第1章 二次函数 浙教版九年级数学上册复习课课件
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二次函数定义 已知函数y＝（m2－m）x2＋（m－1）x＋m＋1.（1）若这个函数是一次函数，求m的值；（2）若这个函数是二次函数，则m的值应满足什么条件？例题讲解明确起点：明辨a，b，c…知识链接 ► 知识点 二次函数的定义一般地，形如 （a，b，c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数.其中，x是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项.注意条件：a，b，c限制条件已知函数y＝（m2－m）x2＋（m－1）x＋m＋1.（1）若这个函数是一次函数，求m的值；（2）若这个函数是二次函数，则m的值应满足什么条件？例题讲解明确起点：明辨a，b，c…(1)根据一次函数的定义，得m2－m＝0，解得m＝0或m＝1，又m－1≠0，即m≠1.∴当m＝0时，这个函数是一次函数．(2)根据二次函数的定义，得m2－m≠0，解得m1≠0，m2≠1.∴当m≠0且m≠1时，这个函数是二次函数．方法总结对于此类题目，应关注二次函数与一次函数的系数特点，比如，对于形如y＝ax2＋bx＋c的函数解析式来说当a≠0时，该函数是二次函数；当a＝0且b≠0时，该函数是一次函数.积累经验：学会回到定义去解题…二次函数y＝ax2（a≠0）的图象 例题讲解 知识链接 本题中可根据a的符号确定反比例函数图象所在象限、二次函数图象开口方向来解决问题．例题讲解 只有D选项图形符合 方法总结对于这类题目，一般要分类讨论，即讨论a＞0与a ＜0两种情况，然后对各选项运用排除法进行选择，如果有多项都符合，还需要判定两个图象的交点情况.二次函数y＝a（x－m）2＋k（a≠0）的图象 例题讲解设函数y＝（x－1）[（k－1）x＋（k－3）]（k是常数）.（1）当k取1和2时的函数y1和y2的图象如图所示，请你在同一直角坐标系中画出当k取0时函数的图象；（2）根据图象，写出你发现的一条结论；（3）将函数y2的图象向左平移4个单位，再向下平移2个单位，得到函数y3的图象，求函数y3的最小值.先根据题目条件确定函数是一次函数还是二次函数，再根据函数图象解决问题．知识链接 ► 知识点 一次函数的图象和二次函数的图象例题讲解当k＝0时，y＝－(x－1)(x＋3)，所画函数图象如图：设函数y＝（x－1）[（k－1）x＋（k－3）]（k是常数）.（1）当k取1和2时的函数y1和y2的图象如图所示，请你在同一直角坐标系中画出当k取0时函数的图象；例题讲解设函数y＝（x－1）[（k－1）x＋（k－3）]（k是常数）.（2）根据图象，写出你发现的一条结论；①图象都过点(1，0)和点(－1，4)；②图象总交x轴于点(1，0)；③k取0和2时的函数图象关于点(0，2)中心对称；④函数y＝(x－1)[(k－1)x＋(k－3)]的图象都经过 点(1，0)和(－1，4)等等．(答案不唯一)例题讲解将函数y2＝(x－1)2的图象向左平移4个单位，再向下平移2个单位，得到函数图象的解析式为y3＝(x＋3)2－2，∴当x＝－3时，函数y3的最小值等于－2.设函数y＝（x－1）[（k－1）x＋（k－3）]（k是常数）.（3）将函数y2的图象向左平移4个单位，再向下平移2个单位，得到函数y3的图象，求函数y3的最小值.方法总结函数图象的平移问题，可转化为点的平移，在平移前取函数图象的某些点，确定出平移后对应点的坐标，用待定系数法可求出函数表达式或利用这种方法检验答案是否正确.二次函数的解析式 王小林 例题讲解已知二次函数的图象如图所示，求该二次函数的表达式.（用三种解法回答）明确起点：从二次函数的图像出发知识链接 ► 知识点 二次函数的解析式 确定二次函数解析式常用待定系数法，根据条件，可有下列设立解析式的方法，便于解决问题：一般式：y=ax2+bx+c 顶点式：y=a(x-h)2+k 两点式：y=a(x-x1)(x-x2) 注意：（a≠0）(h,k)为顶点...x1,x2为图像与x轴交点坐标...例题讲解已知二次函数的图象如图所示，求该二次函数的表达式.（用三种解法回答）明确起点：二次函数图像...解法一（一般式法）：设所求二次函数的表达式是： y＝ax2＋bx＋c.