

【小问1详解】

由题意得，解得．

，解得．

【小问2详解】

甲公司这100天生产的产品的正品率为＝89%，

乙公司这100天生产的产品的正品率为＝78%．

【小问3详解】

乙公司这100天生产的产品的总利润更大．理由如下：

甲公司这100天生产的产品的总利润为万元，

乙公司这100天生产的产品的总利润为万元，

因为7250万万，所以乙公司这100天生产产品的总利润更大．