∵二次函数的图象过点(0，3)，可求得c＝3.∴二次函数的表达式为y＝－x2＋2x＋3.(0，3)(－1，0)(3，0)例题讲解已知二次函数的图象如图所示，求该二次函数的表达式.（用三种解法回答）明确起点：二次函数图像...解法二（顶点式法）：二次函数的图象过点(－1，0)，(3，0)，可得对称轴为直线x＝1，设所求二次函数的表达式为y＝a(x－1)2＋k，∴二次函数的表达式为y＝－(x－1)2＋4， 即y＝－x2＋2x＋3.x=1(－1，0)(3，0)例题讲解已知二次函数的图象如图所示，求该二次函数的表达式.（用三种解法回答）解法三(两点式法）：由图可得二次函数的图象与x轴交点为： (3，0)，(0，3)，由两点式设二次函数的表达式为：y＝a(x＋1)(x－3).将(0，3)代入，则有a(0＋1)(0－3)＝3，∴a＝－1，∴y＝－(x＋1)(x－3)＝－x2＋2x＋3.明确起点：二次函数图像...(－1，0)(3，0)两点式：y=a(x－x1)(x－x2)， x1=－1，x2=3方法总结积累经验：学会数形结合去解题…1、二次函数图象上已知任意三点， 可设一般式y＝ax2＋bx＋c来求解；2、已知函数图象上的对称点，得到对称轴， 可设顶点式y＝a（x－m）2＋ k来求解；3、已知抛物线与x轴的交点坐标， 可设两点式：y＝a(x－x1)(x－x2) 来求解. 本题三种解法均可，但是两点式更为便捷.二次函数的性质-柳凯 例题讲解如果抛物线y＝ax2 ＋ bx＋c过定点M（1，1），则称此抛物线为定点抛物线.（1）张老师在投影屏幕上出示了一个题目：请你写出一条定点抛物线的一个解析式.小敏写出了一个答案：y＝2x2＋3x－4，请你写出一个不同于小敏的答案；（2）张老师又在投影屏幕上出示了一个思考题：已知定点抛物线y＝－x2＋2bx＋c＋1，求该抛物线顶点纵坐标的值最小时的解析式，请你解答.确定二次函数解析式常用待定系数法，根据条件，可选取顶点式便于解决问题：顶点式：y＝a(x－h)2＋k 适用于：已知顶点坐标 ► 知识点 二次函数的解析式例题讲解(1)选择（1，1）为二次函数顶点，令二次项系数为1，则依据顶点式得：y＝（x－1）²＋1； 写成一般式：y＝x²－2x＋2；顶点式：y＝a(x－h)2＋k如果抛物线y＝ax2 ＋ bx＋c过定点M（1，1），则称此抛物线为定点抛物线.（1）张老师在投影屏幕上出示了一个题目：请你写出一条定点抛物线的一个解析式.小敏写出了一个答案：y＝2x2＋3x－4，请你写出一个不同于小敏的答案；例题讲解如果抛物线y＝ax2＋bx＋c过定点M（1，1），则称此抛物线为定点抛物线.（2）张老师又在投影屏幕上出示了一个思考题：已知定点抛物线y＝－x2＋2bx＋c＋1，求该抛物线顶点纵坐标的值最小时的解析式，请你解答.积累经验：学会联想顶点式…(2)∵定点抛物线：y＝－x²＋2bx＋c＋1＝－（x－b）²＋b²＋c＋1； ∴顶点坐标为（b，b²＋c＋1），且－1＋2b＋c＋1＝1，即： c＝1－2b； ∵顶点纵坐标：b²＋c＋1＝b²－2b＋2＝（b－1）²＋1， ∴当b＝1时，顶点纵坐标最小，此时c＝－1； ∴抛物线的解析式为：y＝－x²＋2x.方法总结对于此类题目，应关注二次函数的解析式的形式，根据题目中的条件选取最合适的二次函数解析式的形式来解决问题，达到解题的目的。二次函数最值在实际问题中的应用-高鹏 例题讲解如图所示是抛物线形状的拱桥.已知水位在AB位置时，水面宽 m水位上升3m就达到警戒线CD，这时水面宽 m .若洪水到来时，水位以每小时0.25m的速度上升，问：过警戒线后几小时将淹到拱桥顶？建立二次函数模型通过数学建模，把实际问题转化为二次函数问题：建立平面直角坐标系,通常以图形的对称轴作为y轴建立二次函数模型，借助二次函数最值解决实际问题用配方法或顶点坐标公式求二次函数最值 ► 知识点 二次函数的最值在实际问题中的应用例题讲解如图所示是抛物线形状的拱桥.已知水位在AB位置时，水面宽 m水位上升3m就达到警戒线CD，这时水面宽 m .若洪水到来时，水位以每小时0.25m的速度上升，问：过警戒线后几小时将淹到拱桥顶？如图，以AB所在直线为x轴，以AB的中点为原点，建立直角坐标系，则抛物线的顶点M在y轴上，A、B两点的坐标分别为（ ，0 ），（ ，0 ）；C、D两点的坐标分别为（ ，3），（ ，3 ）.例题讲解设抛物线的函数表达式为 y=ax2+k.把点B、D的坐标分别代入 y=ax2+k，得 ，解得 ∴抛物线的函数表达式为 ,顶点坐标为（0，6）.设CD与y轴交于点N，则 N（0，3）. ON=3 m.∵ OM=6 m， MN=6-3=3(m). 3÷0.25=12(h).故过警戒线后12h将淹到拱桥顶。顶点式：y＝a(x－h)2＋k方法总结解决此类问题的关键是要建立直角坐标系，以AB的中点为原点，找出A，B，C，D四点的坐标来确定抛物线的函数表达式.对于此类需要建立坐标系的问题，一般把y轴设定为图形的对称轴.积累经验：学会建立数学模型解决实际问题···例题讲解某批发商以40元/kg的价格购入了某种水果500kg.据市场预测，该种水果的售价y（元/kg）与保存时间x（天）的函数关系式为y＝60＋2x，但保存这批水果平均每天将损耗10kg，且最多能保存8天.另外，批发商保存该批水果每天还需40元的费用.（1）若批发商保存1天后将该批水果一次性卖出，则卖出时水果的售价为 元/kg，获得的总利润为 元；（2）设批发商将这批水果保存x天后一次性卖出，试求批发商所获得的总利润w（元）与保存时间x（天）之间的函数表达式；（3）求批发商经营这批水果所能获得的最大利润.注意条件：x为非负整数通过数学建模，把实际问题转化为二次函数问题：利润＝售价×销售量－成本建立二次函数模型，借助二次函数解决实际问题用配方法或顶点坐标公式并结合实际意义，求出 问题的最大值。 ► 知识点 建立二次函数模型解决实际问题例题讲解(1)根据题中水果售价(y)与保存时间(x)的函数关系式可知， 当x=1时，y=60+2x=62(元). 利润为：62×(500-10)-40×500-40=10340 (元).(2)由题意，得w=(60+20x)(500-10x)-40x-500×40= -20x2+360x+10 000.(3)w= -20x2+360x+10 000= -20(x-9)2 +11 620.∵0≤x≤8,x为整数，当x≤9时，w随x的增大而增大.∴当x=8时，w取最大值，w最大=11 600.积累经验：用配方法求二次函数最大值…提示：利润＝售价×销售量－成本方法总结此类问题可根据“利润＝售价×销售量－成本”列出函数表达式，利用配方法或顶点坐标公式结合实际情况，即可求出利润的最大值.积累经验：学会建立数学模型解决实际问题··· 二次函数与一元二次方程不等式之间的联系 （2015·咸宁）如图是二次函数y＝ax²＋bx＋c的图象，下列结论：①二次三项式ax²＋bx＋c的最大值是4； ②4a＋2b＋c＜0； ③一元二次方程ax²＋bx＋c＝1的两根之和为－1；④使y≤3成立的x的取值范围是x≥0.其中正确的个数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4训练眼力：从图像你能得到哪些信息？ ► 知识点 二次函数的图象二次函数y＝ax²＋bx＋c的图象 （1）a＜0开口向下，函数有最大值；a＞0开口向上，函数只有最小值 （2）二次函数图象与系数之间的关系（对称轴，特殊点） （3）二次函数与方程和不等式（组）的关系（2015·咸宁）如图是二次函数y＝ax²＋bx＋c的图象，下列结论：①二次三项式ax²＋bx＋c的最大值是4； ∵开口向下a＜0 又∵顶点坐标（－1，4） ∴二次函数y＝ax²＋bx＋c最大值为4 即二次三项式ax²＋bx＋c的最大值是4， 故①正确如图是二次函数y＝ax²＋bx＋c的图象，②4a＋2b＋c＜0；由图像知：当x=2时，y＜0∴ 4a＋2b＋c＜0，故②正确2如图是二次函数y＝ax²＋bx＋c的图象，③一元二次方程ax²＋bx＋c＝1的两根之和为－1；如图是二次函数y＝ax²＋bx＋c的图象，④使y≤3成立的x的取值范围是x≥0.其中正确的个数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4由图像知：使y≤3成立的x的取值范围是x≤－3或x ≥0故④错误。所以这题选择B【方法总结】这种类型的题目主要考查形式为选择题，解决此类题型常用的方法是从二次函数的图象性质出发，通常把已知点坐标代入解析式中找出a，b，c的关系，再结合对称轴方程x＝ ，确定a、b之间的等量关系，判断与x轴交点情况则利用判别式b²－4ac.
